解三角形知识点归纳总结

第一章 解三角形
一.正弦定理：

1.正弦定理：在一个三角形 中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外
abc
接圆的直径，即
???2R
（其中R是三角形外接圆的半径）
sinAsinBsinC
a?b?cabc
2.变形：1）．
???
sin??sin??sinCsin?sin?sinC
2）化边为角：
a:b:c?sinA:sinB:sinC
；

asinAbsinBasinA
?;

?;

?;

bsinBcsinCcsinC
3）化边为角：
a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC

sinAasinBbsinAa
?;

?;?;

sinBbsinCcsinCc
abc
5）化角为边：
sinA?

,sinB?,sinC?
2R2R2R
3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
例：已知角B,C,a，
asinAbsinB
;

?;
解法：由A+B+C=180
o
，求角A,由正弦定理
?
bsinBcsi nC
asinA
?;
求出b与c
csinC
②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,
asinA
解法：由正弦定理
?
求出角B,由A+B+C=180
o
求出角C，再使用 正
bsinB
asinA
弦定理
?
求出c边
csinC

4.△ABC中，已知锐角A，边b，则
①
a?bsinA
时，B无解；
b
bsinA

②
a?bsinA
或
a?b
时，B有一个解；
③
bsinA?a?b
时，B有两个解。

A
4）化角为边：
如：①已知
A?60
?
,a?2,b?23
,求< br>B
(有一个解)
②已知
A?60
?
,b?2,a?23,求
B
(有两个解)
注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。

二.三角形面积
111
1.
S
?ABC
? absinC?bcsinA?acsinB

222
1
2.
S< br>?ABC
?(a?b?c)r
,其中
r
是三角形内切圆半径.
2
1
3.
S
?ABC
?p(p?a)(p?b)(p?c)
, 其中
p?(a?b?c)
,
2
abc
4.
S
?ABC
?
,R为外接圆半径
4R
5.
S?ABC
?2R
2
sinAsinBsinC
,R为外接圆半径

三.余弦定理
1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去 这两边与它们
夹角的余弦的积的2倍，即

a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA


b
2
?a
2
?c
2
?2accosB


c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC

b
2
?c
2
?a
2
2.变形：
cosA?

2bc
a
2
?c
2
?b
2

cosB?

2ac
a
2
?b
2
?c
2

cosC?

2ab
注意整体代入，如：
a
2
?c
2
?b
2
?ac?cosB?
1

2
3．利用余弦定理判断三角形形状：
设
a
、
b
、
c
是
???C
的角
?
、
?
、
C
的对边，则：
①若，
②若
c
2
?b
2
? a
2
?A为直角

，所以为锐角
③若
钝角三角形

， 所以为钝角，则是

4.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
1）已知三边，求三个角
2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

四、应用题
1.已知两角和一边（如
A
、
B
、
C
），由
A
+
B
+
C
=
π
求
C
，由正弦定理求
a
、
b
．
2.已知两边和夹角（如
a
、
b
、
c
），应用余弦定理求
c
边；再应用正弦定理
先求较短边所对的角，然后利用
A
+
B
+
C
=
π
，求另一角．
3.已知两边和其中一边的 对角（如
a
、
b
、
A
），应用正弦定理求
B
，由
A
+
B
+
C

=
π
求< br>C
，再由正弦定理或余弦定理求
c
边，要注意解可能有多种情况．
4 .已知三边
a
、
b
、
c
，应用余弦定理求
A
、
B
，再由
A
+
B
+
C
=
π
，求角
C
．
5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向
旋转到目
标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东××度，
北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度.
6.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上
方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.
视线



铅

仰角
直

水平线
线

俯角





视线

五、三角形中常见的结论
1）三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；
2）三角形三边关系：
两边之和大于第三边：
两边之差小于第三边：
，
，
，
，
；
；
3）在同一个三角形中大边对大角：
A?B?a?b?sinA?sinB

4) 三角形内的诱导公式：

sin(A?B)?sinC,cos(A?B)?? cosC,tan(A?B)??tanC,

?
CC
sin(?)cos()
A?B
?
C22
?
2

tan?tan(?)?
?
CC
2 22
cos(?)sin()
222
5) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(
α
±
β
)＝sin
α
cos
β
±cos
α
sin
β
.
(2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β.
tan α±tan β
(3)tan(α±β)＝.
1?tan αtan β
6) 二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2
α
＝2sin
α
cos
α
.
(2)cos 2
α
＝cos< br>2
α
－sin
2
α
＝2cos
2
α
－1＝1－2sin
2
α
.
(3)
sin
2
?
?

(4)tan 2
α
＝
2tan
α
.
1－tan
2
α
1?cos2
?
1?cos2
?

;cos
2
?
?
22

7) 三角形的五心：
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点
内心——三角形三内角的平分线相交于一点
旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一
点