高中数学解三角形题型完整归纳-解三角形题型归纳总结

高中数学解三角形题型目录
一．正弦定理
1.角角边
2.边边角
3.与三角公式结合
4.正弦定理与三角形增解的应对措施
5.边化角
6.正弦角化边
二．余弦定理
1.边边边
2.边角边
3.边边角
4.与三角公式结合
5.比例问题
6.余弦角化边
7.边化余弦角
三．三角形的面积公式
1.面积公式的选用
2.面积的计算
3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用
四．射影定理
五．正弦定理与余弦定理综合应用
1.边角互化与三角公式结合
2.与平面向量结合
3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状
4.三角形中的最值问题
(1)最大(小)角
(2)最长(短)边
(3)边长或周长的最值

1

(4)面积的最值
(5)有关正弦或余弦或正切角等的最值
(6)基本不等式与余弦定理交汇
(7)与二次函数交汇
六．图形问题
1.三角形内角之和和外角问题
2.三角形角平分线问题
3.三角形中线问题
4.三角形中多次使用正、余弦定理
5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用
6.四边形与正、余弦定理
六．解三角形的实际应用
1.利用正弦定理求解实际应用问题
2.利用余弦定理求解实际应用问题
3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题

一．正弦定理
1.角角边
例.在?ABC中,A?30?,B?45?,a?2,解三角形.

练习1.在?ABC中,A?30?,B?45?,a?6?2,则c? .

练习2.在?ABC中,已知C?45?,A?30?,a?22,求b.


2.边边角
例.?ABC中，a?22,b?23,A?45?,解这个三角形.

练习1 . ?ABC中,a?1,b?3,A?C?2B,则sinC?
练习2.?ABC中,c?3,b?6,C?60?,则A?_____




2

3.与三角公式结合
45
例.△ ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA?,cosC?,a?1,
513

则b?
1
练习1.在?ABC中，b?5,B?45,sinA?,则a?___ ___

3

1
练习2.在?ABC中,若tanA?,C?150?,BC?1,则AB?

.
3

4.正弦定理与三角形增解的应对措施
例.在?ABC中,已知b?2,c?1,B?45?,求C.

例2．已知△ABC 中，∠A＝60°，a＝
6
，b＝4，那么满足条件的△ABC的形状大小 ( )．
A．有一种情形
C．不可求出













B．有两种情形
D．有三种以上情形
练习1.在?ABC中,已知b?2,c?1,B?45?,求A.

练习2.在?ABC中,a?2,c?23,A?30?,求C.


5.边化角
例已知.?ABC的三个内角之比为A:B:C?3:2:1,那么对应的三边之 比a:b:c等于____________
练习1.在?ABC中,角A?B?C所对的边分别为a? b,c.若(2b?c)cosA?acosC,
则A?________.

练习2 .在?ABC中,设A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b?c?2acos(60
o
? C),求A.

练习3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC (acosB?bcosA)?c,求C

6.正弦角化边
例在.?ABC中,若s inA?2sinBcosC,且sin
2
A?sin
2
B＋sin
2
C,求B


3

练习1.在?ABC 中,asinA?csinC?2asinC?bsinB.
(1)求B;
(2)若A?75< br>0
,b?2,求a,c
练习2.在?ABC中,角所对的边分别为a,b,c,若a?c ?
则cosA?_____

6
b,sinB?6sinC,
6
练习3.已知a,b,c分别为?ABC的三个内角A,B,C的对边,a?2,
且(2 ?b)(sinA?sinB)?(c?b)sinC,则A?________.

二．余弦定理
1.边边边

例.在三角形ABC中，若a?3,b?1,c?2,则A?__________

练习.在?ABC中,AB?5,AC?3,BC?7,则A?
?
A.
2
?
B.
5
?
C.
4
?
D.
?
3633

2.边角边
?

