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高中数学解三角形(有答案)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 09:35
tags:高中数学解三角形

高中数学竞赛教练员 总结心得.doc-高中数学个人研修目标

2020年10月6日发(作者:袁鲁)


解三角形

一.选择题(共20小题)
1.(2015?河南二模 )在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,c=8,B=60°,则△ABC的
周长是( )
A. 1 8 B. 19 C. 16 D. 17
2.(2015?河南二模)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,c= 8,B=60°,则△ABC的
周长是( )
A. 1 7 B. 19 C. 16 D. 18

3.(2014?云南模拟)在△ABC中,b
2
﹣a2
﹣c
2
=ac,则∠B的大小( )
120°
A.
3


B.
6


C. D.
1

50°

4.(2013?陕西)设△ABC的内角A ,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为
( )
A. 锐 角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定
5.(2013?湖南)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB=b,则角 A等于( )
A. B. C. D.


6.(201 3?温州二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=30°,B=105°,a=1 .则c=( )
A. ﹣ 1 B.
.


C. D. .2
.

7.(2013?天津模拟)在钝角△ABC中,已知AB=
A. B.


8.(2013?泰安一模)在△ABC中,∠A=60°,AB=2,且△ABC的面积为
A.

B. 3

9.(2013?浦东新区三模)已知△ABC中,AC=2
A. B.


10.(2012?广东)在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,
A. B. C.

,则AC=( )

D.

C.

,则BC的长为( )
D. 7
,AC=1,∠B=30°,则△ABC的面积是( )
C. D.

,BC=2,则角A的取值范围是( )
C. D.


11.(2012?天河区三模)在△ABC中,若A=60°,BC=4,AC=4,则角B的大小为( )
45° 135°
A.
3


B. C. D. 45°或135°

12.(2010?湖北)在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB=( )
A. B. C. D.
﹣ ﹣


13.△ABC的内角A、B、C对边的长a、b、c成等比数列,则
A. ( 0,+∞)

B.
(0,2+)
C. (1,+∞)
的取值范围是( )
D.
(1,2+)
14.(2014?江西)在 △ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则
( )
A.


15.(2014?重庆三模)在△ABC中,若
A.
3



45°
B.
,则∠B等于( )
60°
C.
90°
D.
的值为
B.

C. 1 D.

16.(2014?萧山区模拟)在锐角△ABC中,若C=2B,则的范围( )
A. B. C. (0,2) D.


17.(2014?南平模拟)在△ABC中,如果,B=30°,那么角A等于( )
45° 60° 120°
A.
3


B. C. D.

18.(2014?广西模拟)在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分 别为a,b,c,若∠A:∠B=1:2,且a:b=1:
则cos2B的值是( )
A. B. C. D.



19.(2014?鄂尔多斯模拟)在△ABC中,∠A=60°,b=1,△ABC的面积为
A. B. C.



,则边a的值为( )
D. 3
asinC=bsinB,则∠B

20.(2014?文登市二模)△ABC的 内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinA+csinC+
( )
A. B. C. D.


二.解答题(共10小题)
21.(201 4?山东)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cosA=
(Ⅰ)求b 的值;
(Ⅱ)求△ABC的面积.

22.(2014?东城区一模)设△AB C的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且
(Ⅰ)求的值;
,B=A+.

(Ⅱ)求tan(A﹣B)的最大值.

23.(2014?浙江) 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=
﹣sinBcosB.
,cos
2
A﹣cos
2
B=sinAcosA

(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)若sinA=,求△ABC的面积.

