高中数学选修1-2第一章测试卷-浅谈高中数学问题情境的创设
高数学解三角
答案)
有中形(
解三角形
一.选择题(共20小题)
1.(2015?河南二模)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,c=8,
B=60°,则△ABC
的周长是( )
A. 18 B. 19 C. 16 D.
17
2.(2015?河南二模)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,
b,c,且a=3,c=8,B=60°,则△ABC
的周长是( )
A. 17
B. 19 C. 16 D. 18
3.(2014?云南模拟)在△ABC中,b﹣a﹣c=ac,则∠B的大小( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
4.(2013?陕
西)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△A
BC的形状为
( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D.
不确定
5.(2013?湖南)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.
若2asinB=b,则角A等于( )
A.
B.
C.
D.
6.(2013?温州二模)在△A
BC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=30°,B=105°,a=1.则c=
(
)
A. ﹣1 B. C. D. .2
. .
7.(201
3?天津模拟)在钝角△ABC中,已知AB=,AC=1,∠B=30°,则△ABC的面积是( )
A. B. C.
D.
8.(2013?泰安一模)在△ABC中,∠A=60°,AB=2,且△ABC的面积为
A.
B. 3 C.
,则BC的长为( )
D. 7
222
9.(2013?浦东新区三模)已知△ABC中,AC=2
A. B.
,BC=2,则角A的取值范围是( )
C. D.
10.(2012?广东)在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,
A. B.
C.
,则AC=( )
D.
11.(
2012?天河区三模)在△ABC中,若A=60°,BC=4,AC=4,则角B的大小为( )
A. 30° B. 45° C. 135° D. 45°或135°
12.(2010?湖北)在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB=( )
A. B. C. D.
﹣ ﹣
13.△ABC的内角A、B、C对边的长a、b、c成等比数列,则的取值范围是( )
A. (0,+∞)
B.
(0,2+)
C. (1,+∞) D.
(1,2+)
14.(2014?江西)在△ABC中
,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则
( )
A.
﹣
15.(2014?重庆三模)在△ABC中,若
A. 30°
B. 45°
,则∠B等于( )
C. 60° D. 90°
的值为
B.
C. 1 D.
16.(2014?萧山区模拟)在锐角△ABC中,若C=2B,则的范围( )
A.
B.
C. (0,2) D.
17.(2014?南平模拟)在△ABC中,如果,B=30°,那么角A等于( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°
18.(2014?广
西模拟)在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,若∠A:∠B=1:2,且a:b=1:
,则cos2B的值是( )
A. B.
C. D.
﹣
﹣
19.(2014?鄂尔多斯模拟)在△ABC中,∠A=60°,b=1,△ABC的面积为
A. B.
C.
,则边a的值为( )
D. 3
20.(2014?文登市二模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,
c,且asinA+csinC+asinC=bsinB,则
∠B( )
A.
B.
C.
D.
二.解答题(共10小题)
21.(2014?山东)△ABC中,角A,B,C所对的边分
别为a,b,c.已知a=3,cosA=
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)求△ABC的面积.
22.(2014?东城区一模)设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,
c,且
(Ⅰ)求的值;
.
,B=A+.
(Ⅱ)求tan(A﹣B)的最大值.
23.(2014?浙江)在△ABC中
,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=
2
cosB=sinAcos
A﹣sinBcosB.
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)若sinA=,求△ABC的面积.
,cosA﹣
2
24.(2014?天津)在△ABC中
,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a﹣c=
(Ⅰ)求cosA的值;
(Ⅱ)求cos(2A﹣)的值.
b,sinB=sinC,
25.
(2014?兴安盟一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2c﹣a)cosB
﹣bcosA=0.
(Ⅰ)若b=7,a+c=13求此三角形的面积;
(Ⅱ)求
26.(2014?福建模拟)设△ABC中的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且
(Ⅰ)当时,求角A的度数;
,b=2.
sinA+sin(C﹣)的取值范围.
(Ⅱ)求△ABC面积的最大值.