例.在
?
ABC中,已知b?3,c?2 3,?A?30,求角B、C和边a的值

练习若.b?3,c?1,A?60,则a?________


3.边边角
2
例在.?ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c osA?,a?5,c?2,则b?_____
3
练习1.在
?
ABC中,A B?2,BC?1，cosC?
3
,则AC?_____

4


练习2在△ABC中,若AB?13.,BC?3,?C?120?,则AC?()
A.1B.2C.3D.4
练习3.在?ABC中,已知A?30?,且3a?3b?12,则 c的值为
A. 4 B. 8 C. 4,或8 D. 无解


4

4.与三角公式结合
例.在?ABC中,若tanA?
1
,C?150?,BC?1,则AB?

.
3
练习1.在?ABC中,角所对的边分别为a,b,c,若a?2,b?2,si nB?cosB?2,
则角A的大小为____

练习2.在锐角?ABC中,角所对 的边分别为a,b,c,若23cos
2
A?cos2A?0,a?7,c?6,
则b ?_____
练习3.在?ABC中,角A?B?C所对的边分别为a?b?c,已知sinA?3co sA?0,a?27,b?2,
求c

5.比例问题

例.已知?ABC中,a:b:c?2:6:(3?1),求A、B、C.

练习1. 在?ABC中,角所对的边分别为a,b,c,若a、b、c成等比数列,c?2a,则cosB?_____< br>练习2.在△ABC中,?A?

6.余弦角化边
2
?
b
,a?3c,则?___

3c
例.在三角 形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若
cosC2a?c
?,求角B

cosBb
练习1.在?ABC中,角所对的边分别为a,b,c,已知a
2?c
2
?2b且sinAcosC?3cosAsinC,
求b.

7.边化余弦角
例.?ABC中,a
2
?c
2
?b
2
?ab,则角C大小为
?
A.60? B.45?,或135? C.120? D.30?
?


练习1.?ABC中,a2
?c
2
?b
2
?
1
bc?0,则cosA?

2
则角B?_____
练习2.在?ABC中,角所对的边分别 为a,b,c,若
?
a
2
?c
2
?b
2
?
tanB?3ac,

练习3.在?ABC中,
?
a?b?c
??
a?b?c
?
?3ab,求C.



5

三．三角形的面积公式
1.面积公式的选用
例.在?ABC中,A?60?,b?16,S
?ABC
?643,则c?


1
练习已知.?ABC的面积是,AB?1,BC?2,则B?_____

2
a
2
练习2.在?ABC中,角A?B?C所对的边分别为a?b?c,已 知?ABC的面积为,
3sinA

?
Ⅰ
?
求sinBsi nC
?
Ⅱ
?
若6cosBcosC?1,a?3,求?ABC的周长.

2.面积的计算

例.在?ABC中,若?B?30?,AC?2,AB?23 ,求?ABC的面积.
练习.在?ABC中,AB?3,AC?1,A?60?,则S
?ABC
?



3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用

2
例.在?ABC中,sinA?cosA?,AC?2,AB?3,求tanA< br>的值和
S
?ABC
.
2

练习1.在?ABC中, 若B?120?,b?13,a?c?4,求S
?ABC
.

1
练习2.钝角三角形ABC的面积是,AB?1,BC?2,则AC?______

2
练习3.在?ABC中,角所对的边分别为a,b,c,若c
2
?
?
a?b
?
?6,C?
2
?
3
,则?ABC的面积 为_____

练习4.在?ABC中,若?B?30?,AC?2,AB?23,求?ABC的面积.

四．射影定理
例.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(a cosB?bcosA)?c,求C;

练习1.在?ABC中,角A?B?C所对的边分别为 a?b,c.若2bcosB?acosC?ccosA,
则B?_______
练习2.在? ABC中,角所对的边分别为a,b,c,若
则cosA?______

6

?
3b?ccosA?acosC,
?

