高中数学吧必修2第四章知识点总结(完整资料).doc

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高中数学吧必修２第四章知识点总结
4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程：
(x?a)
2
?( y?b)
2
?r
2

圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程 < br>2、点
M(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)< br>2
?(y?b)
2
?r
2
的关系的判断方法：
（1 ）
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2>
r
2
，点在圆外 （2）
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
=
r
2
，
点在 圆上
（3）
(x
0
?a)
2
?(y
0
? b)
2
<
r
2
，点在圆内
4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?
0

2、圆的一般方程的特点：
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy这样的
二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只
要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方
程，代数特征明显，圆的标准方程 则指出了圆心坐标与半
径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
设直线
l
：
a x?by?c?0
，圆
C
：
x
2
?y
2
? Dx?Ey?F?
0
，圆的半径
为
r
，圆心
(?
D
,
2
?
E
)
到直线的距离为
d
，则判别直 线与圆的位置
2
关系的依据有以下几点：
（1）当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相离；（2）当
d?r
时，直线
l
与
圆
C
相切；
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（3）当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相交；
4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系．
设两圆的连心线长为
l
，则判别圆与圆的位置关系的依据有
以下几点： （1）当
l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
相离；（2）当
l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
外切；
（3）当
|
r
1
?
r
2
|?
l?r
1
?r< br>2
时，圆
C
1
与圆
C
2
相交；
（ 4）当
l?
|
r
1
?r
2
|
时，圆
C
1
与圆
C
2
内切；（5）当
l?|r
1
?r
2
|
时，圆
C
1
与圆
C
2
内含；
4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问< br>题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
R
M
O
Q
M'
y
4.3.1空间直角坐标系 P
1、点M对应着唯一确定的有序实数组
(x,y,z)
，
x
、
y
、
x
z
分别是P、Q、R在
x
、
y、
z
轴上的坐标
2、有序实数组
(x,y,z)
，对应着空间直角坐标系中的一点
3、空间 中任意点M的坐标都可以用有序实数组
(x,y,z)
来表示，
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该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M
(x ,y,z)
，
x
叫做点M的横坐标，
y
叫做点M的纵坐标，
z
叫做点M的竖坐
标。
z
4.3.2空间两点间的距离公式
1、 空间中任意一点
P
1
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
到点
P
2
(x
2
,y
2
,z
2
)
之间
P
1
的距离公式
P
2
P
1
P
2
?(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)?(z
1
?z
2)


同步检测
第四章 圆与方程
一、选择题，
x
N
1
222
O
M
1
M
M
2< br>H
N
2
y
N
1．若圆
C
的圆心坐标为(2， －3)，且圆
C
经过点
M
(5－7)，
则圆
C
的半 径为( )．
A．
D．
5
B．5 C．25
10

2．过点
A
(1，－1)，
B
(－1，1) 且圆心在直线
x
＋
y
－2＝0上
的圆的方程是( )． < br>A．(
x
－3)
2
＋(
y
＋1)
2
＝4
C．(
x
－1)
2
＋(
y
－1)
2
＝4






B．(
x
＋3)
2
＋(
y
－1)
2
＝4
D．(
x
＋1)
2
＋(
y
＋1)
2
＝4
3．以点(－3，4)为圆心，且与
x
轴相切的圆的方程是( )．
A．(
x
－3)
2
＋(
y
＋4)
2
＝1 6
＝16
C．(
x
－3)
2
＋(
y
＋4)
2
＝9
＝19
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B．(
x
＋3)
2
＋(
y
－4)
2
D ．(
x
＋3)
2
＋(
y
－4)
2

< br>
4．若直线
x
＋
y
＋
m
＝0与圆
x
2
＋
y
2
＝
m
相切，则
m
为( )．
A．0或2
解
5．圆(
x
－1)
2
＋ (
y
＋2)
2
＝20在
x
轴上截得的弦长是( )．
A．8
D．4
3
B．2 C．
2
D．无


B．6 C．6
2

6．两个圆
C
1
：
x
2
＋
y
2
＋2
x
＋2
y
－2＝0与
C
2
：
x
2
＋
y
2
－4
x
－2
y
＋1＝0的位置关系为( )．
A．内切
D．相离
7．圆
x
2
＋
y
2
－2
x
－5＝0与圆
x
2
＋
y
2
＋2
x
－4
y
－4＝0的交点为
B．相交 C．外切
A
，
B
，则线段
AB
的垂直平分线的方程是( )．
A．
x
＋
y
－1＝0