27.(2014?江西模拟)三角形ABC
中,内角A,B,C所对边a,b,c成公比小于1的等比数列,且sinB+sin(A
﹣C)=2s
in2C.
(1)求内角B的余弦值;
(2)若b=,求△ABC的面积.
28.(2014?陕西)△ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.
(Ⅰ)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);
(Ⅱ)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.
29.(2014?重
庆)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且a+b+c=8.
(Ⅰ)若a=2,b=,求cosC的值;
(Ⅱ)若sinAcos+sinBcos=2s
inC,且△ABC的面积S=sinC,求a和b的值.
30.(2014?启东市模
拟)在△ABC中,A,B,C为三个内角a,b,c为三条边,
.
(Ⅰ)判断△ABC的形状;
(Ⅱ)若
,求的取值范围.
,且
22
参考答案与试题解析
一.选择题(共20小题)
1.(2015?河南二模)在△ABC中,已知角A,B,C所
对的边分别为a,b,c,且a=3,c=8,B=60°,则△ABC
的周长是( )
A. 18 B. 19 C. 16 D. 17
考点: 余弦定理.
专题: 解三角形.
分析:
利用余弦定理列出关系式,把a,c,cosB的值代入求出b的值,即可确定出三角形ABC周长.
解答: 解:∵△ABC中,a=3,c=8,B=60°,
222
∴b=a+c﹣2accosB=9+64﹣24=49,即b=7,
则△ABC周长为3+8+7=18,
故选:A.
点评:
此题考查了余弦定理,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.
2.(2015?河南二模)
在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,c=8,B=60°,则△ABC的周长是( )
A. 17 B. 19 C. 16 D. 18
考点: 余弦定理.
专题: 解三角形.
分析: 利用余弦定理列出关系式,将a
,b及cosB的值代入,得到关于c的方程,求出方程的解即可得到c的
值.
解答: 解:∵a=3,c=9,B=60°,∴由余弦定理b
2
=a
2
+c2
﹣2accosB,即:b
2
=9+64﹣24,即b=7,
则a+b+c=18
故选:D.
点评:
此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.
3.(2014?云南模拟)在△ABC中,b﹣a﹣c=ac,则∠B的大小( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
考点: 余弦定理.
专题: 解三角形.
分析:
利用余弦定理表示出cosB,把已知等式变形后代入计算求出cosB的值,即可确定出B的度数.
解答:
解:∵在△ABC中,b
2
﹣a
2
﹣c
2
=ac,即a
2
+c
2
﹣b
2
=﹣ac,
222
∴cosB==﹣,
则∠B=150°,
故选:D.
点评: 此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.
4.(2013?陕西)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bc
osC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为
( )
A. 锐角三角形
B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定
考点: 正弦定理.
专题: 解三角形.
分析: 由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcos
B=sinAsinA,再由两角和的正弦公式、诱导公式求得
sinA=1,可得A=,由此可得△A
BC的形状.
解答: 解:△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
∵bcosC+ccosB=asinA,则由正弦定理可得
sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,
即
sin(B+C)=sinAsinA,可得sinA=1,故A=,故三角形为直角三角形,
故选B.
点评:
本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用,根据三角函数的值求角,属于中档题.
5.(2013?湖南)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2as
inB=
A.
B.
C.
考点: 正弦定理.
专题: 计算题;解三角形.
分析:
利用正弦定理可求得sinA,结合题意可求得角A.
解答:
解:∵在△ABC中,2asinB=b,
b,则角A等于( )
D.
∴由正弦定理
∴sinA=
∴A=.
==2R得:2sinAsinB=sinB,
,又△ABC为锐角三角形,
故选D.
点评: 本题考查正弦定理,将“边”化所对“角”的正弦是关键,属于基础题.
6.(2013?温州二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若
A=30°,B=105°,a=1.则c=
( )
A. ﹣1 B. C. D.
.2
. .
考点: 正弦定理.
专题: 解三角形.
