高中数学教资数学史-高中数学"人教版教材
所谓的光辉岁月,并不是以后,闪耀的日子,而是无人问津时,你对梦想的偏执。
解三角形
1.解三角形:一般地,把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求
其他元素的过程叫作解三角形。
以下若无特殊说明,均设
?ABC
的三个内角
A、B、C
的对边分别为
a、b、c
,则有以下关系成立: <
br>(1)边的关系:
a?b?c
,
a?c?b
,
b?c?a(或满足:两条较短的边长之和大于较长边)
(2)角的关系:
A?B?C?
?
,
0?A、B、C?
?
,
0?A?B?
?
,
?
?
?A?B?
?
,
sinA?0
,
sin
(A?B)?sinC
,
cos(A?B)??cosC
,
sin
(
3)边角关系:正弦定理、余弦定理以及它们的变形
A?BC
?cos
22
板块一:正弦定理及其应用
1.正弦定理:
abc
???2R
,其中
R
为
?ABC
的外接圆半径
sinAsinBsinC
2.正弦定理适用于两类解三角形问题:
(1)已知三角形的任意两角和一边,先求第三个角,再根据正弦定理求出另外两边;
(2)已知三角形的两边与其中一边所对的角,先求另一边所对的角(注意此角有两解、一解、无解
的可能),再计算第三角,最后根据正弦定理求出第三边
【例1】考查正弦定理的应用
(1)
?ABC
中,若
B?60
,
tanA?
?
(2)
?ABC
中,若
A?30
,
b?
?
2
,
BC?2
,则
AC?
_____;
4
2
,
a?1
,则
C?
____;
?
(3)
?ABC
中,若
A?45
,
b?
42
,
a?8
,则
C?
____;
(4)
?ABC
中,若
a?csinA
,则
放弃很简单,但你坚持到底的样子一定很酷!
a?b
的最大值为_____。
c
1
所谓的光辉岁月,并不是以后,闪耀的日子,而是无人问津时,你对梦想的偏执。
总结:若已知三角形的两边和其中一边所对的角,解这类三角形时,要注意有两解、一解和无解的可能
如图,在
?ABC
中,已知
a
、
b
、
A<
br>
(1)若
A
为钝角或直角,则当
a?b
时,
?ABC
有唯一解;否则无解。
(2)若
A
为锐角,则当
a?bsinA
时,三角形无解;
当
a?bsinA
时,三角形有唯一解;
当
bsinA?a?b
时,三角形有两解;
当
a?b
时,三角形有唯一解
实际上在解这类三角形时,我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。
板块二:余弦定理及面积公式
1.余弦定理:在
?ABC
中,角
A、B、C
的对边分别为
a、b、c
,则有
?
b
2
?c
2
?a
2
cosA?
?
2bc
?<
br>a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
??
2
?a
2
?c
2
?b
2
22
余弦定理:
?
b?a?c?2accosB
,
其变式为:
?
cosB?
2ac
?
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
?
?
?
a
2
?b
2
?c
2
?
cosC?
2ab?
2.余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题:
(1)已知三角形的两边及其
夹角,先由余弦定理求出第三边,再由正弦定理求较短边所对的角(或
由余弦定理求第二个角),最后根
据“内角和定理”求得第三个角;
(2)已知三角形的三条边,先由余弦定理求出一个角,再由正弦定
理求较短边所对的角(或由余弦
定理求第二个角),最后根据“内角和定理”求得第三个角;
说明:为了减少运算量,能用正弦定理就尽量用正弦定理解决
3.三角形的面积公式
(1)
S
?ABC
?
(2)
S
?ABC
(3)
S
?ABC
(4)
S
?ABC
(5)
S
?ABC
(6)
S
?ABC
111
;
ah
a
?bh
b
?ch
c
(
h<
br>a
、
h
b
、
h
c
分别表示
a
、
b
、
c
上的高)
222
111
?absinC
?bcsinA?acsinB
222
?
2R
2
sinAsinBsinC
(
R
为外接圆半径)
abc
;
?
4R
1
?p(p?a)(p?b)(p?c)
其中
p?(a?b?c)
2
1
?r?l
(
r是内切圆的半径,
l
是三角形的周长)
2
2
放弃很简单,但你坚持到底的样子一定很酷!
所谓的光辉岁月,并不是以后,闪耀的日子,而是无人问津时,你对梦想的偏执。
【例】考查余弦定理的基本应用
(1)在
?ABC
中,若
a?23
,
b?6?2
,
C?45
?
,求
c、A、B
;
(2)在
?ABC
中,若
a?13
,
b?4
,
c?3
,求边
AC
上的高
h
;
?
(3
)在
?ABC
中,若
a?213
,
b?8
,
A?6
0
,求
c
【例】(1)在
?ABC
中,若a?7
,
b?8
,
cosC?
