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第一章 解三角形
1、正弦定理：
在
C
中，
a
、
b
、
c
分别为角
、
、
C
的对边，
R
为
a
b
c
2R
．
有：
sin
sin
sinC
2、正弦定理的变形公式：
①
a
C
的外接圆的半径，则
2Rsin
，
b
2Rsin
，
c
2Rsin C
；
a
b
c
②
sin
，
sin
，
sin C
；
2R
2R
2R
③
a : b : c
sin :sin
:sin
C
；
a
b
c
a
b
c
④
．
sin
sin
sin C
sin
sin
sin
C
注意： 正弦定理主要用来解决两类问题：
1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。
2、已知两角和一边，求其余的量。
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。
（一解、
两解、无解三中情况）
如：在三角形
ABC中，已知 a、b、 A（
A为锐角）
求
B。具体的做法是： 数形结合思想
画出图：法一：把 a 扰着 C 点旋转，看所得轨迹以
当无交点则 B
无解、
当有一个交点则
当有两个交点则
AD有无交点：
C
B 有一解、
B
有两个解。
a
法二：是算出
CD=bsinA, 看 a 的情况：
当 a
b
bsinA
A
D
当 a=bsinA 或
a>b 时， B 有一解
注：当 A 为钝角或是直角时以此类推既可。
3、三角形面积公式：
S
C
1
2
bcsin
1
ab sin C
1
acsin
．
2
2
4、余弦定理：
在
C
中，有
a
2
c
2
b
2
a
2
c
2
2bc cos
，
b
2
b
2
2ab cosC
．
a
2
c
2
2ac cos
，
5、余弦定理的推论：
b
2
c
2
cos
a
2
，
2bc
a
2
c
2
b
2
cos
2ac
a
2
b
2
c
2
，
cosC
2ab
．
( 余弦定理主要解决的问题：
1、已知两边和夹角，求其余的量。
2、已知三边求角 )
1
6、如何判断三角形的形状：
设
a
、
b
、
c
是
①若
a
2
C
的角
、
、
C
的对边，则：
b
2
c
2
，则
C
90
o
；
o
c
2
，则
C
90
；
2
②若
a
2
b
2
③若
a
2 2
o
B
b
c
，则
C
90
．
：
A
7、正余弦定理的综合应用
如图所示：隔河看两目标
A、B,
O
但不能到达，在岸边选取相距
O
3
千米的
C、D两点，
O
并测得∠ ACB=75,
∠
BCD=45,
∠ADC=30,
C
O
、B、 C、 D在同一平面
∠ADB=45(A
内
) ，求两目标
A、 B 之间的距离。
D
附：三角形的五个“心” ；
重心：三角形三条中线交点
.
.
.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点
内心：三角形三内角的平分线相交于一点
垂心：三角形三边上的高相交于一点
.
练习题
一、选择题
1、在△ ABC中，
a
＝10， B=60°
,C=45 °, 则
c
等于 （ B
A．
103
）
B．
10 3
1
C．
3 1
D．
10
3
5x
2
2、三角形的两边分别为
A．
52
5 和 3，它们夹角的余弦是方程
B． 2
13
C ． 16
7 x
6 0
的根，则三角形的另一边长为
D． 4
（ C
3、在△ ABC中，若
(a
A
90
0
c)( a c)
60
0
b(b
C
c)
，则
A
120
0
）
B
D
150
0
4 、在△ ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是
A．
b
= 10 ， A = 45 °， B = 70
°
C．
a
= 7 ，
b
= 5 ，A = 80
°
D
B
（ D
）
．
a
= 60
，
c
= 48
，B = 100 °
．
a
=
14
，
b
= 16
，A = 45
°
)
5、已知△
ABC
中，
a
∶
b
∶
c
＝1∶
3
∶2，则
A
∶
B
∶
C
等于
( A
A．1∶2∶3
B．2∶3∶1
D
． 3： 1： 2
C．
1 ： 3： 2
6、若△ ABC的周长等
于
A．
5
二、填空题（每题
20，面积是
10 3
， A＝ 60°，则 BC边的长是（
C
）
B ． 6
C． 7
D．
8
5 分 , 共 25 分）
2