分析:
由已知可先求C,然后结合正弦定理可求
解答:
解:∵A=30°,B=105°,
∴C=45°
∵a=1.
由正弦定理可得,
则c===
故选B
点评:
本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的简单应用,属于基础试题
7.(2013?天
津模拟)在钝角△ABC中,已知AB=,AC=1,∠B=30°,则△ABC的面积是( )
A. B. C.
D.
考点:
正弦定理.
专题: 解三角形.
分析: 利用余弦定理列出关系式,把c,b,以及cos
B的值代入求出a的值,利用三角形面积公式即可求出三角
形ABC面积.
解答:
解:∵在钝角△ABC中,已知AB=c=,AC=b=1,∠B=30°,
2222
∴由余弦定理得:b=a+c﹣2accosB,即1=a+3﹣3a,
解得:a=1或a=2,
当a=1时,a=b,即∠A=∠B=30°,此时
∠C=120°,满足题意,△ABC的面积S=acsinB=
当a=2时,满足a=c+b,即△A
BC为直角三角形,不合题意,舍去,
则△ABC面积是.
222
;
故选:B.
点评:
此题考查了正弦定理,余弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
<
br>8.(2013?泰安一模)在△ABC中,∠A=60°,AB=2,且△ABC的面积为,则BC的长
为( )
A.
B. 3 C.
D. 7
考点: 余弦定理.
专题: 解三角形.
分析:
由△ABC的面积S<
br>△ABC
=,求出AC=1,由余弦定理可得BC,计算可得答案.
解答:
解:∵S
△ABC
==×AB×ACsin60°=×2×AC×,
=,
∴AC=1,
△ABC中,由余弦定理可得BC=
故选A.
点评:
本题考查三角形的面积公式,余弦定理的应用,求出 AC,是解题的关键.
9.(2013?浦东新区三模)已知△ABC中,AC=2
A. B.
,BC=2,则角A的取值范围是( )
C. D.
考点: 余弦定理.
专题: 解三角形.
分析: 知道两边求角的范围,余弦定理
得到角和第三边的关系,而第三边根据三角形的构成条件是有范围的,这
样转化到角的范围.
解答:
解:利用余弦定理得:4=c
2
+8﹣4ccosA,即c
2
﹣4cosAc+4=0,
2
∴△=32cosA﹣16≥0,
∵A为锐角
∴A∈(0,],
故选:C.
点评: 此题属于解三角形题
型,解题思路为:利用余弦定理解答三角形有解问题,知道两边求角的范围,余弦定
理得到角和第三边的
关系,而第三边根据三角形的构成条件是有范围的,这样转化到角的范围,有一定难
度.
10.(2012?广东)在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,
A. B.
C.
考点: 正弦定理.
专题: 计算题.
分析:
结合已知,根据正弦定理,
,则AC=( )
D.
可求AC
,
解答:
解:根据正弦定理,
则
故选B
点评: 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础试题
11.(
2012?天河区三模)在△ABC中,若A=60°,BC=4,AC=4,则角B的大小为( )
A. 30° B. 45° C. 135° D. 45°或135°
考点: 正弦定理的应用.
专题: 计算题.
分析:
先根据正弦定理将
题中所给数值代入求出sinB的值,进而求出B,再由角B的范围确定最终
答案.
解答:
解:由正弦定理得,
∴B=45°或135°
∵AC<BC,
∴B=45°,
故选B.
点评:
本题主要考查了正弦定理的应用.属基础题.正弦定理在解三角形中有着广泛的应用,要熟练掌握.
12.(2010?湖北)在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB=( )
A. B. C. D.
﹣ ﹣
考点: 正弦定理.
分析:
根据正弦定理先求出sinB的值,再由三角形的边角关系确定∠B的范围,进而利用
sin
2
B+cos
2
B=1求解.
解答:
解:根据正弦定理可得,
,
解得,
又∵b<a,
∴B<A,故B为锐角,
∴,
故选D.
