高中数学校本教材封面-高中数学课堂改革经验交流
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解三角形
一.正弦定理:
1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外接圆的直径,
abc
???2R
(其中R是三角形外接圆的半径) 即
sinAsinBsinC
a?b?cabc
???
2.变形:1).
sin??sin??sinCsin?sin?sinC
2)化边为角:
a:b:c?sinA:sinB:sinC
;
asinAbsinBasinA
?;
?;
?;
bsinBcsinCcsinC
3)化边为角:
a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC
sinAasinBbsinAa
?;
?;?;
sinBbsinCcsinCc
abc
,sinB?,sinC?
5)化角为边:
sinA?
2R2R2R
3.
利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题:
①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角;
例:已知角B,C,a,
asinAbsinBasinA
;
?;
?;
求出b 解法:由A+B+C=180
o
,求角A,由正弦定理
?
bsinBcsinCcsinC
与c
②已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边。
例:已知边a,b,A,
asinA
解法:由正弦定理
?
求出角B,由A+B+C=180
o
求出角C,再使用正弦定理
bsinB
asinA
?
求出c边
csinC
4.△ABC中,已知锐角A,边b,则
①
a?bsinA
时,B无解;
b
bsinA
②
a?bsinA
或
a?b
时,B有一个解;
③
bsinA?a?b
时,B有两个解。
A
4)化角为边:
如:①已知
A?60
?
,a?2,b?23
,求<
br>B
(有一个解)
②已知
A?60
?
,b?2,a?23,求
B
(有两个解)
注意:由正弦定理求角时,注意解的个数。
二.三角形面积
111
1.
S
?ABC
?absinC?
bcsinA?acsinB
222
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2.
S
?ABC
?
3.
S
?ABC
4.
S
?ABC
1
(a?b?c)r
,其中
r
是三角形内切圆半径
.
2
1
?p(p?a)(p?b)(p?c)
,
其中
p?(a?b?c)
,
2
abc
?
,R为外接圆半径
4R
5.
S
?ABC
?2R
2
sinAsinBs
inC
,R为外接圆半径
三.余弦定理
1.余弦定理:三角形中任何一
边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦
的积的2倍,即
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
b
2
?a
2
?c
2
?2accosB
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
b
2
?c
2
?a
2
2.变形:
cosA?
2bc
a
2
?c
2
?b
2
cosB?
2ac
a
2
?b
2
?c
2
cosC?
2ab
注意整体代入,如:
a
2
?c
2
?b
2
?ac?cosB?
1
2
3.利用余弦定理判断三角形形状:
设
a
、
b
、
c
是
???C
的角
?
、
?
、
C
的对边,则:
①若,
②若
c
2
?b
2
?
a
2
?A为直角
,所以为锐角
③若,
所以为钝角,则是钝角三角形
3 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题:
1)已知三边,求三个角
2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角
四、应用题
1.已知两角和一边(如
A
、
B
、
C
),由
A
+
B
+
C
=
π
求
C
,由正弦定理求
a
、
b
.
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2.已知两边和夹角(如
a
、
b
、
c
),应用余弦定理求
c
边;再应用正弦定理先求较短边所
对的角,然后利用
A
+
B
+
C
=
π
,求另一角.
3.已知两边和其中一边的对角(如
a
、
b
、
A
),应用正弦定理求
B
,由
A
+
B
+
C
=
π
求
C
,
再由正弦定理或余弦
定理求
c
边,要注意解可能有多种情况.
4.已知三边
a
、
b
、
c
,应用余弦定理求
A
、
B
,再由
A
+
B
+
C
=
π
,求角
C
.
5.方向角一般是指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目
标的方向线所成的角(一般指锐角),通常表达成.正北或正南,北偏东××度,
北偏西××
度,南偏东××度,南偏西××度.
6.俯角和仰角的概念:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上
方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.
视线
铅
仰角
直
五、三角形中常见的结论
线
C=180°—(A+B);
1)三角形三角关系:A+B+C=180°;
2)三角形三边关系:
俯角
两边之和大于第三边:
两边之差小于第三边:
,
,
,
,
视线
水平线
;
;
3)在同一个三角形中大边对大角:
A?B?a?b?sinA?sinB
4) 三角形内的诱导公式:
sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??
cosC,tan(A?B)??tanC,
?CC
sin(?)cos()
A?B
?
