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高中文科数学解三角形部分讲练整理

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 09:55
tags:高中数学解三角形

大庆高中数学书-高中数学教案中教网

2020年10月6日发(作者:江绵恒)


高中文科数学解三角形部分整理
一 正弦定理
(一)知识与工具:
abc
???2R
。 正弦定理:在△ABC中,
sinAsinBsinC
变形:
a:b:c?sinA:sinB:sinC
.

在这个式子当中,已知两边和一角或已知两角和一边,可以求出其它所有的边和角。
注明:正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化,在变形中,注意三角形中其他条件
的应用:
(1)三内角和为180° 两边之和大于第三边,两边之差小于第三边
(2)三角函数的恒等变形
sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC ,sin
(3)面积公式:S=
A?BCC
A?B
=cos,cos=sin
2
22
2
1abc
absinC==2R
2
sin AsinBsinC
24R

(二)题型 使用正弦定理解三角形共有三种题型
题型1 利用正弦定理公式原型解三角形
例一、 在△ABC中,若
C?90
0
,a?6,B?30
0
,则
c ?b
等于( )
A.
1
B.
?1
C.
23
D.
?23

【解析】C.
b
?tan30
0
,b?atan30
0
?23,c?2b?44,c?b?23

a


题型2 利用正弦定理公式变形边角互化解三角形:关于边或角的齐次式可以直接边角互化。
例二、在△
ABC
中,若
b?2asinB
,则
A
等于( )
00000000
A.
30或60
B.
45或60
C.
120或60
D.
30或150

0
0
【解析】D.
b?2 asinB,sinB?2sinAsinB,sinA?,A?30

150

1
2

题型3 三角形解的个数的讨论
方法一:画图看



方法二:通过正弦定理解三角形,利用三角形内角和与三边的不等关系检验解 出的结果
是否符合实际意义,从而确定解的个数。
例三、等腰三角形一腰上的高是
3
,这条高与底边的夹角为
60
,则底边长为(D )
A.
2
B.
0
3
C.
3
D.
23

2

二 余弦定理
(一)知识与工具:
b
2
?c
2
?a
2
a=b+c﹣2bccosA cosA=
2bc
222
a
2
?c
2
?b
2
b=a+c﹣2accosB cosB=
2ac
222
a
2
?b
2
?c
2
c=a+b﹣2abcosC cosC=
2ab
222
注明:余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化,当题中含有二次项时 ,常使用余弦
定理。在变形中,注意三角形中其他条件的应用:
(1)三内角和为180°;
(2)两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。
abc
1
(3)面积公 式:S=absinC==2R
2
sinAsinBsinC
4R
2
(4)三角函数的恒等变形。

(二)题型使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型
题型1 利用余弦定理公式的原型解三角形
例一、在△ABC中,若
a?b?bc?c,则A?
_________。
222< br>b
2
?c
2
?a
2
1
cosA???A,? 1
0
2

0
120

【解析】
2bc2
0

题型2 利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角 形:凡在同一式子中既有角又有边的
题,要将所有角转化成边或所有边转化成角,在转化过程中需要构造 公式形式。

题型3 判断三角形的形状
结论:根据余弦定理,当a
2< br>+b
2
<c
2
、b
2
+c
2
<a< br>2
、c
2
+a
2
<b
2
中有一个关系式成立 时,该
三角形为钝角三角形,而当a
2
+b
2
>c
2
、b
2
+c
2
>a
2
,c
2
+a
2
>b
2
中有一种关系式成立时,并不
能得出该三角形为锐角三角形的结论 。


判断三角形形状的方法:
(1)将已知式所有的边和角转化为 边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,
从而判断三角形的形状。

例 一、在△ABC中,若
acosA?bcosB?ccosC,
则△ABC的形状是什么?
解:
acosA?bcosB?ccosC,sinAcosA?sinBcosB? sinCcosC

sin2A?sin2B?sin2C,2sin(A?B)cos(A? B)?2sinCcosC

cos(A?B)??cos(A?B),2cosAcosB?0

cosA?0< br>或
cosB?0
,得
A?
所以△ABC是直角三角形。


(2)应用题




两点间不可通又
不可视
?
2

B?
?
2

两点间可视但不
可达
两点都不可达

底部可达




底部不可达



题型1 计算高度 题型2 计算距离
题型3 计算角度 题型4 测量方案的设计
实际应用题型的本质就是解三角形,无论是什么样的现象,都要首先画出三角 形的模型,
再通过正弦定理和余弦定理进行求解。

例一、

(三)其他常见结论
1三角形内切圆的半径:
r?