点评: 正弦定理可把边的关系
转化为角的关系,进一步可以利用三角函数的变换,注意利用三角形的边角关系确
定所求角的范围.
13.△ABC的内角A、B、C对边的长a、b、c成等比数列,则
A.
(0,+∞) B. C. (1,+∞)
(0,2+)
考点:
正弦定理;等比数列的通项公式.
专题: 解三角形.
分析:
设==q,则由任意两边之和大于第三边求得q的范围,可得
的取值范围是( )
D.
(1,2+)
的取值范围
解答:
解:设==q,则==q+q,则由
2
,求得<q<,
∴<q<
2
,∴1<q+q<2+
2
,
故选:D.
点评: 本题考查数列与三角函数的综合应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意三角形三
边关系的
灵活运用
14.(2014?江西)在△ABC中,内角A,B,C所
对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则
( )
A.
﹣
的值为
B.
C. 1 D.
考点:
余弦定理;正弦定理.
专题: 解三角形.
分析:
根据正弦定理,将条件进行化简即可得到结论.
解答:
解:∵3a=2b,∴b=,
根据正弦定理可得===,
故选:D.
点评:
本题主要考查正弦定理的应用,比较基础.
15.(2014?重庆三模)在△ABC中,若,则∠B等于( )
A. 30°
B. 45° C. 60° D. 90°
考点: 正弦定理.
专题:
计算题.
分析: 根据所给的等式和正弦定理,得到要求角的正弦和余弦相等,由根据这是一个三角形
的内角得到角的度数
只能是45°.
解答:
解:∵,
又由正弦定理知,
∴sinB=cosB,
∵B是三角形的一个内角,
∴B=45°,
故选B.
点评: 本题考查正弦定理,是一个基础题,解题时注意当两个角的正弦值和余弦值
相等时,一定要说清楚这个角
的范围,这样好确定角度.
16.(2014?萧山区模拟)在锐角△ABC中,若C=2B,则的范围( )
A.
B.
C. (0,2) D.
考点:
正弦定理;函数的值域.
专题: 计算题.
分析:
由正弦定理得
解答:
解:由正弦定理得
即有
解得
∴<<
,再根据△ABC是锐角三角形,求出B,cosB的取值范围即可.
,∵△ABC是锐角三角形,∴三个内角均为锐角,
,0<π﹣C﹣B=π﹣3B<
,又余弦函数在此范围内是减函数.故
<cosB<.
故选A
点评:
本题考查了二倍角公式、正弦定理的应用、三角函数的性质.易错点是B角的范围确定不准确.
17.(2014?南平模拟)在△ABC中,如果,B=30°,那么角A等于( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°
考点:
正弦定理;余弦定理.
分析:
本题考查的知识点是正弦定理和余弦定理,由在△ABC中,
如果,我们根据正弦定理边角
互化可以得到a=c,又由B=30°,结合余弦定理,我们易求出b与c
的关系,进而得到B与C的关
系,然后根据三角形内角和为180°,即可求出A角的大小.
解答:
解:∵在△ABC中,如果
∴a=c
又∵B=30°
由余弦定理,可得:
cosB=cos30°===
解得:b=c
则B=C=30°
A=120°.
故选D.
点评:
余弦定理
:a
2
=b
2
+c
2
﹣2bccosA,b
2=a
2
+c
2
﹣2accosB,c
2
=a
2
+b
2
﹣2abcosC.余弦定理可以变形为:cosA=
2222222
22
(b+c﹣a)÷2bc,cosB=(a+c﹣b)÷2ac,cosC=(a+b﹣c)÷2a
b
18.(2014?广西模拟)在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,
b,c,若∠A:∠B=1:2,且a:b=1:
,则cos2B的值是( )
A.
B.
C. D.
﹣
﹣
考点:
正弦定理;二倍角的余弦.
分析: 根据正弦定理得到sinA:sinB,因为∠A:∠B=1:2
,利用二倍角的三角函数公式得到A和B的角度,代
入求出cos2B即可.