B．2
x
－
y
＋1＝0
D．
x
－
y
＋1＝0 C．
x
－2
y
＋1＝0
8．圆
x
2
＋
y
2
－2
x
＝0和圆
x
2
＋
y< br>2
＋4
y
＝0的公切线有且仅有
( )．
A．4条
D．1条
9．在空间直角坐标系中，已知点
M
(
a
，< br>b
，
c
)，有下列叙述：
点
M
关于
x轴对称点的坐标是
M
1
(
a
，－
b
，
c
)；
点
M
关于
y
oz平面对称的点的坐标是
M
2
(
a
，－
b
，－
c
)；
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B．3条 C．2条

点
M
关于
y
轴对称的点的坐标是
M
3
(
a
，－
b
，
c
)；
点< br>M
关于原点对称的点的坐标是
M
4
(－
a
，－
b
，－
c
)．
其中正确的叙述的个数是( )．
A．3 B．2 C．1 D．0
10．空间直角坐标系中，点
A
(－3，4，0)与点
B
(2，－1，6)
的距离是( )．
A．2
D．
43
B．2
21
C．9
86

二、填空题
11．圆
x
2
＋
y< br>2
－2
x
－2
y
＋1＝0上的动点
Q
到直线 3
x
＋4
y
＋8
＝0距离的最小值为 ．
12 ．圆心在直线
y
＝
x
上且与
x
轴相切于点(1，0)的圆的 方程
为 ．
13．以点
C
(－2，3)为圆心且与
y
轴相切的圆的方程
是 ．
14．两圆
x
2< br>＋
y
2
＝1和(
x
＋4)
2
＋(
y
－
a
)
2
＝25相切，试确定常数
a
的值 ．
15．圆心为
C
(3，－5)，并且与直线
x
－7
y< br>＋2＝0相切的圆的
方程为 ．
16．设圆
x
2
＋
y
2
－4
x
－5＝0的弦
AB
的中点为
P
(3，1)，则直
线
AB
的方程是 ．
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三、解答题
17． 求圆心在原点，且圆周被直线3
x
＋4
y
＋15＝0分成1∶2
两部 分的圆的方程．