7、在
ABC
中，已知
sin A : sin B : sinC 6 : 5
: 4
8、在△
ABC
中，
A
=60°,
b
=1, 面积为
3
，则
，则
cosA ___________
a b
c
=
sin C
sin A
sin B
9、在△ ABC中，已知
AB=4，AC=7， BC边的中线
7
AD
，那么
BC=
2
10、在 △ ABC 中，已知角
A
、
B
、 C 所对的边分别是
a
、
b
、
c
，边
c
7
，且
C
60
，又
△
ABC
的
3 3
2
面积为
，则
a b
________________
2
三．解答题（ 2 小题，共
40 分）
1
13、在 ABC中，
sin(C
A) 1
, sinB=
. （ I ）求 sinA 的值；
(II)
设 AC=
6
，求
3
知识点巩固练习（一）
一、选择题
1．在△ ABC中，若
C 90
0
, a 6, B
30
0
，则
c
b
等于（
）
A．
1
B ．
1
C ．
2 3
D ．
2 3
2．若
A
为△ ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（
）
A．
sin A
B ．
cos A
C ．
tan A
D ．
1
tan A
3．在△ ABC中，角
A, B
均为锐角，且
cos A
sin B,
则△ ABC的形状是（
）
A．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
4．等腰三角形一腰上的高是
3
，这条高与底边的夹角为
60
0
，
则底边长为（
3
）A．
2
B ．
C ．
3
D
．
2
3
2
5．在△
ABC
中，若
b
2a sin B
，则
A
等于（
）
30
0
或
A．
30
0
或
60
0
B
．
45
0
或 60
0
C ．
120
0
或
60
0
D
．
150
0
6．边长为
5,7,8
的三角形的最大角与最小角的和是（
）
3
ABC的面积 .
A ．
90
0
二、填空题
B ．
120
0
C ．
135
0
D ．
150
0
1．在
Rt
△ ABC中，
C
90
0
，则
sin
Asin B
的最大值是
_______________。
2．在△ ABC中，若
a
2
b
2
3．在△ ABC中，若
b
bc c
2
,则 A
_________。
2, B
30
0
, C
135
0
,则 a
_________。
4．在△ ABC中，若
sin A
∶
sin B
∶
sin C
三、解答题
7
∶
8
∶
13
，则
C
_____________。
1． 在△ ABC中，若
a cos
A
b cos B
c cosC ,
则△
ABC的形状是什么？
2．在△ ABC中，求证：
a
b
b
a
c(
cosB
b
cos A
)
a
3．在锐角△ ABC中，求证：
sin A sin B sin C cos
A cos B
cosC
。
4
知识点巩固练习（二）
一、选择题
1．在△
ABC中，
A : B : C
A．
1: 2:3
B ．
3: 2:1
1: 2:3
，则
a :
b: c
等于（
C ．
1:
3 :
2
D ．
2 :
）
3 :1
2．在△
ABC中，若角
B
为钝角，则
sin B
A．大于零
3
sin A
的值（
）
ABC
．在△
A
2B
中，若
B
．小于零 C ．等于零
，则
a
等于（
D ．不能确定
）
A．
2bsin A
B ．
2bcos A
C ．
2bsin B
D ．
2b cosB
4．在△ ABC中，若
lg sin
A
A．直角三角形
lg cos B
lg sin
C
lg 2
，则△ ABC的形状是（
C
．不能确定
D ．等腰三角形
(
)
）
B
．等边三角形
5．在△ ABC中，若
(a
A．
90
0
B
b
c)(b
c
a)
3bc,
则
A
．
60
0
C ．
135
0
D ．
150
0
13
6．在△ ABC中，若
a
7,b
8, cosC
，则最大角的余弦是（
14
1
1
1
1
A．
）
B
．
C ．
D ．
5
6
二、填空题
1．若在△
ABC
中，
2
7
8
A
60
0
, b
1, S
ABC
3,
则
．若
A, B
是锐角三角形的两内角，则
tan A tanB
_____
1
a b
c
=_______。
sin A
sin B
sinC
>
<
（填
或
）。
_________ 。
3．在△ ABC中，若
sin
A
4．在△ ABC中，若