五．正弦定理与余弦定理综合应用
1.边角互化与三角公式结合
例.在?ABC中 ,角所对的边分别为a,b,c,acosC?3asinC?b?c?0,
求A
练习1.在△ ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,
A?C?2B,2b?3ac,求角A的大小< br>练习2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.
已知b?c?2acosB .证明:A?2B;

2


练习3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,

cosAcos BsinC
且??.证明:sinAsinB?sinC
abc
2
??
练习4.在?ABC中,cosA?,bsin(?C)?csin(?B)?a.
244
求 证B?C?

2.与平面向量结合

?
2

例在.?ABC,已知2AB?AC?3AB?AC?3BC,求角A,B,C的大小

2
练习1.在?ABC中,AB?AC?3BA?BC.
(1)求证tanB?3tanA (2)若cosC?
5
,求A的值
5

练习2.在?ABC中,角A ?B?C所对的边分别为a?b?c,已知b?3,ABAC??6,
S
?ABC
?3 ,求A和a.

练习3.在?ABC中,角所对的边分别为a,b,c,若p?(a?c,b ),q?(b?a,c?a),若pq,
则角C? _____
练习4.在?ABC中,角所对 的边分别为a,b,c,向量m?(3，?1),n?(cosA,sinA),若m?n且
acosB ?bcosA?csinC,则角B?_____
练习5.已知锐角?ABC中,三个内角为A、B、C ,向量p?(2?2sinA，cosA?sinA),
q?(sinA?cosA,1?sinA), 若p与q是共线向量,求A的大小




7

3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状
a
2
s inAcosB
例.在?ABC中,若
2
?,判断?ABC的形状

bcosAsinB

练习1.在?ABC中,c?acosB,b?asinC,判 断三角形形状.
练习2.在?ABC中,若acosA?bcosB,判断?ABC的形状
< br>练习3.已知?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b?1,acosB?1?cosA ,
则?ABC的形状为
?
A. 等腰三角形
C.等腰直角三角形

4.三角形中的最值问题
(1)最大(小)角
?
B. 直角三角形
D.等腰或直角三角形

例.已知?ABC的三边长成公比为2的等比数列 ,则其最大角的余弦值为_________
练习.已知?ABC中,a:b:c?2:6:(3?1) ,求?ABC的最大内角的大小


(2)最长(短)边
13
例. 在?ABC中,tanA?,tanB?
45
?
Ⅰ
?
求角C的大小< br>
?
Ⅱ
?
若?ABC最大边的边长为17,求最小边的边长
1 310
练习1.在?ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,tanA?,cosB?210

若?ABC最短边的边长为5,求最长边的边长
练习2.已知?ABC的 一个内角为120
0
,并且三边长构成公差为4的等差数列,
则?ABC最长边的边长 为______

(3)边长或周长的最值

3
例1.在?ABC 中,角B,C,A成等差数列,且?ABC的面积为1?2,则AB边的最小值是_______
2
8

7
?
??
练习1.已知函数f
?
x
?
?2cos
2
x?sin
?
2x?
6
?
??
?,并写出f
?
x
?
取最大值时 x的取值集合
?
1
?
求函数f
?
x
?
的最大值

?
2
?
已知?ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f
?
A
?
?
求实数a的取值范围
3
,b?c?2,
2
练习2.在?ABC中,B?60
0
,AC?3,则AB?2BC的最大值为___ __
练习3.在?ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2ccosB?2a?b,若? ABC的面积为S?
则ab的最小值为__________.
3
c,
2练习4.设角A,B,C为?ABC的三个内角,已知cos
?
B?C
?
?2sin
2

?
1
?
求角A的大小
A5
?
24

?
2
?
若AB?AC??1,求BC边上的高AD长的最大值
练习5.函数f
?
x
?
?psin
?
x
?p?0,
?
?0
?
的最大值为2,其图象相邻两条对称轴
之间的 距离为
?