C
22
?
2
tan?tan(?)?
?
CC
222
cos(?)
sin()
222
5) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(
α
±
β
)=sin
α
cos
β
±cos
α
sin
β
.
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(2)cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β.
tan
α±tan β
(3)tan(α±β)=.
1?tan αtan β
6)
二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2
α
=2sin
α
cos
α
.
(2)cos 2
α
=cos<
br>2
α
-sin
2
α
=2cos
2
α
-1=1-2sin
2
α
.
(3)
sin
2
?
?
2tan
α
(4)tan 2
α
=.
1-tan
2
α
7) 三角形的五心:
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点
内心——三角形三内角的平分线相交于一点
旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
1?cos2
?
1?cos2
?
;
cos
2
?
?
22
解三角形高考真题及答案解析
sin2A
?
sinC
1.(15北京理科)在
△AB
C
中,
a?4
,
b?5
,
c?6
,则
【答
案】1
【解析】
.
2?425?36?16
sin2
A
2sin
A
cos
A
2
ab
2
?
c2
?
a
2
???1
???
试题分析:
62?5?6
sin
C
sin
Cc
2
bc
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考点:正弦定理、余弦定理
2.(15北京文科)在
???C
中,
a?3
,
b?
【答案】
6
,
???
2
?<
br>,则
???
.
3
?
4
【解析】
试题分析:由正弦定理,得
36
2
ab
?
,即,所以
sinB?
,所以
?B?
.
?
?
2
sinAsinB4
3
sinB
2
1π
,
C?,
26
考点:正弦定理.
3.(15年广东理科)设
?ABC
的内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,b
,
c
,若
a?3
,
sinB?
则
b?
【答案】
1
.
【考点定位】本题考查正弦定理解三角形,属于容易题.
c
.
C
的
对边分别为
a
,
b
,
c?23
,
cos??
4.(15年广东文科)设
???C
的内角
?
,若
a?2
,
?
,
且
b?c
,则
b?
( )
A.
3
B.
2
C.
22
D.
3
【答案】B
【解析】
试题分析:由余弦定理得:
a?b?c?2bcco
s?
,所以
2?b?23
222
3
,
2
22
??
2
?2?b?23?
3
,即
2
b
2
?6b?8?0
,解得:
b?2
或
b?4
,因为
b?c,所以
b?2
,故选B.
考点:余弦定理.
5.(15年安徽理科)
在
?ABC
中,
A?
?
4
,AB?6,AC?32
,点D在
BC
边上,
AD?BD
,求
AD
的长。
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6.(15年安徽文科)在
?ABC
中,
AB?
【答案】2
【解析】
试题分析:由正弦定理可知:
考点:正弦定理.
7.(15年福建理科)若锐角
?ABC
的面积为
103
,且
AB?5,AC?8
,则
BC
等于________.
【答案】
7
【解析】
试题分析:由已知得
?ABC的面积为
所以
A?
6
,
?A?75
?
,
?B?45
?
,则
AC?
。
ABAC
6AC
?
???AC?2
????
??
sin[180?(75?45)]sin45
sin60sin45
1
?<
br>3
AB?ACsinA?20sinA
?103
,所以
sinA?,
A?(0,)
,
22
2
?
3
222
.由余弦定理得
BC?AB?AC?2AB?ACcosA?
49
,
BC?7
.
考点:1、三角形面积公式;2、余弦定理.
00
8.(15年福建文
科)若
?ABC
中,
AC?3
,
A?45
,
C?7
5
,则
BC?
_______.
【答案】
2
【解析】
00
试题分析:由题意得
B?180?A?C?60
.由
正弦定理得
ACBCACsinA
?
,则
BC?
,
sinBsinAsinB
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3?
所以
BC?
3
2
2
2
?2
.
考点:正弦定理.
10.(15年新课标2理科)?ABC中,D是B
C上的点,AD平分∠BAC,?ABD是?ADC面积的2倍。
(Ⅰ)求
sin?B
;
sin?C
(Ⅱ) 若
AD
=1,
DC
=
2
求
BD
和
AC
的长.