a
9,b
2 cos B cosC, 则 tan B tan C
10, c 12,
则△
ABC的形状是
_________
。
5．在△ ABC中，若
a
3, b
2, c
6
2
2
,
则
A
_________。
三、解答题
1． 在△
ABC中，
A
120
0
, c b, a
21, S
V
ABC
3
，求
b,c
。
5
2． 在锐角△ ABC中，求证：
tan A tan B
tanC 1
。
3． 在△ ABC中，求证：
sin A sin
B sin C 4 cos
A
2
cos cos
B
2
C
。
2
4． 在△ ABC中，若
A
B 120
，则求证：
0
a
b
1
。
b c a c
5． 在△ ABC 中，若
a cos
2
C
c
cos
2
A
2
3b
，则求证：
a c 2b
2
2
6
知识点巩固练习（三）
一、选择题
1．
A
为△ ABC
的内角，则
sin A
A ．
( 2,2)
B ．
(
cos A
的取值范围是（
C．
(
1,
2]
D．
[
等于（
）
）
2,
0
2
)
2,
2 ]
2．在△ ABC 中，若
C
A ．
2 cos
90 ,
则三边的比
B．
2 cos
ab
A
B
2
A B
2
c
C．
2 sin
A
B
2
D．
2 sin
A B
2
3．在△
ABC 中，若
a
A ．
12
B ．
7, b
3, c
8
，则其面积等于（
C．
28
）
21
D ．
6 3
2
4．在
中，
0 0 0
△ABC
C 90
，
0
A 45
，则下列各式中正确的是（
）
A． sin
A
cosA
B． sin B
cos A
c)( a
c)
C．
120
0
C． sin A
cosB
A
（
D． sin B cosB
）
5．在△
ABC 中，若
(a
A ．
90
0
b(b
c)
，则
D ．
150
0
0
B ．
60
tan A
a
2
6．在△
ABC 中，若
tan B
b
2
，则△ ABC
的形状是（
A ．直角三角形
）
D．等腰三角形
B ．等腰或直角三角形
C．不能确定
二、填空题
1．在△ ABC 中，若
sin A
2．在△ ABC 中，若
cos
2
A
sin B,
则
A
一定大于
B
，对吗？填
_________（对或错）
cos
2
B
cos
2
C 1,
则△
ABC
的形状是
______________。
x sin C ,
y sin A sin B, z cos A
cos B,
3．在△ ABC 中，∠ C 是钝角，设
则
x, y, z
的大小关系是
___________________________
。
4．在△
ABC 中，若
a
c 2b
，则
cos A cosC
cos A cosC
1
sin Asin C
______。
3
lg tan A
lg
tan C ,
则
B
的取值范围是
_______________。
5．在△ ABC 中，若
2lg
tan B
6．在△ ABC 中，若
b
2
ac
，则
cos( A C) cos B
cos 2B
的值是
_________
。
三、解答题
7
1．在△
ABC 中，若
(a
2
b
2
) sin( A B) (a
2
b
2
) sin( A
B)
，请判断三角形的形状。
． 如果△
内接于半径为
2
ABC
的圆，且
2
(sin
2
R
A
sin
2
R
) ( 2
) sin
,
C
a b
B
求△ ABC 的面积的最大值。
3． 已知△ ABC 的三边
a
b c
且
a c 2b, A C
2
，求
a : b : c
4．在△ ABC
中，若
( a
b c)(a b c) 3ac
，且
tan A tan C 3
3
，
AB
边上的高
为
4 3
，求角
A, B, C
的大小与边
a, b,c
的长
8
答案
知识点巩固练习（一）
一、选择题
1.C
b
tan30
0
, b
a tan30
0
2
3, c
2b
4
4, c
b
2
3
a
2.A
0
A
,sin A
0
3.C
cos
sin(
A
A
)
sin
,
都是锐角，则
B
,
A B
A B, A B
, C
2
2
2
2
4.D
作出图形
5.D
b
2a sin B,sin B
2sin A sin B,sin A
1
, A
30
0
或
150
0
2
6.B
设中间角为
，则
cos
5
2
8
2
7
2
1
0 0
,
60
0
,180
0
60
120
为所求
2
5
8
2
二、填空题
1
1.