24. (2014?天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a﹣c=
(Ⅰ)求 cosA的值;
(Ⅱ)求cos(2A﹣)的值.
b,sinB=sinC,

25.(2014?兴安盟一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2c ﹣a)cosB﹣bcosA=0.
(Ⅰ)若b=7,a+c=13求此三角形的面积;
(Ⅱ)求

26.(2014?福建模拟)设△ABC中的内角A,B,C所对的边 长分别为a,b,c,且
(Ⅰ)当时,求角A的度数;
,b=2.
sinA+sin(C﹣)的取值范围.
(Ⅱ)求△ABC面积的最大值.
< br>27.(2014?江西模拟)三角形ABC中,内角A,B,C所对边a,b,c成公比小于1的等比数 列,且sinB+sin(A
﹣C)=2sin2C.
(1)求内角B的余弦值;
(2)若b=,求△ABC的面积.

28.(2014?陕西)△ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.
(Ⅰ)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);
(Ⅱ)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.

29.(2014?重 庆)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且a+b+c=8.
(Ⅰ)若a=2,b=,求cosC的值;
(Ⅱ)若sinAcos
2
+s inBcos
2
=2sinC,且△ABC的面积S=sinC,求a和b的值.

30.(2014?启东市模拟)在△ABC中,A,B,C为三个内角a,b,c为三条边,
(Ⅰ)判断△ABC的形状;
(Ⅱ)若

,求的取值范围.
,且.


参考答案与试题解析


一.选择题(共20小题) 1.(2015?河南二模)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,c= 8,B=60°,则△ABC的
周长是( )
A. 1 8 B. 19 C. 16 D. 17

考点: 余弦定理.
专题: 解三角形.
分析: 利用余弦定理列出关系式,把a,c,cosB的值代入求出b的值,即可确定出三角形ABC周长.
解答: 解:∵△ABC中,a=3,c=8,B=60°,
∴b
2
=a< br>2
+c
2
﹣2accosB=9+64﹣24=49,即b=7,
则△ABC周长为3+8+7=18,
故选:A.
点评: 此题考查了余弦定理,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.

2.(2015?河南二模) 在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,c=8,B=60°,则△ABC的< br>周长是( )
A. 1 7 B. 19 C. 16 D. 18

考点: 余弦定理.
专题: 解三角形.
分析: 利用余弦定理列出关系式,将a,b及cosB的值代入,得到关于c的方程,求出方程的解即可得到c的值.
解答:
解:∵a=3,c=9,B=60°,∴由余弦定理b
2
=a
2
+c
2
﹣2accosB,即:b
2
=9+64﹣24,即b= 7,
则a+b+c=18
故选:D.
点评: 此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.

3 .(2014?云南模拟)在△ABC中,b
2
﹣a
2
﹣c
2
=ac,则∠B的大小( )
60° 120° 150°
A.
3


B. C. D.

考点: 余弦定理.
专题: 解三角形.
分析: 利用余弦定理表示出cosB,把已知等式变形后代入计算求出cosB的值,即可确定出B的度数.
解答:
解:∵在△ABC中,b
2
﹣a
2
﹣c
2
=ac,即a
2
+c
2
﹣b
2
=﹣ac,
∴cosB==﹣,
则∠B=150°,
故选:D.
点评: 此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.

4 .(2013?陕西)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=a sinA,则△ABC的形状为
( )
A. 锐 角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定

考点: 正弦定理.
专题: 解三角形.


分析: 由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAs inA,再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1,
可得A=,由此可得△ABC的形状.
解答: 解:△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
∵bcosC+ccosB=asinA,则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,
即 sin(B+C)=sinAsinA,可得sinA=1,故A=,故三角形为直角三角形,
故选B.
点评: 本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用,根据三角函数的值求角,属于中档题.

5.(2013?湖南)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2as inB=b,则角A等于( )
A.

B.

C.

D.


考点: 正弦定理.
专题: 计算题;解三角形.
分析: 利用正弦定理可求得sinA,结合题意可求得角A.
解答:
解:∵在△ABC中,2asinB=b,
∴由正弦定理==2R得:2sinAsinB=sinB,
∴sinA=,又△ABC为锐角三角形,
∴A=.
故选D.
点评: 本题考查正弦定理,将“边”化所对“角”的正弦是关键,属于基础题.