18．求过原点，在
x轴，
y
轴上截距分别为
a
，
(
ab
≠0)．


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的圆的方程
b

19．求经过
A
(4，2)，
B
(－1，3) 两点，且在两坐标轴上的四
个截距之和是2的圆的方程．







20．求经过点(8，3)，并且和直线
x
＝6与< br>x
＝10都相切的圆
的方程．



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第四章 圆与方程
参考答案
一、选择题
1．B
圆心
C
与点
M
的距离即为圆的半径，
2．C
解析 一：由圆心在直线
x
＋
y
－2＝0上可以得到
A
，
C
满足条
件，再把
A
点坐标
(1，－1)代入圆方程．
A
不满足条件．
∴选C．
解析二：设 圆心
C
的坐标为(
a
，
b
)，半径为
r
， 因为圆心
C
在直线
x
＋
y
－2＝0上，∴
b
＝2－
a
．由|
CA
|＝|
CB
|，得(
a－1)
2
＋(
b
＋1)
2
＝(
a
＋1 )
2
＋(
b
－1)
2
，解得
a
＝1，b
＝1．
因此所求圆的方程为(
x
－1)
2
＋(y
－1)
2
＝4．
(2－5)
2
＋(－3＋7)
2
＝5．
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3．B
解析：∵与
x
轴相切，∴
r
＝4．又圆心(－3，4)，
∴圆方程为(
x
＋3)
2
＋(
y
－4)
2
＝16．
4．B
解析：∵
x
＋
y
＋
m
＝0与
x
2
＋
y
2
＝
m
相切，
∴(0，0)到直线距离等于
∴
m
2
m
．
＝
m
，
∴
m
＝2．
5．A
解析：令
y
＝0，
∴(
x
－1)
2
＝16．
∴
x
－1＝±4，
∴
x
1
＝5，
x
2
＝－3．
∴弦长＝|5－(－3)|＝8．
6．B
解析：由两个圆的方程
C
1
：(
x
＋1)
2
＋(
y
＋1)
2＝4，
C
2
：(
x
－2)
2
＋(
y< br>－1)
2
＝4可求得圆心距
d
＝
13
∈(0，4)，
r
1
＝
r
2
＝2，且
r
1
－
r
2
＜
d
＜
r
1
＋
r
2
故两圆相交，选B．
7．A
解析：对已知圆的 方程
x
2
＋
y
2
－2
x
－5＝0，
x
2
＋
y
2
＋2
x
－4
y
－< br>4＝0，经配方，得
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(< br>x
－1)
2
＋
y
2
＝6，(
x
＋1 )
2
＋(
y
－2)
2
＝9．
圆心分别为
C
1
(1，0)，
C
2
(－1，2)．
直线C
1
C
2
的方程为
x
＋
y
－1＝0．
8．C
解析：将两圆方程分别配方得(
x
－1)
2
＋y
2
＝1和
x
2
＋(
y
＋2)
2＝4，两圆圆心分别为
O
1
(1，0)，
O
2
(0，－ 2)，
r
1
＝1，
r
2
＝2，|
O
1O
2
|
＝
1
2
＋2
2
＝
5< br>，又1＝
r
2
－
r
1
＜
5
＜
r
1
＋
r
2
＝3，故两圆相交，所以
有两条公切线，应选 C．
9．C
解：①②③错，④对．选C．
10．D
解析：利用空间两点间的距离公式．
二、填空题
11．2．
解析：圆心到直线的距离
d
＝
3＋4＋8
5
＝3，
∴动点
Q
到直线距离的最小值为
d
－
r
＝3－1＝2．
12．(
x
－1)
2
＋(
y
－1)
2＝1．
解析：画图后可以看出，圆心在(1，1)，半径为 1．
故所求圆的方程为： (
x
－1)
2
＋(
y
－1)
2
＝1． < br>13．(
x
＋2)
2
＋(
y
－3)
2
＝4．
解析：因为圆心为(－2，3)，且圆与
y
轴相切，所以圆的半
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径为2．故所求圆的方程为(
x＋2)
2
＋(
y
－3)
2
＝4．
14．0或±2
5
．
4
2
＋a
2
解析： 当两圆相外切时，由|
O
1
O
2
|＝
r
1
＋
r
2
知
＝6，即
a
＝±2
5
．
当两圆相内切时，由|
O
1
O
2
|＝
r
1
－
r
2
(
r
1
＞
r
2
)知
4
2
＋a
2
＝4，即
a
＝0．
5
∴
a
的值为0或±2．
15．(
x
－3)2
＋(
y
＋5)
2
＝32．
解析：圆的半径即为圆心到直线
x
－7
y
＋2＝0的距离；
16．
x
＋
y
－4＝0．
解析：圆
x
2
＋
y
2
－4
x
－5＝0的圆心为
C
(2， 0)，
P
(3，1)为弦
AB
的中点，所以直线
AB
与直线
CP
垂直，即
k
AB
·
k
CP
＝－1，解
得
k
AB
＝－1，又直线
AB
过
P
(3， 1)，则所求直线方程为
x
＋
y
－4
＝0．
三、解答题
17．
x
＋
y
＝36．
22
y
4
2
A
＝120°，设 解析：设直线与圆交于A
，
B
两点，则∠
AOB
O
-2
r
1 5
r
所求圆方程为：
x
2
＋
y
2
＝
r
2
，则圆心到直线距离为
?
-4
，所
B
25
-55
x
以
r
＝6，所求圆方程为
x
2< br>＋
y
2
＝36．


第17 题
(第17题)
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18．
x
2
＋
y
2
－
ax
－by
＝0．
解析：∵圆过原点，∴设圆方程为
x
2
＋
y
2
＋
Dx
＋
Ey
＝0．
∵圆过(
a
，0)和(0，
b
)，
∴
a
2
＋
Da
＝0，
b
2
＋
bE
＝0．
又∵
a
≠0，
b
≠0，
∴
D
＝－
a
，
E
＝－
b
． 故所求圆方程为
x
2
＋
y
2
－
ax
－
by
＝0．
19．
x
2
＋
y
2
－2
x
－12＝0．
解析：设所求圆的方程为
x
2
＋y
2
＋
Dx
＋
Ey
＋
F
＝0．
∵
A
，
B
两点在圆上，代入方程整理得：
D
－3
E
－
F
＝10 ①
4
D
＋2
E
＋
F
＝－20 ②
设纵截 距为
b
1
，
b
2
，横截距为
a
1
，
a
2
．在圆的方程中，令
x
＝0得
y
2
＋
Ey
＋
F
＝0，
∴
b
1
＋
b
2
＝－
E
；令
y
＝0得
x
2
＋< br>Dx
＋
F
＝0，∴
a
1
＋
a
2＝－
D
．
由已知有－
D
－
E
＝2．③ ①②③联立方程组得
D
＝－2，
E
＝0，
F
＝－12．
故所求圆的方程为
x
2
＋
y
2
－2
x－12＝0．
20．解：设所求圆的方程为(
x
－
a
)
2
＋(
y
－
b
)
2
＝
r
2．
根据题意：
r
＝
10?6
＝2，
2
圆心的横坐标
a
＝6＋2＝8，
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所以圆的方程可化为：(
x
－8)
2
＋(
y
－
b
)
2
＝4．
又因为圆过(8，3)点，所 以(8－8)
2
＋(3－
b
)
2
＝4，解得
b＝5
或
b
＝1，
所求圆的方程为(
x
－8)
2
＋(
y
－5)
2
＝4或(
x
－8)
2< br>＋(
y
－1)
2
＝4．

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