13
,则
?AB
C
中最大角的余弦值为________
14
111
(2)(10上海理)
某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为
、、
,则( )
13115
A.不能作出这样的三角形
B.作出一个锐角三角形
C.作出一个直角三角形
D.作出一个钝角三角形
(3)以
3、4、x
为三边组成一个锐角三角形,则
x
的取值范围为__________
【例】考查正余弦定理的灵活使用 (1)在
?ABC
中,若
acosB?bcosA?csinC
,其面积
S?
1
2
(b?c
2
?a
2
)
,
则
B?
_____
4
(2)在
?ABC
中,若
(
3b?c)cosA?acosC
,则
cosA?
_____
(3)(07
天津理)在
?ABC
中,若
a?b?
(4)(10江苏)在锐角
?A
BC
中,若
【例】判断满足下列条件的三角形形状
(1)
atanB?btanA
; (2)
sinC?2cosAsinB
;
(3)
cosA?cosB?
2222
22
3bc
,
sin
C?23sinB
,则
A?
_____
batanCtanC
??6cosC
,则
??
_________
abtanAtanB
22
a?b
;
c
(4)
(a?b)sin(A?B)?(a?b)sin(A?B)
;
(5)
b?asinC
,
c?acosB
放弃很简单,但你坚持到底的样子一定很酷!
3
所谓的光辉岁月,并不是以后,闪耀的日子,而是无人问津时,你对梦想的偏执。
板块三:解三角形综合问题
【例】(09全国2)
在
?ABC
中
,角
A、B、C
的对边分别为
a
、
b
、
c
,
cos(A?C)?cosB?
【例】(11西城一模)在
?ABC中,角
A、B、C
的对边分别为
a、b、c
,且
cosB? (1)当
a?
【例】在
【例】在
?A
BC
中,角
A、B、C
的对边分别为
a、b、c
,已知
c?
2
,
C?
(1)若
?ABC
的面积等于
3
,求a、b
;
(2)若
sinC?sin(B?A)?2sin2A
,求
?ABC
的面积
【例5】(09江西理)在
?ABC中,角
A、B、C
的对边分别为
a、b、c
,且
tanC?中,,,,求
sinA
的值和的面积
3
2
,
b?ac
,求
B
2
4
,
b?2
5
5
时,求角
A
的度数;
(2)求
?ABC
面积的最大值
3
?
3
sinA?sinB
,
cosA?cosB
sin(B?A)?cosC
(1)求
A、C
(2)若
S
?ABC
?3?3
,求
a、c
【例】(09安徽理)在
?ABC
中,
sin(C?A)?1
,
sinB?
(1)求
sinA
的值; (2)设
AC?
【例】(10辽宁理)在
?ABC
中,角
A、B、C
的对边分别为<
br>a、b、c
,
且
2asinA?(2b?c)sinB?(2c?b)sinC
(1)求
A
的大小; (2)求
sinB?sinC
的最大值
放弃很简单,但你坚持到底的样子一定很酷!
4
1
3
6
,求
?ABC
的面积
所谓的光辉岁月,并不是以后,闪耀的日子,而是无人问津时,你对梦想的偏执。 【例】在
?ABC
中,角
A、B、C
的对边分别为
a、b、c<
br>,,
S
?ABC
?
(1)求
C
的大小; (2)求
sinAsinB
的范围
3
2
(a?b
2
?c
2
)
<
br>4
【例】(11全国2)设
?ABC
的内角
A、B、C
的对边
分别为
a、b、c
,已知
A?C?90
,
?
a?c?2b
,求
C
【江西理】在
?ABC
中,角
A、B、C
的对边分别是
a、b、c
,已知
sinC?cosC?1?sin
(1)求
sinC
的值;
(2)若
a?b?4(a?b)?8
,求边
c
的值
【1
1江西文】在
?ABC
中,角
A、B、C
的对边分别是
a、b、c<
br>,已知
3acosA?ccosB?bcosC
(1)求
cosA
的值; (2)若
cosB?cosC?
22
C
2
23
,
a?1
,求边
c
的值
3
放弃很简单,但你坚持到底的样子一定很酷!
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所谓的光辉岁月,并不是以后,闪耀的日子,而是无人问津时,你对梦想的偏执。
放弃很简单,但你坚持到底的样子一定很酷!
6
所谓的光辉岁月,并不是以后,闪耀的日子,而是无人问津时,你对梦想的偏执。
放弃很简单,但你坚持到底的样子一定很酷!
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所谓的光辉岁月,并不是以后,闪耀的日子,而是无人问津时,你对梦想的偏执。
放弃很简单,但你坚持到底的样子一定很酷!
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所谓的光辉岁月,并不是以后,闪耀的日子,而是无人问津时,你对梦想的偏执。
放弃很简单,但你坚持到底的样子一定很酷!
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