人教版高中数学必修3课本答案解析-高中数学第一节课 做什么
解三角形练习
题一:在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=32,则AC=( ).
A.43
C.3
B.23
D.
3
2
tan A
=
tan
B
题二:在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a
=23,c
=22,1+
2c
,则C =( ).
b
A.30°
B.45°
D.60° C.45°或135°
题三:在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b=2asin
B,则角A的大小为________.
题四:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2b-c)cos
A-acos C=0.求角A的
大小.
题五:在△ABC
中,内角A,B,C依次成等差数列,AB=8,BC=5,则△ABC外接圆的面积为________.
题六:在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin B(tan
A+tan C)=tan Atan C. 求
证:a,b,c成等比数列.
题七:某港口O要将一件
重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港
口O北偏西30
°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里小时的航行速度沿正东方向匀速行
驶.假设该小艇沿
直线方向以v海里小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值.
π
题八:如图,在△ABC中,已知B= ,AC=43,D为BC边上一点.若AB=AD,
则△ADC的
3
周长的最大值为________.
题九:如图,在△ABC中,点D在BC边上,AD=33,sin∠BAD=
53
,cos∠ADC=
.
135
(1)求sin∠ABD的值;
(2)求BD的长.
题十:如图,在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°,测得湖中之影的俯角为45°
,
则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)( ).
A.2.7 m
C.37.3 m
B.17.3 m
D.373 m
题十一:在△ABC中,若sin
2
A+sin
2
B <
sin
2
C,则△ABC的形状是( ).
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
题十二:在△ABC中,a=2bcos C,则这个三角形一定是( ).
A.等腰三角形
C.等腰直角三角形
B.直角三角形
D.等腰或直角三角形
解三角形参考答案
题一: B.
详解:由正弦定理得:
BCAC32AC322
= ,即 = ,所以AC= ×
=23.
sin Asin Bsin 60°sin
45°2
3
2
题二: B.
tan
A2c
详解:由1+=和正弦定理,
tan Bb
得cos Asin B+sin
Acos B=2sin Ccos A,
即sin C=2sin Ccos A,
1
所以cos A=,则A=60°.
2
由正弦定理得
则sin
C =
2322
= ,
sin Asin C
2
,
2
又c < a,则C < 60°,故C = 45°.
题三:
30°或150°
1
详解:由正弦定理得sin B=2sin Asin B,因为sin
B ≠ 0,所以sin A= ,所以A=30°或A=150°.
2
π
题四:
A=.
3
详解:由(2b-c)cos A-acos C =0及正弦定理,
得(2sin B-sin C)cos A-sin Acos C =0,
所以2sin
Bcos A-sin(A+C)=0,即sin B(2cos A-1)=0.
因为0 < B
< π,所以sin B ≠ 0,
1
所以cos A= .
2
π
因为0 < A < π,所以A= .
3
题五:
49π
.
3
π
详解:记△ABC的外接圆半径为R.依题意得2B
=A+C,又A+C+B=π,因此有B= ,所以AC =
3
AB
2
+BC
2
-2AB·BC·cos B=7.又2R=
题六:
见详解.
详解:在△ABC中,由于sin B(tan A+tan C)=tan Atan
C,
sin Asin C
sin Asin C
所以sin B
cos
A
+
cos C
=·,
cos Acos C
因此sin
B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C,
所以sin
Bsin(A+C)=sin Asin C.
又A+B+C=π,
所以sin(A+C)=sin B,
AC77
49π
= ,即R=
,故△ABC的外接圆的面积是πR
2
= .
sin Bsin
60°3
3
()
因此sin
2
B=sin Asin
C.
由正弦定理得b
2
=ac,
即a,b,c成等比数列.
题七: (1) 303;(2) 小艇航行速度的最小值为1013 海里小时.
详解:(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里,
则S=900t
2
+400-2·30t·20·cos?90°-30°?=900t
2
-600t+400
=
1
900
t-
3
()
+300,
2
1103
故当t= 时,S
min
=103,v= =303,
31
3
即小艇以303海里小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.
(2)设小艇与轮船在B处相遇,如图所示.由题意可得:(vt)
2
=20
2
+(30t)
2
-2·20·30t·cos(90°-30°),化简得:
v<
br>2
=
13
400600
-+900=400
t
-4
2
tt
()
+675.
2
111
由于0
< t ≤ ,即 ≥ 2,所以当 =2时,v取得最小值1013,
2tt
即小艇航行速度的最小值为1013海里小时.
题八:
8+43.
π
详解:因为AB=AD,B= ,所以△ABD为正三角形,
3
在△ADC中,根据正弦定理,可得
AD43DC
= = ,
sin C
2π
π
sin
sin
3
-C
3
()
π
所以AD=8sin C,DC=8sin
3
-C
,
所以△ADC的周长为AD+DC+AC
π
=8sin
C+8sin
3
-C
+43
=8
?
sin
C+
()
()
?
31
cos C-sin
C
?
+43
22
?
13
=8
?
sin
C+cos C
?
+43
2
?
2
?
π
=
8sin
C+
3
+43,
因为∠ADC=
2ππππ2π
,所以0 < C< ,所以 < C+ < ,
33333
()
πππ
所以当C+ = ,即C =
时,△ADC的周长的最大值为8+43.
326
题九: (1)
33
.(2) 25.
65
3
详解:(1)因为cos∠ADC
= ,
5
4
所以sin∠ADC =1-cos
2
∠ADC =
.
5
又sin∠BAD =
5
,
13
12
.
13
所以cos∠BAD=1-sin
2
∠BAD =
因为∠ABD=∠ADC -∠BAD,
所以sin∠ABD=sin(∠ADC
-∠BAD)
=sin∠ADCcos∠BAD-cos∠ADCsin∠BAD
4123533
= × - × = .
51351365
BDAD
(2)在△ABD中,由正弦定理得 = ,
sin∠BADsin∠ABD
5
33×
13
AD×sin∠BAD
所以BD= = =25.
33
sin∠ABD
65
题十: C.
详解:在△ACE中,tan 30°=
所以AE=
CM-10
.
tan 30°
CM+10
DE
= ,
AEAE
CM-10
CE
= .
AEAE
在△AED中,tan 45°=
所以AE=
所以
CM+10
,
tan 45°
CM-10CM+10
= ,
tan 30°tan 45°
所以CM=
10(3+1)
=10(2+3)≈37.3(m).
3-1
题十一: C.
a
2
+b
2
-c
2
详解:由正弦定理得a+b<
c,所以cos C = < 0,所以C是钝角,故△ABC是钝角三角形.
2ab
22
2
题十二: A.
详解:由余弦定理知cos C =
a
2
+b
2
-c
2
,
2ab
a
2
+b
2
-c
2
a
2
+b
2-c
2
所以a=2b· = ,
2aba
所以a
2
=
a
2
+b
2
-c
2
,所以b
2
=c
2
,所以b=c.
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