1
sin A sin B
sin A
cosA
sin 2A
1
2
2
2
2.
120
0
1
cos A
b
2
c
2
a
2
, A 120
0
2bc
2
3.
6
2
A
15
0
,
a
b
, a
b sin A
4sin A
4sin15
0
4
6
2
sin A
sin
B
sin B
4
4.
120
0
a
∶
b
∶
c
sin A
∶
sin
B
∶
sinC
7
∶
8
∶
13
，
令
a
7k,b
8k, c
13k cosC
a
2
b
2
c
2
1
,C
120
0
2ab
2
三、解答题
1.
解：
a cos A
b cos B
c cosC ,sin Acos A
sin B cosB
sin C cosC
sin 2A
sin 2B sin 2C ,2sin( A
B)cos(
A
B)
2sin C cosC
cos( A
B)
cos(A
B),2cos Acos B
0
cos A
0
或
cosB
0
，得
A
或
B
2
2
所以△ ABC是直角三角形。
a
2
c
2
b
2
b
2
c
2
a
2
2.
证明：将
cos B
代入右边
2ac
，
cos A
2bc
a
2
c
2
b
2
b
2
c
2
a
2
2a
2
2b
2
得右边
c(
2abc
2abc
)
2ab
9
2
a
2
b
2
a
b
b
a
左边，
∴
a
ab
b
b
a
c(
cosB
b
cos A
)
a
3．证明：∵△ ABC是锐角三角形，
∴
A
B
,
即
2
A
2
B
0
2
∴
sin
A
sin(
2
)
，即
；同理
；
sin B
cosC
sin C cosA
B
sin A
cosB
∴
sin A
sin B
sin
C
cos A
cosB cosC
知识点巩固练习（二）
一、选择题
1.C
A
,
B
,C
, a : b : c
sin A :
sin B : sin C
1
:
3
:
2
6
3
2
2
2
2
2.A
A
B
, A
B
，且
A,
B
都是锐角，
sin A
sin(
B)
3.D
sin A
sin 2B 2sin B cos B,a
2b cos B
4.D
lg
sin A
sin A
lg 2,
2,sin A
2cos B sin C
cosB sin C
cosB sinC
sin( B
C )
2cos
B sin C ,sin B cosC
cos B sin C
0,
sin( B
C
)
0, B
C
，等腰三角形
5.B
( a
b
c)(b
c a) 3bc ,( b
c)
2
a
2
3bc,
b
2
c
2
a
2
3bc,cos A
b
2
c
2
a
2
1
, A
60
0
2bc
2
6.C
c
2
a
2
b
2
2ab cosC
9, c
3
，
B
为最大角，
cosB
1
7
二、填空题
1.
2
39
S
1
ABC
bc sin A
1
c
3
3,
c
4, a
2
13, a
13
3
2
2
2
a b
c
a
13
2
39
sin A
sin B
sin C
sin A
3
3
2
10
1: 3 : 2
sin
B
sin(
B)
2.
A
B
, A
B
，即
tan A
tan(
B)
2
2
2
2
cos(
B)
cosB1
1
2
，
tan A
,tan A tan B 1
sin B
tanB
tan B
3.
2
tan B
sin B
sin
C
tan C
cosB
cosC
sin B
cosC
cosB
sin C sin(B C)
2sin A
cosB cosC
1
sin A
sin A
2
4.
锐角三角形
C
为最大角，
cosC
0, C
为锐角
8
4
3
5.
60
0
b
2
c
2
a
2
2
4
3
3 1
1
cos A
2bc
6
2
2
2
(
3
1)
2
2
2
2
三、解答题
1. 解：
S
1
ABC
bc sin
A
3, bc
4,
2
a
2
b
2
c
2
2bc cos A,b
c
5
，而
c
b
所以
b
1, c
4
证明：∵△ ABC是锐角三角形，
2.
∴
A
B
,
即
A
B
0
2
2
2
∴
sin
A
sin(
)
，即
；同理
sin B
；
sin C cosA
2
B
sin A
cosB
cosC
∴
sin Asin B sin C
cos AcosB cosC,
sin Asin B sin C
1
cos AcosB cosC
∴
tan
A
tan B tanC
1
3.