6.(2013 ?温州二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=30°,B=105°,a=1. 则c=(
A. ﹣ 1 B.
.


C.
.
D. .2

考点: 正弦定理.
专题: 解三角形.
分析:
由已知可先求C,然后结合正弦定理可求
解答: 解:∵A=30°,B=105°,
∴C=45°
∵a=1.
由正弦定理可得,
则c===
故选B
点评: 本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的简单应用,属于基础试题

7.(2013?天津模拟)在钝角△ABC中,已知AB=,AC=1,∠B=30°, 则△ABC的面积是( )
A.

B.

C.

D.



考点: 正弦定理.
专题: 解三角形.
分析: 利用余弦定理列出关系式,把c,b,以及cosB的值代入求 出a的值,利用三角形面积公式即可求出三角形
ABC面积.
解答:
解:∵在钝角△ABC中,已知AB=c=,AC=b=1,∠B=30°,
∴由余弦定理得 :b
2
=a
2
+c
2
﹣2accosB,即1=a
2
+3﹣3a,
解得:a=1或a=2,
当a=1时,a=b,即∠A=∠B=3 0°,此时∠C=120°,满足题意,△ABC的面积S=acsinB=
当a=2时,满足a
2
=c
2
+b
2
,即△ABC为直角三角形,不合题意,舍去,
则△ABC面积是.

故选:B.
点评: 此题考查了正弦定理,余弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
< br>8.(2013?泰安一模)在△ABC中,∠A=60°,AB=2,且△ABC的面积为,则BC的长 为( )
A.

B. 3 C.

D. 7

考点: 余弦定理.
专题: 解三角形.
分析:
由△ABC的面积S< br>△ABC
=,求出AC=1,由余弦定理可得BC,计算可得答案.
解答:
解:∵S
△ABC
=
∴AC=1,
=×AB×ACsin60°=×2×AC×,
△ABC中,由余弦定理可得BC==,
故选A.
点评: 本题考查三角形的面积公式,余弦定理的应用,求出 AC,是解题的关键.

9.(2013?浦东新区三模)已知△ABC中,AC=2,BC=2,则角A的取值范围是( )
A. B. C. D.


考点: 余弦定理.
专题: 解三角形.
分析: 知道两边求角的范围,余弦定理得到角和第三边的关系,而第三 边根据三角形的构成条件是有范围的,这
样转化到角的范围.
解答:
解:利用余弦 定理得:4=c
2
+8﹣4ccosA,即c
2
﹣4cosAc+4=0,
∴△=32cos
2
A﹣16≥0,
∵A为锐角
∴A∈(0,],
故选:C.
点评: 此题属于解三角形题型,解题思路为:利用 余弦定理解答三角形有解问题,知道两边求角的范围,余弦定
理得到角和第三边的关系,而第三边根据三 角形的构成条件是有范围的,这样转化到角的范围,有一定难
度.



10.(2012?广东)在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,
A. B. C.


考点: 正弦定理.
专题: 计算题.
分析:
结合已知,根据正弦定理,
,则AC=( )

D.

可求AC

解答:
解:根据正弦定理,

故选B
点评: 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础试题

11.( 2012?天河区三模)在△ABC中,若A=60°,BC=4,AC=4,则角B的大小为( )
135°
A.
3


B.
4


C. D. 45°或135°

考点: 正弦定理的应用.
专题: 计算题.
分析:
先根据正弦定理将题中所给数值代入求出sinB的值, 进而求出B,再由角B的范围确定最终
答案.
解答:
解:由正弦定理得,
∴B=45°或135°
∵AC<BC,
∴B=45°,
故选B.
点评: 本题主要考查了正弦定理的应用.属基础题.正弦定理在解三角形中有着广泛的应用,要熟练掌握.