解答:
解:依题意,因为a:b=1:,
所以sinA:sinB=1:,
又∠A:∠B=1:2,则cosA=,
所以A=30°,B=60°,cos2B=﹣
故选A
点评:
考查学生灵活运用正弦定理解决数学问题的能力,以及灵活运用二倍角的三角函数公式化简求值的能力.
19.(2014?鄂尔多斯模拟)在△ABC中,∠A=60°,b=1,△ABC的面
积为,则边a的值为( )
A. B.
C.
D.
3
考点: 正弦定理.
专题: 解三角形.
分析:
根据正弦定理的面积公式,结合题中数据算出边c=4,再由余弦定理a
2<
br>=b
2
+c
2
﹣2bccosA的式子算出
2
a=1
3,即可算出边a的长度.
解答: 解:∵△ABC中,∠A=60°,b=1,
∴可得△ABC的面积为S=bcsinA=×1×c×sin60°=
解之得c=4
根据余弦定理,得
222
a=b+c﹣2bccosA=1+16﹣2×1×4×c
os60°=13,所以a=(舍负)
故选C
点评: 本题给出三角形一边、一角和面积,
求边a的长度.着重考查了正弦定理的面积公式和利用余弦定理解三
角形等知识,属于基础题.
20.(2014?文登市二模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
asinA+csinC+asinC=bsinB,则
∠B( )
A.
B.
C.
D.
考点:
正弦定理.
专题: 计算题;解三角形.
分析:
由已知结合正弦定理可得,,然后利用余弦定理可得,cosB==﹣,可
求B
解答:
解:∵asinA+csinC+
∴由正弦定理可得,
asinC=bsinB,
=﹣ 由余弦定理可得,cosB=
∵0<B<π
∴B=.
故选:D.
点评:
本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的应用,属于基础题.
二.解答题(共10小题)
21.(2014?山东)△ABC中,角A,B,C所对的边分
别为a,b,c.已知a=3,cosA=,B=A+.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)求△ABC的面积.
考点: 正弦定理.
专题: 解三角形.
分析:
(Ⅰ)利用cosA求得sinA,进而利用A和B的关系求得sinB,最后利用正弦定理求得b的值. (Ⅱ)利用sinB,求得cosB的值,进而根两角和公式求得sinC的值,最后利用三角形面积公式求
得答
案.
解答:
解:(Ⅰ)∵cosA=,
∴sinA=
∵B=A+.
=,
∴sinB=sin(A+)=cosA=,
由正弦定理知
∴b=?sinB=
=
×
,
=3.
(Ⅱ)∵sinB=
∴cosB=﹣
,B=A+
=﹣
>
,
×(﹣)+×=, sinC=sin(π﹣A﹣B)=sin(A+B)=sinAcosB+cos
AsinB=
∴S=a?b?sinC=×3×3×=.
点评: 本题主要考查了正弦定理的
应用.解题过程中结合了同角三角函数关系,三角函数恒等变换的应用,注重
了基础知识的综合运用.
22.(2014?东城区一模)设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,
c,且
(Ⅰ)求的值;
.
(Ⅱ)求tan(A﹣B)的最大值.
考点: 正弦定理;两角和与差的正切函数.
分析:
本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数,
(Ⅰ)由正弦定理的边角互化,我们可将已知
中
sinAcosB=4cosAsinB,再利用弦化切的方法即可求的值.
,进行转化得
到
(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论,结合角A,B,C为△ABC的内角,我们易得tanA=4tanB>0,
则tan(A﹣B)可化
为,再结合基本不等式即可得到tan(A﹣B)的最大值.
,
解答:
解:(Ⅰ)在△ABC中,
由正弦定理得
即sinAcosB=4cosAsinB,
则
(Ⅱ)由
tanA=4tanB>0
当且仅当
故当时,
时,等号成立,
;
得
tan(A﹣B)的最大值为.
点评: 在解三角形时,正弦定理和余弦定理是最常用的方法
,正弦定理多用于边角互化,使用时要注意一般是等
式两边是关于三边的齐次式.