证明：∵
sin
sin
AA
B
B
sin(
A
sin
A
B
C
2sin
cos
2
2
A
)
B
2sin
B
cos
A
B
A
B
cos
A
2sin
B
A
2
2
2sin
A
2
B
(cos
B
A
2
cos
B
)
2
2
2cos
C
2cos
A
cos
B
2
2
B
2
C
2
4cos
A
cos cos
∴
2
2
2
sin A
sin B
A
B
sin
C
4 cos
cos
cos
C
2
2
2
11
a
2
sin 2A
4．证明：要证
a
b
1
，只要证
ac
b
2
bc
1
，
b
c
a c
ab
bc
ac
c
2
即
a
2
b
2
c
2
ab
而∵
A
B
120
0
,
∴
C
60
0
a
2
b
2
c
2
2 2 2 0
cosC
, a
b
c
2ab cos60
ab
2ab
∴原式成立。
C
5
．证明：∵
a cos
2
c cos
2
A
3b
2
2
2
1
∴
sin A
1
cosC
sin C
cos A
3sin
B
2
2
2
即
sin A
sin A cosC
sin C sin C
cos A
3sin B
∴
sin A
sin C
sin( A
C )
3sin B
即
sin A
sin C
2sin B
，∴
a
c
2b
知识点巩固练习（三）
一、选择题
1.C
sin A
cos A
2 sin(
A
),
4
而
0
5
A
,
A
2
sin( A
) 1
4
4
4
2
4
2.B
a
b
sin A
sin
B
c
sin C
sin A
sin B
A
2sin
A
B
cos
A
B
2cos
B
1
2
2
1
2
3.D
cos
A
, A
60
0
, S
VABC
bcsin A
6
3
2
2
4.D
A
B
90
0
则
sin A
cos B,sin B
cos A
，
0
0
A
45
0
,
sin A
cos A
，
45
0
B
90
0
,sin B
cos B
a
2
c
2
1
5.C
0
b
2
bc, b
2
c
2
a
2
bc,cos A
, A
120
2
6.B
sin A
cos B
sin
2
A
,
cos B
sin A
,sin A cos
A
sin B cos B
cos A
sin
B
sin
2
B cos A
sin
B
sin 2B,2 A 2B或 2A 2B
二、填空题
12
1.
对
sin
A
sin B,
则
2.
直角三角形
b
a
b
A
B
2R
2R
1
(1
cos2 A
1 cos2B)
cos
2
( A
B)
2
1
(cos2 A cos2B)
cos
2
( A
B)
0,
2
a
1,
cos( A B)cos( A
B)
cos
2
( A
B)
0
cos AcosB
cosC
0
,
A
2
x
y
z
A
B
,sin
A
cos ,sin
B
cos
,
z
3.
2
c
a b,sin C
sin A
sin B, x
y, x
y
z
4．
1
sin A sin C
2sin
B,2sin
A
cos
A
C
2
2cos
A
C
2
2
,cos
C
cos
A C
4sin
C
cos
A C
2
2
2
2
A
C
A C
A
则
1
sin A sin C
4sin sin
3
2
2
A
2
2
cos
C
2
3sin
sin
2
2
cos A
cosC cos A
cosC
1
sin Asin
C
3
2
2
4sin sin
C
(1
cos A)(1
cosC)
1
2
2
A
2sin
2
A
2sin
2
C
4sin
2
A
5.
[
, )
3
2
2
2
tan
2
B
tan A tanC,tan B
sin
2
C
1
1
2
2
tan( A
C )
tan B
tan(A
C)
tan A
tanC
tan B
1
2
tan A
tanC
tan A tan C
1
tan
3
B
tan B
tan
A
tanC
2 tan A tan C
2 tan B
3
tan
3
B
3tan B, tan B
0
tan B
3
B
6．
1
b
2
ac,sin
2
B
sin A sin C , cos(A
C )
sin A sin C
cos B
cosB cos2B
cos A cosC
1
2sin
2
B
cos A cosC
sin Asin C
cosB
cos A cosC
sin Asin C
cosB
cos( A
C )
cos B
1
1
2
1
2sin Asin C
1
2
三、解答题
2
1.