12.(2010?湖北)在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB=( )
A. B. C. D.
﹣ ﹣

考点: 正弦定理.
分析:
根据正弦定理先求出sinB的值,再由三角形的边角关系确定∠B的范围,进而利用 sin
2
B+cos
2
B=1求解.
解答:
解:根据正弦定理可得,

解得,
又∵b<a,
∴B<A,故B为锐角,


∴,
故选D.
点评: 正弦定 理可把边的关系转化为角的关系,进一步可以利用三角函数的变换,注意利用三角形的边角关系确
定所求 角的范围.

13.△ABC的内角A、B、C对边的长a、b、c成等比数列,则
A. ( 0,+∞) B. C. (1,+∞)
(0,2+)

考点: 正弦定理;等比数列的通项公式.
专题: 解三角形.
分析:
设==q,则由任意两边之和大于第三边求得q的范围,可得
的取值范围是( )
D.
(1,2+)
的取值范围
解答:
解:设==q,则==q+q
2
,则由,求得<q<,
∴<q
2
<,∴1<q+q
2
<2+,
故选:D.
点评: 本题考查数列与三角函数的综合应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意三角形三 边关系的
灵活运用

14.(2014?江西)在△ABC中,内角A,B,C所 对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则
( )
A.

的值为
B.

C. 1 D.


考点: 余弦定理;正弦定理.
专题: 解三角形.
分析: 根据正弦定理,将条件进行化简即可得到结论.
解答:
解:∵3a=2b,∴b=,
根据正弦定理可得===,
故选:D.
点评: 本题主要考查正弦定理的应用,比较基础.

15.(2014?重庆三模)在△ABC中,若
A.
3



考点: 正弦定理.
专题: 计算题.
,则∠B等于( )
60°
C.
90°
D.
45°
B.


分析: 根据所给的等式和正弦定理,得到要求角的正弦和余弦相等,由根据这是一个三 角形的内角得到角的度数
只能是45°.
解答:
解:∵,
又由正弦定理知,
∴sinB=cosB,
∵B是三角形的一个内角,
∴B=45°,
故选B.
点评: 本题考查正弦定理,是一个基础题,解题时注意 当两个角的正弦值和余弦值相等时,一定要说清楚这个角
的范围,这样好确定角度.

16.(2014?萧山区模拟)在锐角△ABC中,若C=2B,则的范围( )
A. B.


考点: 正弦定理;函数的值域.
专题: 计算题.
分析:
由正弦定理得

C. (0,2) D.

,再根据△ABC是锐角三角形,求出B,cosB的取值范围即可.
,∵△ABC是锐角三角形,∴三个内角均为锐角,
,0<π﹣C﹣B=π﹣3B<
<cosB<.
解答:
解:由正弦定理得
即有
解得
∴<<
,又余弦函数在此范围内是减函数.故
故选A
点评: 本题考查了二倍角公式、正弦定理的应用、三角函数的性质.易错点是B角的范围确定不准确.

17.(2014?南平模拟)在△ABC中,如果,B=30°,那么角A等于( )
45° 60° 120°
A.
3


B. C. D.

考点: 正弦定理;余弦定理.
分析:
本题考查的知识点 是正弦定理和余弦定理,由在△ABC中,如果,我们根据正弦定理边角
互化可以得到a=c,又由B= 30°,结合余弦定理,我们易求出b与c的关系,进而得到B与C的关系,
然后根据三角形内角和为1 80°,即可求出A角的大小.
解答:
解:∵在△ABC中,如果
∴a=c
又∵B=30°
由余弦定理,可得:
cosB=cos30°=
解得:b=c
则B=C=30°
A=120°.
==


故选D.
点评:
余弦定 理:a
2
=b
2
+c
2
﹣2bccosA,b
2< br>=a
2
+c
2
﹣2accosB,c
2
=a
2
+b
2
﹣2abcosC.余弦定理可以变形为:cosA=(b
2
+c
2
﹣a
2
)÷2bc,cosB=(a
2
+c
2
﹣b
2
)÷2ac,cosC=(a
2
+b
2
﹣c
2
)÷2ab

18.(2014?广西模拟)在△ABC中,∠A ,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,若∠A:∠B=1:2,且a:b=1:
则cos2B的值是 ( )
A. B. C. D.