23.(2014?浙江)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=2
cosB=sinAcosA﹣sinBcosB.
,cosA﹣
2
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)若sinA=,求△ABC的面积.
考点:
正弦定理;二倍角的正弦;二倍角的余弦.
专题: 解三角形.
分析:
(Ⅰ)△
ABC中,由条件利用二倍角公式化简可得﹣2sin(A+B)sin(A﹣B)=2
B).
求得tan(A+B)的值,可得A+B的值,从而求得C的值.
?cos(A+B)sin(A﹣
(Ⅱ)由 sinA=
求得cosA的值.再由正弦定理求得a,再求得
sinB=sin[(A+B)﹣A]的值,从而求得
△ABC的面积为 的值.
,cosA﹣cosB=
sin2B,
?cos(A+B)sin(A﹣B).
22
解答:
解:(Ⅰ)∵△ABC中,a≠b,c=
∴﹣=sin2A﹣<
br>sinAcosA﹣sinBcosB,
即 cos2A﹣cos2B=sin2A﹣sin2
B,即﹣2sin(A+B)sin(A﹣B)=2
∵a≠b,∴A≠B,sin(A﹣B)≠0, <
br>∴tan(A+B)=﹣
(Ⅱ)∵sinA=<
由正弦定理可得,
,∴A+B=
,C=
=
,∴C=
,∴A<
,即 =
.
(舍去),∴cosA=,或A>=.
,∴a=.
∴sinB=sin[(A+B
)﹣A]=sin(A+B)cosA﹣cos(A+B)sinA=
∴△ABC的面积为 =×=.
﹣(﹣)×=,
点评:
本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用,属于中档题.
24.
(2014?天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a﹣c=
(Ⅰ)求
cosA的值;
(Ⅱ)求cos(2A﹣)的值.
b,sinB=sinC,
考点: 正弦定理;两角和与差的余弦函数.
专题: 三角函数的求值.
分析:
(Ⅰ)已知第二个等式利用正弦定理化简,代入第一个等式表示出a,利用余弦定理表示出cosA,将表示出的a,b代入计算,即可求出cosA的值;
(Ⅱ)由cosA的值,利用同角三角函数间的基
本关系求出sinA的值,进而利用二倍角的正弦、余弦函数
公式求出sin2A与cos2A的值,原
式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简,将各自
的值代入计算即可求出值.
解答:
解:(Ⅰ)将sinB=sinC,利用正弦定理化简得:b=c,
代入a﹣c=
∴cosA=
b,得:a﹣c=c,即a=2c,
=
,A为三角形内角,
=,
=;
(Ⅱ)∵cosA=
∴sinA=
∴cos2A=2cosA﹣1=﹣,sin2A=2sinAcosA=
则cos(2A﹣)=cos2Acos+sin2Asin
2
,
=﹣×+×=.
点评: 此题考查了正弦、余弦定理,同角三角函数间的基本关系,二倍角的
正弦、余弦函数公式,以及两角和与
差的余弦函数公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
25.(2014?兴安盟一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,
且满足(2c﹣a)cosB﹣bcosA=0.
(Ⅰ)若b=7,a+c=13求此三角形的面积;
(Ⅱ)求sinA+sin(C﹣)的取值范围.
考点:
正弦定理;同角三角函数基本关系的运用.
专题: 计算题.
分析: 利用正弦定理化简已
知条件,根据三角形的内角和定理及诱导公式化简,由sinC不为0,得到cosB的
值,由B的范围
,利用特殊角的三角函数值即可得到B的度数,
(Ⅰ)根据余弦定理,由b,cosB和a+c的值,
求出ac的值,然后利用三角形的面积公式,由ac的值和
sinB的值即可求出三角形ABC的面积;
(Ⅱ)由求出的B的度数,根据三角形的内角和定理得到A+C的度数,用A表示出C,代入已知的等式
,
利用诱导公式及两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,根据A的范围求出这个角的范围,由正
弦
函数的值域即可得到所求式子的取值范围.