2
?
1
?
求函数f
?
x
?
的解析式
?
2
?
在?ABC中,AC?
练习6 .已知x?
2
?
?
B
?
f
??
,C?,求 ?ABC周长的最大值
23
??
是函数f
?
x
?
? msin2x?cos2x的图象的一条对称轴.
3
?
1
?
求函数f
?
x
?
的单调递增区间；
?

?
2
?
在?ABC中,角所对的边分别为a,b,c,若f
?
B
?
?2 ,且b?
c
3,求a?的取值范围.
2
练习7．在
?ABC
中，内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，< br>b
，
c
，已知
(3sinB?cosB)(3sinC?cosC)? 4cosBcosC
．
（Ⅰ）求角
A
的大小；
（Ⅱ）若
sinB?psinC
，且
?ABC
是锐角三角形，求实数
p
的取值 范围．




9

(4)面积的最值
例.已知a,b,c分别为?ABC的三个内角A,B,C的对边,a?2 ,且(2?b)(sinA?sinB)?(c?b)sinC,
则?ABC面积的最大值为_____ _
练习1.在?ABC中，a,b,c分别为A,B,C所对的边,且a?bcosC?csinB.< br>?
1
?
求角B的大小；
?
2
?
若b?2,求 ?ABC面积的最大值.
?
1
?
求角C的大小；
?
2
?
若c?4,求?ABC面积的最大值.
练习3.在?ABC中,角A,B,C所对的边分别 为a,b,c,且
则?ABC的面积最大值为_____
tanB3
?,c?1,
tanC2

练习2.在?ABC中，a,b,c分别为A,B,C所对的边, 且(2a?b)cosC?ccosB.

练习4.在锐角?ABC中,内角A,B,C的对边 分别是a,b,c,已知b
2
?4c
2
?8,
sinB?2sinC ?6bsinAsinC,则?ABC的面积取最大值时有a?___.
2

练习5． 已知锐角
?ABC
中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=3，
A=60°,求面积的取值范围；

(5)有关正弦或余弦或正切角等的最值 例1.已知a,b,c分别为?ABC的三个内角A,B,C的对边,若a
2
?b
2
?2c
2
则cosC的最小值为______
练习1.已知?ABC的内角 满足sinA?2sinB?2sinC,则cosC的最小值为______

练习2.在△ ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tanA?tanB)?
(1)求证:a? b?2c;(2)求cosC的最小值.
tanAtanB
?.
cosBcosA练习3.在锐角三角形ABC中,sinA?2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是 .
练习4.在?ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若3acosC?2ccosA,
1

?
1
?
若tanA?,求角B

3
?
2
?
求tanB的最小值



10

例2.在?ABC中,角所对的边分别为a,b,c,a2
?b
2
?3bc且sinC?23sinB
(1)求A的大小;(2) 求sinB?cosC的取值范围.


练习1.在?ABC中,角所对的边分别为a ,b,c,设S为?ABC的面积,满足
3
2
(a?b
2
?c
2
)
4
?
Ⅰ
?
求角C的大小
?
Ⅱ
?
求sinA?sinB的最大值
S?
练习2.在△ABC中,a
2
?c
2
?b
2
?2ac.
(1)求?B的大小;(2)求2cos A?cosC的最大值.

(5)基本不等式与余弦定理交汇

例.已知在 锐角?ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且tanA?
3bc
b
2< br>?c
2
?a
2

?
1
?
求角?的大 小
?
2
?
当a?3时,求b
2
?c
2
的最 大值并判断此时三角形ABC的形状
练习.在?ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且 csinC?bsinB?
?
a?b
?
sinA
?
1
?
求角C
?
2
?
若c?5,求?ABC的面积的最大值

(5)与二次函数交汇
例已知锐角.?ABC中,三个内角为A、B、C,向量p?(2?2 sinA，cosA?sinA),
q?(sinA?cosA,1?sinA),若p与q是共线向量 ,求
?
1
?
A的大小
?
2
?
函数f(B) ?2sin
2
B?cos
C?3B
取最大值时,B的大小
2

