高中数学 解三角形练习题及答案

解三角形
一、选择题
1．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( )．
A．90° B．120° C．135° D．150°
2．在△ABC中，下列等式正确的是( )．
A．a∶b＝∠A∶∠B
C．a∶b＝sin B∶sin A








B．a∶b＝sin A∶sin B
D．asin A＝bsin B
3．若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为( )．
A．1∶2∶3
C．1∶4∶9












B．1∶
3
∶2
D．1∶
2
∶
3

4．在△ABC中，a＝
5
，b＝
15
，∠A＝30°，则c等于( )．
A．2
5
B．
5
C．2
5
或
5
D．
10
或
5

5．已知△ABC中，∠A＝60°，a＝
6
，b＝4，那么满足条件的△ABC的形状大小
( )．
A．有一种情形
C．不可求出












B．有两种情形
D．有三种以上情形
6．在△ABC中，若a
2
＋b
2
－c
2
＜0，则△ABC是( )．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状不能确定
7．在△ABC中，若b＝
3
，c＝3，∠B＝30°，则a＝( )．
A．
3
B．2
3
C．
3
或2
3
D．2
8．在△ABC中，a，b，c分别为∠ A，∠B，∠C的对边．如果a，b，c成等差数列，
∠B＝30°，△ABC的面积为
A．< br>1?3

2
3
，那么b＝( )．
2
C．
2?3

2
B．1＋
3
D．2＋
3

9．某人朝正东方向走了x km后，向左转150°，然后朝此方向走了3 km，结果他离出
发点恰好
3
km，那么x的值是( )．
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A．
3
B．2
3
C．
3
或2
3
D．3
10 ．有一电视塔，在其东南方A处看塔顶时仰角为45°，在其西南方B处看塔顶时仰角
为60°，若AB ＝120米，则电视塔的高度为( )．
A．60
3
米
二、填空题
11．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝10，b＝ ．
12．在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，c＝
2
，则b＝ ．
13．在△ABC中，∠A＝60°，a＝3，则
B．60米 C．60
3
米或60米 D．30米
a?b?c
＝ ．
sinA?sinB?sinC
3
，则∠C＝ ．
2
14．在△ABC中，若a
2
＋b
2
＜c
2
，且sin C＝
15．平行四边形ABCD中，AB＝4
6
，AC＝43
，∠BAC＝45°，那么AD＝ ．
16．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则最大角的余弦值＝ ．
三、解答题
17． 已知在△ABC中，∠A＝45°，a＝2，c＝
6
，解此三角形．






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18．在△ABC中，已知b＝
3
，c＝1，∠B＝60°，求a和∠A，∠C．









19． 根据所给条件，判断△ABC的形状．
(1)acos A＝bcos B；
(2)







20．△ABC中，己知∠A＞∠B＞∠C，且∠A＝2∠C，b＝4，a＋c＝8，求a，c的长．
abc
＝＝．
cosAcosBcosC
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第一章 解三角形
参考答案
一、选择题
1．B
解析：设三边分别为5k，7k，8k(k＞0)，中间角为 ?，
25k
2
＋64k
2
－49k
2
1
由cos ?＝＝，得 ?＝60°，
2
?
5k
?
8k
2
∴最大角和最小角之和为180°－60°＝120°．
2．B
3．B
4．C
5．C
6．C
7．C
8．B
?
a ＋c＝2b
?
a＋c＝2b
?
?
3
?
1
解 析：依题可得：
?
acsin30?＝

?
?
ac＝622
?
?
22
b＝(a＋c)－2ac－3ac
222
?
?
?
b＝a＋c－2accos30?
代入后消去a，c，得b
2
＝4＋2
3
，∴b＝
3
＋1，故选B．
9．C
10．A
二、填空题
11．5
6
．
12．2．
13．2
3
．
解析：设
bc
a＋b＋c
a3a
＝＝＝k，则＝k＝＝＝
sinA
sinAsin60?
sin A＋sin B＋sin C
sinBsinC
第 4 页 共 7 页

