高中数学 解三角形一(带答案)

习题精炼
1．在
?ABC中，
A?B
是
sinA?sinB
的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2 、已知关于
x
的方程
x?xcosA?cosB?2sin
22
C< br>?0
的两根之和等于两根之积的一半，则
?ABC
一定
2
是 （ ）
（A）直角三角形（B）钝角三角形（C）等腰三角形（D）等边三角形.
3、 已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=
3
, A+C=2B,则sinC= .
4、如图，在△ABC中，若b = 1，c =
3
，
?C?



B
2
?
，则a= 。
3
3
2
?
3
C
1
A
2
，
b?2
，
sinB?cosB?2
，则角
A
5、在
?ABC
中，角
A,B,C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，若
a?
的大小为 ．
6、在
?
中，
a, b,c
分别为角
A,B,C
的对边，且
4sin
ABC
（1 ）求
?A
的度数
（2）若
a?3
，
b?c?3
， 求
b
和
c
的值

7、 在△ABC中已知acosB=bcosA,试判断△ABC的形状.

8、如图，在△ABC中，已知
a?














参考答案：
2
B?C7
?cos2A?

22
3
，
b?2
，B=45? 求A、C及
c
.
1、解：在
?ABC中，A?B
?a?b?2RsinA?2RsinB?sinA? sinB
，因此，选
C
．
2、【答案】由题意可知：
cosAco sB?
1C1?cosC
，从而
?2?sin
2
?
222< /p>

2cosAcosB?1?cos(A?B)?1?cosAcosB?sinAsinB

cosAcosB?sinAsinB?1
，
cos(A?B)?1
又因为
?
?
?A?B?
?
所以
A?B?0
，所以
?ABC
一定是
等腰三角形选C
3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用.
【思路点拨】由已知条件求出B
、
A
的大小，求出
C
，从而求出
sinC.

【规范解答】由A+C=2B及
A?B?C?180
得
B?60
，由 正弦定理得
13
1
?
得
sinA?
，由
sinAs in60
2
a?b
知
A?B?60
，所以
A?30
，
C?180?A?B

?90
，所以
sinC?sin90?1.

4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。
【思路点拨】对
?C
利用余弦定理，通过解方程可解出
a
。
【规范解答】由余弦定理得，
a
2
?1
2
?2?a?1?cos< br>【答案】1
【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。
5、【命 题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了考生的推理论证能
力和运 算求解能力。
【思路点拨】先根据
sinB?cosB?
【规范解答】由
sinB?cosB?
2
?
。
?3
，即
a
2?a?2?0
，解得
a?1
或
?2
（舍）
3
2
求出B，再利用正弦定理求出
sinA
，最后求出A.
2
得
1?2sinBcosB?2
，即
sin2B?1
，因为
0 ?
，所以
B=45
，
22
1
=
，解得
si nA?
，又
a，
sinAsin45
2
又因为
a?2
，
b?2
，所以在
?ABC
中，由正弦定理得：
所以
A，所以
A=30
.
【答案】30°或
?
6

6．【答案】由题意得
771
?
2
?
1?cos(B?C)
?
?2cos
2
A?1?

2
?
1?cos
?
?
?2cos
2
A?1?
∴
cosA?

0?A?

23
22
b
2
?c
2
?a
2
1
2
cosA??
?
b?c
?
?a
2
?3bc
将
a?3,b?c?3
代入得
bc?2,
由
b?c?3
及
bc?2
，得
2bc2
b?1,c?2< br>或
b?2,c?1
.
7、 【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状 ,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表
示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的 形状.
【答案】解法1：由扩充的正弦定理：代入已知式

2RsinAcosB=2RsinBcosA
sinAcosB- cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0
A-B=0 ∴A=B 即△ABC为等腰三角形
2222
解法2:由余弦定理:
a?
a?c?b
?b?
b?c?a

a
2
?b
2
∴
a?b
即△ABC为等腰
2ac2bc
22
三角形.
8、 【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角
asin B3sin45
?
3
【答案】解法1：由正弦定理得：
sinA?

??
b2
2
∵B=45?<90? 即
b
<
a
∴A=60?或120?
bsinC
?
当A=60?时C=75? c?
sinB
2sin75
?
?
sin45
?
6?2

2
6?2

2
2
bsinC2sin15
?
??
当A=120?时C=15?
c?
?
sinB< br>sin45
222
解法2：设
c
=x由余弦定理
b?a?c ?2accosB
将已知条件代入，整理：
x?6x?1?0
解之：
x?6?2

2
当
c?
6?2
2
)?3
b ?c?a1?3?
6?2
2
???
从而A=60? ，C=75? 时cosA?
2
2bc
6?22(3?1)
2
2?2?
2
222
2?(
当
c?


6?2
时同理可求得：A=120? C=15?.
2