解：
a
2
a
b
2
b
sin( A
B)
,
2
sin( A
B)
b
a
2
sin A cos
B
cos Asin B
13
sin
2
A
sin
B
cosB
cos A
sin A
sin B
,sin 2 A
sin 2B,2
A
2B或 2A 2B
∴等腰或直角三角形
2.
解：
2R
sin A sin A
2R sin C
sin
C
(
2a
b)sin B,
a sin A
c sin C
(
2a b)sin B,a
2
2
c
2
2ab
b
2
,
2
2
ab
c
2 2
2ab,cos C
a
2
b
2
c
2
2ab
,C
45
0
c
sin C
2R
2
2R,c
2R
sinC
222
2R,
a
b 2R
2ab,
2ab
a
2
b
2
2ab, ab
2R
2
2
2
S
1
absin C
2
4
ab
2
2
2R
2
4
2
2
,
S
max
2
1
R
2
2
另法：
S
1
ab sin C
2
ab
2
4
2
2R sin A
2R sin B
4
2
2R sin A
2R sin
B
4
2R
2
sin Asin B
2R
2
1
[cos( A
B)
cos(A
B)]
2
1
[cos( A
B)
2
2
(1
)
2
2R
2
2R
2
2
max
2
]
2
S
2
1
R
2
此时
A
B
取得等号
2
sin
3.
解：
sin
2sin
,2sin
A
C
cos
A
C
A
C
B
2
2
4sin
A
C
cos
A C
2
2
sin
B
1
cos
A
C
2
2
4
,cos
B
14
,sin B
2sin cos
2
BB
2
2
2
A C
, A C
2
sin(
, C
B, A
3
4
2
4
B
4
2
7
4
B
2
sin A
3
B)
sin
3
cos B
cos
3
sin B
4
4
4
7
1
4
14
sin C sin(
4
B) sin cos B
cos
sin B
4
4
7) : 7 : (7
7
1
4
7 )
a :
b : c
sin A :sin B :sin C
(7
4. 解：
(a
b
c)( a
b
c)
3ac, a
2
c
2
b
2
ac,cos B
1
, B
60
0
2
tan(A
C )
tan
A
tan C
,
1
tan A
tan C
3
3
3
,
1
tan A tan C
tan C
3
A
C
75
0
45
0
或
tan A tan C
2
得
tan A
3
，联合
tan A
，即
3
A
tan C
2
1
3
或
tan
A
1
tanC
2
4
3
sin A
4
3
sin A
3
45
0
75
0
C
当
A
75
0
,C
45
0
时，
b
4(3
2
6), c
8(
3
1),a
8
当
A
45
0
,C
75
0
时，
b
4
6, c
4(
3
1), a
8
0
∴当
A
75
0
, B
60
0
, C
45
时，
a
8, b
4(3
2
8, b
4
6), c
8( 3
1),
当
A
45
0
,
B
60
0
, C
75
0
时，
a
6, c
4(
3
1)
。
解三角形单元测试题
一、选择题：
1、在△ ABC中， a＝3， b＝
7
，
c＝
2，那么
B
等于（
）
A． 30
°
B． 45°
C． 60°
D．
120°
2、在△ ABC中， a＝10， B=60° ,C=45 °, 则 c
等于
（
A．
10
）
D．
10
3
3
B．
10
3 1
C．
3 1
3、在△ ABC中， a＝
2
3
， b＝
2
2
，B＝
45°，则
A
等于（
A． 30°
A．无解
）
B
． 60°
B．一解
C． 30°或 120° D． 30 °或
150°
）
C． 二解
D．不能确定
4、在△ ABC中， a＝12， b＝ 13， C＝
60°，此三角形的解的情况是（
5、在△ ABC中，已知
a
2
A．
b
2
c
2
bc
，则角
A
为（
）
B．
C．
2
D．或
2
3
6
3
15
3
3
6、在△ ABC中，若
a cos A b cosB