考点: 正弦定理;二倍角的余弦.
分析: 根据正弦定理得到sinA:sinB,因为∠ A:∠B=1:2,利用二倍角的三角函数公式得到A和B的角度,代
入求出cos2B即可.
解答:
解:依题意,因为a:b=1:,
所以sinA:sinB=1:,
又∠A:∠B=1:2,则cosA=,
所以A=30°,B=60°,cos2B=﹣
故选A
点评: 考查学生灵活运用正弦定理解决数学问题的能力,以及灵活运用二倍角的三角函数公式化简求值的能力.

19.(2014?鄂尔多斯模拟)在△ABC中,∠A=60°,b=1,△ABC的面 积为,则边a的值为( )
A. B. C. D. 3


考点: 正弦定理.
专题: 解三角形.
分析:
根据正弦定理的面积公 式,结合题中数据算出边c=4,再由余弦定理a
2
=b
2
+c
2< br>﹣2bccosA的式子算出a
2
=13,
即可算出边a的长度.
解答: 解:∵△ABC中,∠A=60°,b=1,
∴可得△ABC的面积为S=bcsinA=×1×c×sin60°=
解之得c=4
根据余弦定理,得
a
2
=b
2
+c
2
﹣ 2bccosA=1+16﹣2×1×4×cos60°=13,所以a=(舍负)
故选C
点评: 本题给出三角形一边、一角和面积,求边a的长度.着重考查了正弦定理的面积公式和利用余弦 定理解三
角形等知识,属于基础题.

20.(2014?文登市二模)△ABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinA+csinC+asinC=bsinB,则∠B( )
A. B. C. D.


考点: 正弦定理.
专题: 计算题;解三角形.
分析:
由已知结合正弦定理可得,
求B
,然后利用余弦定理可得,cosB==﹣,可


解答:
解:∵asinA+csinC+
∴由正弦定理可得,
asinC=bsinB,

由余弦定理可得,cosB=
∵0<B<π
∴B=.
=﹣
故选:D.
点评: 本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的应用,属于基础题.

二.解答题(共10小题)
21.(2014?山东)△ABC中,角A,B,C所对的边分 别为a,b,c.已知a=3,cosA=,B=A+.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)求△ABC的面积.

考点: 正弦定理.
专题: 解三角形.
分析: (Ⅰ)利用cosA求得sinA,进而利用A和B的关系求得sinB,最后利用正弦定理求得b的值. (Ⅱ)利用sinB,求得cosB的值,进而根两角和公式求得sinC的值,最后利用三角形面积公式求 得答案.
解答:
解:(Ⅰ)∵cosA=,
∴sinA=
∵B=A+.
=,
∴sinB=sin(A+
由正弦定理知
∴b=?sinB=
)=cosA=
=
×

=3


(Ⅱ)∵sinB=
∴cosB=﹣
,B=A+
=﹣,

sinC=sin(π﹣A﹣B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=
∴S =a?b?sinC=×3×3×=.
×(﹣)+×=,
点评: 本题主要考查了正弦定理 的应用.解题过程中结合了同角三角函数关系,三角函数恒等变换的应用,注重
了基础知识的综合运用.

22.(2014?东城区一模)设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且.


(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求tan(A﹣B)的最大值.

考点: 正弦定理;两角和与差的正切函数.
分析: 本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数,
(Ⅰ)由正弦定理的边角互化,我们可将已知中
再利用弦化切的方法即可求的值.
, 进行转化得到sinAcosB=4cosAsinB,
(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论,结合角A,B,C为△ ABC的内角,我们易得tanA=4tanB>0,则tan(A﹣B)可
化为
解答:
,再结合基本不等式即可得到tan(A﹣B)的最大值.
, 解:(Ⅰ)在△ABC中,
由正弦定理得

即sinAcosB=4cosAsinB,

(Ⅱ)由
tanA=4tanB>0



当且仅当
故当时,
时,等号成立,
tan(A﹣B)的最大值为.
点评: 在解三角形时,正弦定理和余弦定理是最常用的方法,正弦定理多用于边角互化,使用时要注意 一般是等
式两边是关于三边的齐次式.