练习1.在?ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且(2a?c)cosB?bcos C

?
1
?
求B的大小
n?(4k,1)(k?1)且m? n的最大值为5，求k的值
?
2
?
设m?(sinA,cos2A)，
练习2．设函数
f
?
x
?
?acosx?bcos2x?1
．
（1）当
b?1,a?1
时，求函数
f
?
x
?
的值域；
（2）若
a?1
，对任意的实数
x
函数
f
?
x
?
?0
恒成立，求实数
b
的取值范围；

11

（3）若
b?1
，存在实数x
使得函数
f
?
x
?
?a
2
成立，求 实数
a
的取值范围．
练习3．
?ABC
的三个内角为
A、 B、C
，求当A为何值时，
cosA?2cos
值，并求出这个最大值。

六．图形问题
1.三角形内角之和和外角问题
B?C
取得最大
2
例在.?ABC中,点D在边BC上,sinB?
练习1.如图,在?ABC,?B?
求sin?BAD





53
,cos?ADC?,求AD

135
?
1
, AB?8,点D在边BC上,且CD?2,cos?ADC?,
37

练习2.在?ABC中,AD?BC,垂足为D,BD:DC:AD?2:3:6,求?BAC

练习3．如图，在四边形
ABCD
中，
AD?1
，
CD?2
，
AC?7
．

（1）求
cos?CAD
的值；
（2）若
cos?BAD??
721
，
sin?CBA?
， 求
BC
的长．
146
练习4如图，在凸四边形
ABCD
中 ，
C,D
为定点，
CD?3
,
A,B
为动点，满足
AB?BC?DA?1
．

12

（1）写出
cosC
与
cosA
的关系式；
（2）设?BCD
和
?ABD
的面积分别为
S
和
T
，求
S
2
?T
2
的最大值．


2.三角形角平分线问题
例.?ABC中,D是BC上的点,AD平分?BAC,?ABD面 积是?ADC面积的2倍.
sin?B2
?
1
?
求
?
2
?
若AD?1,DC?,求BD和AC的长
sin?C2

练习 1.在?ABC中,D在BC上,AD平分?BAC,若AB?3,AC?5,?BAC?120
0,则AD?_______
练习2.在?ABC中,AB?2,AC?1,A的角平分线AD?1, 则S
?ABC
?____

练习3.在?ABC中,B?120
0< br>,AB?2,A的角平分线AD?3,则AC?____


3.三角形中线问题
例.在?ABC中,已知AB?
46
,cosB?6
,AC边上的中线BD?5,求 sinA的值.
36
练习1.在?ABC中, 已知AB?2,AC?3,BC边上的中线AD?2,求?ABC的面积S.

练习2.在?A BC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,D为边AC的中点,a?32,
2
4?
1
?
若c?3,求sin?ACB的值；
cos?ABC=

?
2
?
若BD?3,求?ABC的面积.

4.三角形中多次使用正、余弦定理
例.在△ABC中,?A?
3?
,AB ?6,AC?32,点D在边BC上,AD?BD,求AD的长

4

练习1 .在?ABC中,已知B?45
0
,D是BC边上的一点,且AD?10,AC?14,DC? 6,
则AB的长为_____

13

练习2.在 ?ABC中,已知AB?21,C?45
0
,点D在BC边上,且
BD?9,AD?1 5,则AC的长为_____
练习3.在?ABC中,已知sin
BD?

? ABC3
?,AB?2,点D在线段AC上,且AD?2DC,
23
43
,则 BC的长为_____
3

练习4.如图,在?ABC中,D为BC边上一点,BC? 3BD,
AD?2,?ADB?135
0
,若AC?2AB,
则BD?___ ___

A

B
D
C
练习5.如图在?ABC中? ABC?90,AB?3,
BC?1,P为?ABC内一点,?BPC?90,
1
?< br>Ⅰ
?
若PB?,求PA
2
?
Ⅱ
?
若?APB ?150,求tan?PBA







5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用

例.已知圆内接四边形ABCD的边长 分别为AB?2,BC?6,CD?DA?4,
求四边形ABCD的面积.