2
3
．
14．
2?
．
3
15．4
3
．
16．－
1
．
4
三、解答题
17．解析：解三角形就是利用正弦定理与余弦定理求出三角形所有的边长与角的大小．
解法1：由正弦定理得sin C＝
∵csin A＝
6
×
23
66
sin 45°＝·＝．
22
22
2
＝
3
，a＝2，c＝
6
，
3
＜2＜
6
，
2
∴本题有二解，即∠C＝60°或∠C＝120°，
∠B＝180°－60°－45°＝75°或∠B＝180°－120°－45°＝15°．
故b＝
a
sin B，所以b＝
3
＋1或b＝
3
－1，
sinA
∴b＝3
+1，∠C＝60°，∠B＝75°或b＝
3
－1，∠C＝120°，∠B＝1 5°．
解法2：由余弦定理得
b
2
＋(
6
)
2
－2
6
bcos 45°＝4，
∴b
2
－2
3
b＋2＝0，解得b＝
3
±1． < br>又(
6
)
2
＝b
2
＋2
2
－2×2 bcos C，得cos C＝±
所以∠B＝75°或∠B＝15°．
∴b＝
3＋1，∠C＝60°，∠B＝75°或b＝
3
－1，∠C＝120°，∠B＝15°．
18．解析：已知两边及其中一边的对角，可利用正弦定理求解．
1
，∠C＝60°或∠C＝120°，
2
bc
＝，
sinBsinC
c?sinB
1?sin60?
1
∴sin C＝＝＝．
2
b
3
解：∵
∵b＞c，∠B＝60°，∴∠C＜∠B ，∠C＝30°，∴∠A＝90°．
由勾股定理a＝
b
2
＋c
2
＝2，
即a＝2，∠A＝90°，∠C＝30°．
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19．解析：本题主要考查利用正、余弦定理判断三角形的形状．
(1)解法1：由余弦定理得
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?b
2
?c
2
acos A＝bcos B< br>?
a·()＝b·()
?
a
2
c
2
－a4
－b
2
c
2
＋b
4
＝0，
2bc 2ac
∴(a
2
－b
2
)(c
2
－a
2< br>－b
2
)＝0，
∴a
2
－b
2
＝0或c< br>2
－a
2
－b
2
＝0，
∴a＝b或c
2
＝a
2
＋b
2
．
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
解法2：由正弦定理得
sin Acos A＝sin Bcos B
?
sin 2A＝sin 2B
?
2∠A＝2∠B或2∠A＝?－2∠B，∠A，∠B∈(0，?)
?
∠A＝∠B或∠A＋∠B＝
?
，
2
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
(2)由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C代入已知等式，得
2RsinC
2RsinA
2RsinB
＝＝，
cosA
cosC
cosB
∴
sinC
sinAsinB
＝＝，
cosAcosB
cosC
即tan A＝tan B＝tan C．
∵∠A，∠B，∠C∈(0，π)，
∴∠A＝∠B＝∠C
，

∴△ABC为等边三角形．
20．解析：利用正弦定理及∠A＝2∠C用a，c的代数式表示cos C；再利用余弦定理，
用a，c的代数式表示cos C，这样可以建立a，c的等量关系；再由a＋c＝8，解方程组得a，
c．
解：由正弦定理
c
a
＝ 及∠A＝2∠C，得
sinA
sinC
acac
＝，即＝，
sin2CsinC2sinC?cosCsinC
∴cos C＝
a
．
2c
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a
2
?b
2
?c
2
由余弦定理cos C＝，
2ab
∵b＝4，a＋c＝8，
∴a＋c＝2b，
(a＋c)
2
a＋－c
2
(5a－3c)(a＋c)
5a－3c
4
∴co s C＝＝＝，
2
a(a＋c)
∴
a
5a－3c
2c＝
4a
，
整理得(2a－3c)(a－c)＝0，
∵a≠c，∴2a＝3c．
又∵a＋c＝8，
∴a＝
24
5
，c＝
16
5
．

4a(a＋c)
4a
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