23.(2014?浙江)在△ABC中 ,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos
2
A﹣cos
2
B=sinAcosA
﹣sinBcosB.
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)若sinA=,求△ABC的面积.

考点: 正弦定理;二倍角的正弦;二倍角的余弦.
专题: 解三角形.
分析:
(Ⅰ)△ ABC中,由条件利用二倍角公式化简可得﹣2sin(A+B)sin(A﹣B)=2
B).
求得tan(A+B)的值,可得A+B的值,从而求得C的值.
?cos(A+B)sin(A﹣
(Ⅱ)由 sinA= 求得cosA的值.再由正弦定理求得a,再求得 sinB=sin[(A+B)﹣A]的值,从而求得△ABC


的面积为 的值.
,cos
2
A﹣cos
2
B=
sin2B,
?cos(A+B)sin(A﹣B).
sinAcosA﹣sinBcosB,
解答:
解:(Ⅰ)∵△ABC中,a≠b,c=
∴﹣=sin2A﹣
即 c os2A﹣cos2B=sin2A﹣sin2B,即﹣2sin(A+B)sin(A﹣B)=2
∵a ≠b,∴A≠B,sin(A﹣B)≠0,
∴tan(A+B)=﹣
(Ⅱ)∵sinA=<< br>由正弦定理可得,
,∴A+B=
,C=
=
,∴C=.
(舍去),∴cosA=,∴A<
,即 =
,或A>
,∴a=.
=.
∴sinB=sin[(A+B)﹣A]=sin(A+B)cosA﹣cos(A+B )sinA=
∴△ABC的面积为 =×=.
﹣(﹣)×=,
点评: 本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用,属于中档题.

24. (2014?天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a﹣c=
(Ⅰ)求 cosA的值;
(Ⅱ)求cos(2A﹣)的值.
b,sinB=sinC,

考点: 正弦定理;两角和与差的余弦函数.
专题: 三角函数的求值.
分析: (Ⅰ)已知第二个等式利用正弦定理化简,代入第一个等式表示出a,利用余弦定理表示出cosA,将表示出的a,b代入计算,即可求出cosA的值;
(Ⅱ)由cosA的值,利用同角三角函数间的基 本关系求出sinA的值,进而利用二倍角的正弦、余弦函数
公式求出sin2A与cos2A的值,原 式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简,将各自
的值代入计算即可求出值.
解答:
解:(Ⅰ)将sinB=sinC,利用正弦定理化简得:b=c,
代入a﹣c=
∴cosA=
b,得:a﹣c=c,即a=2c,
==;
(Ⅱ)∵cosA=
∴sinA=
,A为三角形内角,
=,

+×=.
∴cos2A=2cos
2
A﹣1=﹣,sin2A=2sinA cosA=
则cos(2A﹣)=cos2Acos+sin2Asin=﹣×
点评: 此题考 查了正弦、余弦定理,同角三角函数间的基本关系,二倍角的正弦、余弦函数公式,以及两角和与
差的余 弦函数公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.



25.(2014? 兴安盟一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2c﹣a)cosB﹣bcosA =0.
(Ⅰ)若b=7,a+c=13求此三角形的面积;
(Ⅱ)求sinA+sin(C﹣)的取值范围.