，则△
ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
7、已知锐角三角形的边长分别为
A．
8,10
8、在△ ABC中，已知
A．直角三角形
9、△ ABC中，已知
a
A．
x 2
D．等腰或直角三角形
）
D．
1， 3， a，则 a 的范围是（
B．
8,
10
C．
8,10
10,8
2 sin A cosB
sin C
,
那么△
ABC一定是
(
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
)
D．正三角形
x,b 2, B
B．
x 2
60 °，如果△ ABC 两组解，则
x 的取值范围 ( )
C．
2 x
4
3
3
D．
2 x
4
3
3
10、在△ ABC中，周长为
7.5cm，且 sinA ：sinB ：sinC ＝ 4：5：6, 下列结论： ①
a :
b : c
4 : 5 : 6
②
a : b :
c
2 :
5 : 6
③
a
2cm,b
2.5cm, c 3cm
(
④
A : B : C 4
: 5 : 6
其
中成立的个数是
A． 0 个
)
B． 1 个
C． 2 个
D． 3
个
11、在△ ABC中，
AB
3
,
AC
3
4
，且
b
1
,
∠
A＝
30°，则△
ABC面积为
（
C．
）
A．
3
2
B ．
3
2
或
3
D．
3
或
4
）
12、已知△ ABC的面积为
3
2
3
2
2, c
3
，则∠
A
等于 （
B． 30°或 150° C． 60°
D． 60°或
120°
6
，则△
ABC的面积
13、已知△
ABC的三边长
a
3, b
5, c
为
（
）
A．
14
A． 30°
B．
2 14
C．
15
D．
2
15
A
14、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空
地上种植草皮以美化环境，
购买这种草皮至少要（
A．
450a 元
B． 225a 元
已知这种草皮每平方米
）
a 元，则
20
米
150
0
30 米
C．150a 元 D．
300a 元
15、甲船在岛
B 的正南方 A 处， AB＝
10
千米，甲船以每小
时 4
千米的速度向正北航行，同时乙船自
向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（
A．
B
C
B
出发以每小时
6 千米的速度向北偏东
60°的方
150
分钟
B．
15
7
）
D． 2.15 分钟
分钟
C． 21.5 分钟
7
16、飞机沿水平方向飞行， 在 A 处测得正前下方地面目标
C 得俯角为
30°，向前飞行 10000
（
米，到达 B
处，此时测得目标 C 的俯角为 75°，这时飞机与地面目标的水平距离为
A．
5000 米
17、在△ ABC中，
a
A．
）
B． 5000
2
米 C． 4000 米
D．
4000 2
米
sin10
°，
b
B ．
1
64
1
sin 50
°，∠
C＝
70°，那么△
ABC的面积为（
C．
1
D．
1
）
32
16
16
8
18、若△ ABC的周长等于 20，面积是
10
3
， A＝ 60°，则
BC边的长是（
A． 5
B ． 6
）
C． 7
D． 8
19、已知锐角三角形的边长分别为
A．
1 x 5
B
．
5 x
20、在△ ABC中，若
2、 3、 x，则
x 的取值范围是（
）
cos
a
cosB
b
13
C ．
0 x5
D．
13 x 5
A
sin C
，则△ ABC是（
）
c
A．有一内角为
30°的直角三角形
C．有一内角为 30°的等腰三角形
二、填空题
B ．等腰直角三角形
D．等边三角形
21、在△
ABC中，若∠ A: ∠ B: ∠C=1:2:3,
则
a : b :
c
22、在△ ABC中，
a
3 3, c
2, B
150°，则 b＝
23、在△ ABC中， A＝
60°， B＝ 45°，
a
b 12
，则
a＝
24、已知△ ABC中，
a 181, b
25、已知三角形两边长分别为
为.