解答:
解:由已知及正弦定理得:(2sinC﹣sinA)cosB﹣sinBcosA=0,
即2sinCcosB﹣sin(A+B)=0,
在△ABC中,由sin(A+B)=sinC
故sinC(2cosB﹣1)=0,
∵C∈(0,π),∴sinC≠0,
∴2cosB﹣1=0,所以B=60°(3分)
2222
(Ⅰ)由b=a+c﹣2accos60°=(a+c)﹣3ac,
22
即7=13﹣3ac,得ac=40(5分)
所以△ABC的面积
(Ⅱ
)因为
=
又A∈(0,
则
),∴
)=2sin(A+
;(6
分)
=
,(10分)
,
)∈(1,2].
sinA+sin(C﹣
点评: 此题考查学生灵活运用正弦定理及诱导公式化简求值,灵活运
用三角形的面积公式及两角和的正弦函数公
式化简求值,掌握正弦函数的值域,是一道中档题.
26.(2014?福建模拟)设△ABC中的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,
c,且
(Ⅰ)当时,求角A的度数;
,b=2.
(Ⅱ)求△ABC面积的最大值.
考点: 正弦定理.
专题: 计算题.
分析:
(I) 由
可求sinB= 且B为锐角,由b=2,a=考虑利用正弦定理可求sinA,结
合三角形的大边对大
角且a<b可知A<B,从而可求A,
(II)由,b=2利用余弦定理可得,b=a
+c﹣2accosB,把已知代入,结合a+c≥2ac可求ac的
可求△ABC面积的最大值.
22222
范围,在代入三角形的面积公式
解答:
解:∵∴sinB=
且B为锐角
(I)∵b=2,a=
由正弦定理可得,
∴
∵a<b∴A<B
∴A=30°
(II)由,b=2
22
利用余弦定理可得,b=a+c﹣2accosB
∴
从而有ac≤10
∴
2
∴△ABC面积的最大值为3
点评: 本题(I)主要考查了利用正弦定理及三角
形的大边对大角解三角形(II)利用余弦定理及基本不等式、
三角形的面积公式综合求解三角形的面积
.考查的是对知识综合运用.
27.(2014?江西模拟)三角形ABC中,内角A,
B,C所对边a,b,c成公比小于1的等比数列,且sinB+sin(A
﹣C)=2sin2C.
(1)求内角B的余弦值;
(2)若b=,求△ABC的面积.
考点:
正弦定理;余弦定理.
专题: 解三角形.
分析:
(Ⅰ) 三角形ABC中,由
条件化简可得sinA=2sinC,故有a=2c.再由b
2
=ac=2c
2
,求得
cosB=
(Ⅱ)根据b=
的值.
,b=ac=2c,求得c和a的值,求得sinB=
22
的值,再根据△ABC的面积
S=ac?sinB,计算求得结果.
解答: 解:(Ⅰ)
三角形ABC中,
∵sinB+sin(A﹣C)=2sin2C,
∴sin(A+C)+sin(A﹣C)=4sinCcosC,sinA=2sinC,
∴a=2c.
22
又因为b=ac=2c,
∴cosB=
(Ⅱ)∵b=
∴c=
2
=.
,b=ac=2c,
.
=
.
2
,∴a=
又
∵sinB=
∴△ABC的面积S=ac?sinB=
点评:
本题主要考查两角和差的三角公式、正弦定理、余弦定理的应用,属于中档题.
28.(2014?陕西)△ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.
(Ⅰ)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);
(Ⅱ)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.
考点:
余弦定理;正弦定理.
专题: 三角函数的求值.
分析: (Ⅰ)由a,b,c成等差数列
,利用等差数列的性质列出关系式,利用正弦定理化简,再利用诱导公式变
形即可得证;
(Ⅱ
)由a,bc成等比数列,利用等比数列的性质列出关系式,再利用余弦定理表示出cosB,将得出的关
系式代入,并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值.