考点: 正弦定理;同角三角函数基本关系的运用.
专题: 计算题.
分析: 利用正弦定理化简已 知条件,根据三角形的内角和定理及诱导公式化简,由sinC不为0,得到cosB的值,
由B的范围 ,利用特殊角的三角函数值即可得到B的度数,
(Ⅰ)根据余弦定理,由b,cosB和a+c的值, 求出ac的值,然后利用三角形的面积公式,由ac的值和
sinB的值即可求出三角形ABC的面积;
(Ⅱ)由求出的B的度数,根据三角形的内角和定理得到A+C的度数,用A表示出C,代入已知的等式 ,
利用诱导公式及两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,根据A的范围求出这个角的范围,由正 弦
函数的值域即可得到所求式子的取值范围.
解答: 解:由已知及正弦定理得:(2sinC﹣sinA)cosB﹣sinBcosA=0,
即2sinCcosB﹣sin(A+B)=0,
在△ABC中,由sin(A+B)=sinC
故sinC(2cosB﹣1)=0,
∵C∈(0,π),∴sinC≠0,
∴2cosB﹣1=0,所以B=60°(3分) < br>(Ⅰ)由b
2
=a
2
+c
2
﹣2accos60°= (a+c)
2
﹣3ac,
即7
2
=13
2
﹣3ac,得ac=40(5分)
所以△ ABC的面积
(Ⅱ)因为
=
又A∈(0,

),∴
)=2s in(A+
;(6分)
=
,(10分)

)∈(1,2].

sinA+sin(C﹣
点评: 此题考查学生灵活运用正弦定理及诱导公式化简求 值,灵活运用三角形的面积公式及两角和的正弦函数公
式化简求值,掌握正弦函数的值域,是一道中档题 .

26.(2014?福建模拟)设△ABC中的内角A,B,C所对的边长分别为a, b,c,且
(Ⅰ)当时,求角A的度数;
,b=2.
(Ⅱ)求△ABC面积的最大值.

考点: 正弦定理.
专题: 计算题.
分析:
(I) 由 可求sinB= 且B为锐角,由b=2,a=考虑利用正弦 定理可求sinA,结合
三角形的大边对大角且a<b可知A<B,从而可求A,
(II)由 ,b=2利用余弦定理可得,b
2
=a
2
+c
2
﹣2acc osB,把已知代入,结合a
2
+c
2
≥2ac可求ac的范


围,在代入三角形的面积公式
解答:
解:∵∴sinB= 且B为锐角
可求△ABC面积的最大值.
(I)∵b=2,a=
由正弦定理可得,

∵a<b∴A<B
∴A=30°
(II)由,b=2
利用余弦定理可得,b
2
=a
2
+c
2
﹣2accos B

从而有ac≤10


∴△ABC面积的最大值为3
点评: 本题(I)主要考查了利用正弦定理及三角形的大边对大角解三角形(II)利用余弦定理及基 本不等式、三
角形的面积公式综合求解三角形的面积.考查的是对知识综合运用.

27.(2014?江西模拟)三角形ABC中,内角A,B,C所对边a,b,c成公比小于1的等比数列, 且sinB+sin(A
﹣C)=2sin2C.
(1)求内角B的余弦值;
(2)若b=,求△ABC的面积.

考点: 正弦定理;余弦定理.
专题: 解三角形.
分析:
(Ⅰ) 三角形ABC中,由条件化简可得sinA= 2sinC,故有a=2c.再由b
2
=ac=2c
2
,求得cosB=的值.
(Ⅱ)根据b=,b
2
=ac=2c
2
,求得c和a的 值,求得sinB= 的值,再根据△ABC的面积
S=ac?sinB,计算求得结果.
解答: 解:(Ⅰ) 三角形ABC中,
∵sinB+sin(A﹣C)=2sin2C,
∴sin(A+C)+sin(A﹣C)=4sinCcosC,sinA=2sinC,
∴a=2c.
又因为b
2
=ac=2c
2

∴cosB=
(Ⅱ)∵b=
=.
,b
2
=ac=2c
2


∴c=,∴a=.
=

又∵sinB=
∴△ABC的面积S=ac?sinB=
点评: 本题主要考查两角和差的三角公式、正弦定理、余弦定理的应用,属于中档题.

28.(2014?陕西)△ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.
(Ⅰ)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);
(Ⅱ)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.

