高中数学立体几何趣味故事-高中数学知识点与列题
解三角形
1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求
其他元素的过程叫作解三角形。
以下若无特殊说明，均设
?ABC
的三个内角
A、B、C
的对边分别为
a、b、c
，则有以下关系成立： <
br>（1）边的关系：
a?b?c
，
a?c?b
，
b?c?a（或满足：两条较短的边长之和大于较长边）
（2）角的关系：
A?B?C?
?
，
0?A、B、C?
?
，
0?A?B?
?
，
?
?
?A?B?
?
，
sinA?0
，
sin
(A?B)?sinC
，
cos(A?B)??cosC
，
sin
（
3）边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形
A?BC
?cos
22
板块一：正弦定理及其应用
1．正弦定理：
abc
???2R
，其中
R
为
?ABC
的外接圆半径
sinAsinBsinC
2．正弦定理适用于两类解三角形问题：
（1）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边；
（2）已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解
的可能），再计算第三角，最后根据正弦定理求出第三边
【例1】考查正弦定理的应用
（1）
?ABC
中，若
B?60
，
tanA?
?
（2）
?ABC
中，若
A?30
，
b?
?
2
，
BC?2
，则
AC?
_____；
4
2
，
a?1
，则
C?
____；
?
（3）
?ABC
中，若
A?45
，
b?
42
，
a?8
，则
C?
____；
（4）
?ABC
中，若
a?csinA
，则
a?b
的最大值为_____。
c
1
总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能
如图，在
?ABC
中，已知
a
、
b
、
A<
br>
（1）若
A
为钝角或直角，则当
a?b
时，
?ABC
有唯一解；否则无解。
（2）若
A
为锐角，则当
a?bsinA
时，三角形无解；
当
a?bsinA
时，三角形有唯一解；
当
bsinA?a?b
时，三角形有两解；
当
a?b
时，三角形有唯一解
实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。
板块二：余弦定理及面积公式
1．余弦定理：在
?ABC
中，角
A、B、C
的对边分别为
a、b、c
，则有
?
b
2
?c
2
?a
2
cosA?
?
2bc
?<
br>a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
??
2
?a
2
?c
2
?b
2
22
余弦定理：
?
b?a?c?2accosB
，
其变式为：
?
cosB?
2ac
?
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
?
?
?
a
2
?b
2
?c
2
?
cosC?
2ab?
2．余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题：
（1）已知三角形的两边及其
夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或
由余弦定理求第二个角），最后根
据“内角和定理”求得第三个角；
（2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定
理求较短边所对的角（或由余弦
定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角；
说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决
3．三角形的面积公式
（1）
S
?ABC
?
（2）
S
?ABC
（3）
S
?ABC
（4）
S
?ABC
（5）
S
?ABC
（6）
S
?ABC
111
；
ah
a
?bh
b
?ch
c
（
h<
br>a
、
h
b
、
h
c
分别表示
a
、
b
、
c
上的高）
222
111
?absinC
?bcsinA?acsinB
222
?
2R
2
sinAsinBsinC
（
R
为外接圆半径）
abc
；
?
4R
1
?p(p?a)(p?b)(p?c)
其中
p?(a?b?c)
2
1
?r?l
（
r是内切圆的半径，
l
是三角形的周长）
2
2
【例】考查余弦定理的基本应用
（1）在
?ABC
中，若
a?23
，
b?6?2
，
C?45
?
，求
c、A、B
；
（2）在
?ABC
中，若
a?13
，
b?4
，
c?3
，求边
AC
上的高
h
；
?
（3
）在
?ABC
中，若
a?213
，
b?8
，
A?6
0
，求
c
【例】（1）在
?ABC
中，若a?7
，
b?8
，
cosC?
13
，则
?AB
C
中最大角的余弦值为________
14
111
（2）（10上海理）
某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为
、、
，则（ ）
13115
A．不能作出这样的三角形
B．作出一个锐角三角形
C．作出一个直角三角形
D．作出一个钝角三角形
（3）以
3、4、x
为三边组成一个锐角三角形，则
x
的取值范围为__________
【例】考查正余弦定理的灵活使用 （1）在
?ABC
中，若
acosB?bcosA?csinC
，其面积
S?
1
2
(b?c
2
?a
2
)
，
则
B?
_____
4
（2）在
?ABC
中，若
(
3b?c)cosA?acosC
，则
cosA?
_____
（3）（07
天津理）在
?ABC
中，若
a?b?
（4）（10江苏）在锐角
?A
BC
中，若
【例】判断满足下列条件的三角形形状
（1）
atanB?btanA
； （2）
sinC?2cosAsinB
；
（3）
cosA?cosB?
2222
22
3bc
，
sin
C?23sinB
，则
A?
_____
batanCtanC
??6cosC
，则
??
_________
abtanAtanB
22
a?b
；
c
（4）
(a?b)sin(A?B)?(a?b)sin(A?B)
；
（5）
b?asinC
，
c?acosB
3
板块三：解三角形综合问题
【例】（09全国2）
在<
br>?ABC
中，角
A、B、C
的对边分别为
a
、
b、
c
，
cos(A?C)?cosB?
【例】（11西城一模
）在
?ABC
中，角
A、B、C
的对边分别为
a、b、c
，
且
cosB?
（1）当
a?
【例】在
?ABC
中，
sinA?cosA?
【例】在<
br>?ABC
中，角
A、B、C
的对边分别为
a、b、c
，已知<
br>c?2
，
C?
（1）若
?ABC
的面积等于
3
，求
a、b
；
（2）若
sinC?sin(B?A)?2sin
2A
，求
?ABC
的面积
【例5】（09江西理）在
?
ABC
中，角
A、B、C
的对边分别为
a、b、c
，且
ta
nC?
3
2
，
b?ac
，求
B
2
4
，
b?2
5
5
时，求角
A
的度数；
（2）求
?ABC
面积的最大值
3
2
，
AC?2
，
AB?3
，求
sinA
的值和
?ABC
的面积
2
?
3
sinA?sinB
，
cosA?cosB
sin(B?A)?cosC
（1）求
A、C
（2）若
S
?ABC
?3?3
，求
a、c
【例】（09安徽理）在
?ABC
中，
sin(C?A)?1
,
sinB?
（1）求
sinA
的值； （2）设
AC?
【例】（10辽宁理）在
?ABC
中，角
A、B、C
的对边分别为<
br>a、b、c
，
且
2asinA?(2b?c)sinB?(2c?b)sinC
（1）求
A
的大小； （2）求
sinB?sinC
的最大值
4
1
3
6
，求
?ABC
的面积
【例
】在
?ABC
中，角
A、B、C
的对边分别为
a、b、c
，
，
S
?ABC
?
（1）求
C
的大小；
（2）求
sinAsinB
的范围
3
2
(a?b
2
?c
2
)
4<
br>【例】（11全国2）设
?ABC
的内角
A、B、C
的对边分别为a、b、c
，已知
A?C?90
，
?
a?c?2b
，求
C
【江西理】在
?ABC
中，角
A、B、C
的对边分别是
a、b、c
，已知
sinC?cosC?1?sin
（1）求
sinC
的值；
（2）若
a?b?4(a?b)?8
，求边
c
的值
【1
1江西文】在
?ABC
中，角
A、B、C
的对边分别是
a、b、c<
br>，已知
3acosA?ccosB?bcosC
（1）求
cosA
的值； （2）若
cosB?cosC?
22
C
2
23
，
a?1
，求边
c
的值
3
5