解答:
解:(Ⅰ)∵a,b,c成等差数列,
∴2b=a+c,
利用正弦定理化简得:2sinB=sinA+sinC,
∵sinB=sin[π﹣(A+C)]=sin(A+C),
∴sinA+sinC=2sinB=2sin(A+C);
(Ⅱ)∵a,b,c成等比数列,
2
∴b=ac,
∴cosB==≥=,
当且仅当a=c时等号成立,
∴cosB的最小值为.
点评: 此题考查了正弦、
余弦定理,等差、等比数列的性质,以及基本不等式的运用,熟练掌握定理是解本题的
关键.
29.(2014?重庆)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且a+b+c=
8.
(Ⅰ)若a=2,b=,求cosC的值;
(Ⅱ)若sinAcos+sinBcos
=2sinC,且△ABC的面积S=sinC,求a和b的值.
考点:
余弦定理;正弦定理.
专题: 三角函数的求值.
分析:
(Ⅰ)由a+b+c=
8,根据a=2,b=求出c的长,利用余弦定理表示出cosC,将三边长代入求出cosC的值
22
即可;
(Ⅱ)已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简,整理后利用两角和与差的正弦函
数公式及诱导公式
变形,再利用正弦定理得到a+b=3c,与a+b+c=8联立求出a+b的值,利
用三角形的面积公式列出关系式,
代入S=sinC求出ab的值,联立即可求出a与b的值.
解答:
解:(Ⅰ)∵a=2,b=,且a+b+c=8,
∴c=8﹣(a+b)=,
∴由余弦定理得:cosC=
22
==﹣;
(Ⅱ)由sinAcos+sinBcos=2sinC可得:sinA?+sinB?=2sinC,
整理得:sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC,
∵sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC,
∴sinA+sinB=3sinC,
利用正弦定理化简得:a+b=3c,
∵a+b+c=8,
∴a+b=6①,
∵S=absinC=sinC,
∴ab=9②,
联立①②解得:a=b=3.
点评:
此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形的面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
30.(2014?启东市模拟)在△ABC中,A,B,C为三个内角a,b,c为三条边,
.
(Ⅰ)判断△ABC的形状;
(Ⅱ)若,求的取值范围.
,且
考点: 正弦定理;余弦定理.
专题: 计算题;解三角形.
分析: (1)先利
用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦,利用二倍角公式和两角和公式整理求得
sinB=sin
2C,进而根据B,C的范围,求得B+2C=π,判断出A=C,即三角形为等腰三角形.
22(2)利用平面向量的性质,依据已知条件求得a+c+2ac?cosB=4,根据a的值求得cosB的
值.
解答:
解:(1)由及正弦定理,得,
即sinBsinA﹣sinBsi
n2C=sinAsin2C﹣sinBsin2C,即sinBsinA=sinAsin2C,
因为A是三角形内角,所以sinA≠0,
可得sinB=sin2C,
∵,∴,∴B+2C=π,
∵A+B+C=π,∴A=C,△ABC为等腰三角形.
(2)∵
∴cosB∈(,1)
由(1)可知a=c,
由
∴a=
∴=
2
22
∴B∈(0,),
,得a+c+2ac?cosB=4,
,
cosB=a
?cosB=
2
=2﹣∈(,1)(12分).
点评:
本题主要考查了正弦定理的应用.解题的关键是利用正弦定理进行了边角问题的转化.
<
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1、如果我们做与不做都会有人笑,如果做不好与做得好还会有人笑,那么我们索性就做得更好,来给人笑吧!
2、现在你不玩命的学,以后命玩你。、我不知道年少轻狂,我只知道胜者为王。、不要做金钱、权利的奴隶;应
学会做“金钱、权利”的主人。、什么时候离光明最近?那就是你觉得黑暗太黑的时候。、最值得欣赏的风景,是
自己奋斗的足迹。、压力不是有人比你努力,而是那些比你牛×几倍的人依然比你努力。
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