26、在△ ABC中，
b
三、解答题
； b＝
209, A
121°，则此三角形解的情况是
1
和
3
，第三边上的中线长为
1，则三角形的外接圆半径
c : c
a
: a
b
4
: 5 : 6
，则△
ABC的最大内角的度数是
2
，
A＝
45°，在
BC边的长分别
27、在△ ABC中，已知
AB
10
为
20，
20
3
，5
的情况
3
下，求相应角
C。
28、在△ ABC中，BC＝
a，AC＝ b，a，b 是方程
x
2
2 3x
2
0
的两个根，且
2 cos A B
1
。
求： (1) 角 C 的度数； (2)AB 的长度。
17
29、在△ ABC中，证明：
cos2A
2
cos2B
2
1
a
2
1
。
2
a
b
b
30、在△ ABC中，
a b
小值。
10
，
cosC
是方程
2
x
2
3x 2
0
的一个根，求△
ABC周长的最
解三角形单元测试答案
一、选择题
1-5. CBCBC 6-10. DBBCC 11-15. BDBDA
二、填空题
21、
1: 3 : 2
24、无解
三、解答题
16-20.
ACCBB
22
25
、
7
、 1
23
26
、
36
12
、120°
6
,
12
6
24
27、解：由正弦定理得
sin C
AB sin A
BC
（
1）当 BC＝ 20 时， sinC ＝ ；
1
10
BC
BC
AB
A
C
C
30
°
2
（ 2）当 BC＝
20
3
时，
sinC
＝
3
3
；
2
AB ? sin 45
BC
AB
C
有两解
C
不存在
C
60
或
120°
（ 3）当 BC＝ 5 时， sinC ＝ 2>1；
28、解：（ 1）
cosC
cos
A
B
cos
A
B
1
2
C＝
120°
18
a
b
2
3
ab
2
2
（
2）由题设：
AB
2
AC
2
BC
2AC ? BC cosC
2
a
2
2
b
2
2ab cos120
a
2
b
2
ab a b
ab 2 3
2 10
29、证明：
30、解：
31、解：（
cos2
A
cos2B
1
2 sin
2
A
1
2sin
2
B
1
1
a
2
b
2
a
2
b
2
a
2
b
2
sin
2
A
2
由正弦定理得：
sin
B
a
2
b
2
cos2
A
cos2B
1
1
a
2
b
2
a
2
b
2
2x
2
3x
2
0
x
1
2, x
2
1
2
又
cosC
是方程
2x
2
3x
2
0
的一个根
cosC
由余弦定理可得：
c
2
a
2
b
2
2ab ?
1
a
b
2
2
则：
c
2
100
a
10
a
a 5
2
75
当
a 5
时，
c
最小且
c
75
5
3
此时
a
b
c 10
△ ABC周长的最小值为
10 5 3
1）由
sin A
sin B
sin
C cos A
cos B
可得
2sin
2
C
1
cosC
0
即 C＝90°
2
△ ABC是以 C
为直角顶点得直角三角形
2）内切圆半径
r
1
a
b
c
1
sin A
sin B
1
2
2
2
sin
A
1
2
1
2
4
2
2
内切圆半径的取值范围是
2
0,
1
2
19
2
sin
2
A
a
2
1
2
ab
5 3
sin
2
B
b
2
（
1．常见三角不等式
（ 1）若
x
(0,
)
，则
sin x x
tan
x
.
2
(2)
若
x
(0,
)
，则
1
sin x
cos x2
.
2
(3)
| sin x |
| cos x |
1
.
2. 同角三角函数的基本关系式
sin
2
cos
2
1
，
tan
=
sin
，
tan
cot 1
.
cos
3.
正弦、余弦的诱导公式
n
sin(
n
(
1)
2
sin
,
(n 为偶数
)
)
2
n 1
(
1)
2
co s
,
(n 为奇数 )
n
co s(
n
)
(
1)
2
co s
,
(n 为偶数 )
1
2
n
(
1)
2
sin
,
(n 为奇数 )
4. 和角与差角公式
sin(
)
sin
cos
cos
sin
;
cos(
)
cos
cos
msin
sin
;
tan()
tan
tan
.
1mtan tan
sin(
)sin(
)
sin
2
sin
2
( 平方正弦公式
);
cos(
)cos(
)
cos
2
sin
2
.
a sin
b cos
=
a
2
b
2
sin(
)
(
辅 助
角
所 在 象 限
定,
tan
b
a
).
45.
二倍角公式
sin 2
sin
cos
.
cos2
cos
2
sin
2
2cos
2
1 1 2sin
2
.
tan2
2tan
1
.
tan
2
20
点
(
a, b)
的 象 限 决
由