2
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11.(15年新课标2文科)△ABC中D是
BC上的点,AD平分
?
BAC,BD=2DC.
(I)求
sin?B
;
sin?C
(II)若
?BAC?60
,求
?B
.
【答案】(I)
1
;
30
.
2
考点:解三角形
12.(15年陕西理科)
???C
的内角?
,
?
,
C
所对的边分别为
a
,
b<
br>,
c
.向量
m?a,3b
与
n?
?
cos?,sin?
?
平行.
(I)求
?
;
(II)若
a?
【答案】(I)
?
?
7
,
b?2
求
???C
的面积.
?
33
;(II).
3
2
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试题解析:
(I)
因为
mn
,所以
asinB-
由正弦定理,得
sin
AsinB-
3bcosA=0
,
3sinBcosA=0
又
sin??0
,从而
tanA=3
,
由于
0?A?
?
,所以
A?
?
3
222
(II)解法一:由余弦定理,得
a=b+c-2bccosA
而
a=7b=2,
??
?
3
22
得
7=4+c-2c
,即
c-2c-3=0
因为
c>0
,所以
c=3
.
故
?
ABC的面积为
133
.
bcsinA=
22
考点:1、平行向量的坐标运算;2、正弦定理;3、余弦定理;4、三角形的面积公式.
?ABC
的内角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c<
br>,13.(15年陕西文科)向量
m?(a,3b)
与
n?(cosA,sin
B)
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平行.
(I)求
A
;
(II)若
a?7,b?2
求
?ABC
的面积.
【答案】(I)
A?
?
3
;(II)
33
.
2
试题解析:(I)
因为
mn
,所以
asinB?3bco
sA?0
由正弦定理,得
sinAsinB?3sinBcosA?0
,
又
sinB?0
,从而
tanA?
由于
0?A?
?
所以
A?
3
,
?
3
(II)解法一:由余弦定理,得
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
,而
a?7,b?2
,
A?
22得
7?4?c?2c
,即
c?2c?3?0
?
3
,
因为
c?0
,所以
c?3
,
故
?ABC
面积为
133
.
bcsinA?
22
7
sin
?
2
sinB
解法二:由正弦定理,得
?
3
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从而
sinB?
21
7
27
7
又由
a?b
知
A?B
,所以
cosB?
故
sin
C?sin(A?B)?sin(B?
?
3
)
?sinBcos
?
3
?cosBsin
?
3
?
321
,
14
所以
?ABC
面积为
133
.
absinC?
22
考点:1.正弦定理和余弦定理;2.三角形的面积.
14.(15年天津理科)在
?ABC
中,内角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
,已知
?ABC
的面积为
315
,
1
b?c?2,cosA??,
则
a
的值为
.
4
【答案】
8
【解析】
试题分析:因为
0
?A?
?
,所以
sinA?1?cos
2
A?
15
,
4
又
S
?ABC
?
?
b?c?2
11
5
得
b?6,c?4
,由余弦定理得
bcsinA?bc?315,?bc
?24
,解方程组
?
28
bc?24
?
?
1
?
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA?62
?4
2
?2?6?4?
?
?
?
?64
,所以
a?8
.
?
4
?
考点:1.同角三角函数关系;2.三角形面积公式;3.余弦定理.
15.(15年天津文科)△ABC
中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
1
315
,<
br>b?c?2,cosA??,
4
(I)求a和sinC的值;
(
II)求
cos
?
2A?
?
?
?
?
? 的值.
6
?
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【答案】(I)a=8,
sinC?
【解析】
1515?73
;(II).
816
考点:1.正弦定理、余弦定理及面积公式;2三角变换.
山水是一部书,枝枝叶叶的文字间,声声鸟鸣是抑扬顿挫的标点,在茂密纵深间,一条曲径,
是整部书最芬芳的禅意。春风翻一页,桃花面,杏花眼,柳腰春细;夏阳读一页,蔷花满架,木槿锦绣、合欢幽香
、蜀葵闲澹,
一派峥嵘;秋风传一页,海棠妆欢,野菊淡姿,高远深邃;冬雪润一页,水仙临水一舞,腊
梅素心磬口,向爱唱晚。
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