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练习1.如图所示,A,B,C,D为平面四边形ABCD的 四个内角.
A1?cosA
tan?
?
1
?
求证：
2sinA

?
2
?
若?A??C?180,AB?6,BC?3, CD?4,AD?5,
求tan




ABCD
?tan?tan?tan的值.
2222
练习2：四边形ABCD的内角A与C互补,AB? 1,BC?3,CD?DA?2
(1)求C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积.

6.四边形与正、余弦定理

例.在平面四边形ABCD中,?A??B??C?75,BC?2,则AB的取值范围是_____

练习.在四边形ABCD中,AD?CD,AD?5,AB?7,?BDA?60
0
, ?CBD?15
0
,求BC




六．解三角形的实际应用
1.利用正弦定理求解实际应用问题
例.一艘船以32.2n mile h的速度向正北航行.在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方 向，
30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5nmi le 以
外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？

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练习1.如下图所示,
A
、
B
两点都在河的对岸(不可到达),在河岸边选定两点
C
、
D
,测得
C D
＝
400米,并且在
C
、
D
两点分别测得∠
BC A
＝60°,∠
ACD
＝30°,∠
CDB
＝45°,∠
B DA
＝60°,求
AB
长．

练习2.如下图所示,测量河对岸的 塔高
AB
时,可以选与塔底
B
在同一水平面内的两个测点
C
与
D
.现测得∠
BCD
＝α,∠
BDC
＝β,
CD
＝
s
,并在点
C
测得塔顶
A
的仰角为θ
,
求塔高
AB
.





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2.利用余弦定理求解实际应用问题
练习1:缉私巡逻艇在一小岛 A南偏西50?的方向,距小岛12海里的B处,
发现隐藏在小岛边上的一走私船正开始向小岛北偏西1 0?的方向行驶,
测得其速度为每小时10海里,问巡逻艇需用多大的速度朝什么方向
航行才能 恰在两个小时后截获该走私船？(参考数据：sin38
0
?0.62,28
2
=784)

练习1.如下图所示，一艘海轮从
A
出发，沿北偏东75°方 向航行67.5海里后到达海岛
B
，
然后从
B
出发，沿北偏东32° 的方向航行54.0海里后达到海岛
C
.如果下次行直接从
A
出发
到 达
C
，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到< br>0.01海里)




3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题
例1.某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当 前台风中心位于城市O(如图)
东偏南
?
(cos
?
?
2< br>)方向300km海面P处,并以20kmh的速度向西偏北

10
45?方向 移动.台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10kmh的
速度不断增大.问几小时后 该城市开始受到台风的侵袭？

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练习1. 某沿海四个城市
A
、
B
、
C
、
D
的位置如 图所示，其中
?ABC?60?
，
?BCD?135?
，
AB?80
n
mile
，
BC?40?303
n
mile
，< br>CD?2506
n
mile
.现
在有一艘轮船从
A
出 发以
50
n
mileh
的速度向
D
直线航行，
60 min
后，轮船由于天气原
因收到指令改向城市
C
直线航行，则收到指令时该 轮船到城市
C
的距离是
n
mile
．
练习2.如图，为测量山高
MN
，选择
A
和另一座山的山顶
C< br>为测量观测点. 从
A
点测得
M
点
的仰角
?MAN? 60
，
C
点的仰角
?CAB?45
以及
?MAC?75；从
C
点测得
?MCA?60
. 已
知山高
BC?100
m，则山高
MN?
________m.
M
C
N
A
B

练习3.如图，一辆汽车在一条水平 的公路上向正西行驶，到
A
处时测得公路北侧一山顶
D
在西偏北
30
的方向上，行驶600m后到达
B
处，测得此山顶在西偏北
75
的方 向上，仰角
为
30
，则此山的高度
CD?
m.

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