考点: 余弦定理;正弦定理.
专题: 三角函数的求值.
分析: (Ⅰ)由a,b,c成等差数列 ,利用等差数列的性质列出关系式,利用正弦定理化简,再利用诱导公式变
形即可得证;
(Ⅱ )由a,bc成等比数列,利用等比数列的性质列出关系式,再利用余弦定理表示出cosB,将得出的关
系式代入,并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值.
解答: 解:(Ⅰ)∵a,b,c成等差数列,
∴2b=a+c,
利用正弦定理化简得:2sinB=sinA+sinC,
∵sinB=sin[π﹣(A+C)]=sin(A+C),
∴sinA+sinC=2sinB=2sin(A+C);
(Ⅱ)∵a,b,c成等比数列,
∴b
2
=ac,
∴cosB==≥=,
当且仅当a=c时等号成立,
∴cosB的最小值为.
点评: 此题考查了正弦、余弦定理,等差、等比数列的性质,以及基本不等式的运用,熟练掌握定理是 解本题的
关键.

29.(2014?重庆)在△ABC中,内角A、B、C所对 的边分别是a、b、c,且a+b+c=8.
(Ⅰ)若a=2,b=,求cosC的值;
( Ⅱ)若sinAcos
2
+sinBcos
2
=2sinC,且△ABC的面 积S=sinC,求a和b的值.

考点: 余弦定理;正弦定理.
专题: 三角函数的求值.
分析:
(Ⅰ)由a+b+c=8,根据a=2,b=求出c的长,利用余 弦定理表示出cosC,将三边长代入求出cosC的值
即可;
(Ⅱ)已知等式左边利用二倍 角的余弦函数公式化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式
变形,再利用正弦定理得到a +b=3c,与a+b+c=8联立求出a+b的值,利用三角形的面积公式列出关系式,
代入S=si nC求出ab的值,联立即可求出a与b的值.


解答:
解:(Ⅰ)∵a=2,b=,且a+b+c=8,
∴c=8﹣(a+b)=,
∴由余弦定理得:cosC===﹣;
(Ⅱ)由sinAcos
2
+sin Bcos
2
=2sinC可得:sinA?
整理得:sinA+sinAcosB+s inB+sinBcosA=4sinC,
∵sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC,
∴sinA+sinB=3sinC,
利用正弦定理化简得:a+b=3c,
∵a+b+c=8,
∴a+b=6①,
∵S=absinC=sinC,
+sinB?=2sinC,
∴ab=9②,
联立①②解得:a=b=3.
点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形的面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.

30.(2014?启东市模拟)在△ABC中,A,B,C为三个内角a,b,c为三条 边,
(Ⅰ)判断△ABC的形状;
(Ⅱ)若,求的取值范围.
,且.

考点: 正弦定理;余弦定理.
专题: 计算题;解三角形.
分析: (1)先利 用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦,利用二倍角公式和两角和公式整理求得
sinB=sin 2C,进而根据B,C的范围,求得B+2C=π,判断出A=C,即三角形为等腰三角形.
(2)利 用平面向量的性质,依据已知条件求得a
2
+c
2
+2ac?cosB=4, 根据a的值求得cosB的值.
解答:
解:(1)由及正弦定理,得,
即sin BsinA﹣sinBsin2C=sinAsin2C﹣sinBsin2C,即sinBsinA=sinA sin2C,
因为A是三角形内角,所以sinA≠0,
可得sinB=sin2C,
∵,∴,∴B+2C=π,
∵A+B+C=π,∴A=C,△ABC为等腰三角形.
(2)∵
∴cosB∈(,1)
由(1)可知a=c,
由,得a
2
+c
2
+2ac?cosB=4,
∴B∈(0,),


∴a
2
=
∴=

cosB=a
2
?cosB==2﹣∈(,1)(12分).
点评: 本题主要考查了正弦定理的应用.解题的关键是利用正弦定理进行了边角问题的转化.

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