2S
?

a?b?c
特别地,
r

?
a?b?c

2
2三角学中的射影定理:
在△ABC 中,
b?a?cosC?c?cosA
,…
3两内角与其正弦值:


在△ABC 中,
A?B?sinA?sinB
,…


例一、在△ABC中,若
a?7,b?3,c?8
,则其面积等于( )
A.
12
B.
21
2
C.
28
D.
63

【解析】D
cosA?< br>1
0
1
2
,A?60,S
?
ABC
?
2
bcsinA?63







基础练习

一、选择题
1.若
A
为△ABC的内角,则下列函数中一定取正值的是( )
A.
sinA
B.
cosA
C.
tanA
D.
1
tanA


2.在△ABC中,角均为锐角,且
cosA?sinB,
则△ABC的形状是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

3.边长为
5,7,8
的三角形的最大角与最小角的和是( )
A.
90
0
B.
120
0
C.
135
0
D.
150
0

4.在△ABC中,
A:B:C?1:2:3
,则
a:b:c
等于( )
A.
1:2:3
B.
3:2:1
C.
1:3:2
D.
2:3:1


5.在△ABC中,若
A?2B
,则
a
等于( )
A.
2bsinA
B.
2bcosA
C.
2bsinB
D.
2bcosB


6.在△ABC中,若
lgsinA?lgcosB?lgsinC?lg2
,则△ABC的 形状是(
A.直角三角形 B.等边三角形 C.不能确定 D.等腰三角形

7.在△ABC中,若
(a?b?c)(b?c?a)?3bc,< br>则
A?
( )



A.
90
0

B.
60
0

C.
135
0
D.
150
0

8.在△ABC中,若
tan
A?Ba? b
?
,则△ABC的形状是( )
2a?b
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形


二、填空题
1.在△ABC中,若
a
2
?b
2
? bc?c
2
,则A?
_________。
2.在△ABC中,若
b?2,B?30
0
,C?135
0
,则a?
_________。
3.在△ABC中,若
sinA

sinB

sinC?< br>7

8

13
,则
C?
_________ ____。
4.若在△ABC中,
?A?60,b?1,S
?ABC
?3,

0
a?b?c
=_______。
sinA?sinB?sin C
5.在△ABC中,若
a?9,b?10,c?12,
则△ABC的形状是____ _____。
6.在△ABC中,若
a?

三、解答证明题
3,b?2,c?
6?2
则A?
_________。
2
1. 在△ABC中,
A?120,c?b,a?21,S
?
AB C
?3
,求
b,c

2. 在△ABC中,若
A?B?120
,则求证:
3.
在△ABC中,若
acos

4.在△ABC中,求证:





【答案】

选择题
1.A
0?A?
?
,sinA?0

2.C
cosA?sin(
2
0
0
ab
??1

b?ca?c
CA3b
?ccos
2
?
,则求证:
a?c ?2b

222
abcosBcosA
??c(?)

ba ba
?
2
?A)?sinB,
?
2
?A,B
都是锐 角,则
?
2
?A?B,A?B?
?
2
,C?
?2


5
2
?8
2
?7
2
1
?,
?
?60
0
,180
0
?60
0
?120
0
为所求 3.B 设中间角为
?
,则
cos
?
?
2?5?82
4.C
A?
?
6
,B?
?
3
,C?
?
2
,a:b:c?sinA:sinB:sinC?
132
::?1:3:2

222
5.D
sinA?sin2B?2sinBcosB,a?2bcosB

6.D
lg
sinAsinA
?lg2,?2,sinA?2cosBsinC
< br>cosBsinCcosBsinC
sin(B?C)?2cosBsinC,sinBcosC ?cosBsinC?0,

sin(B?C)?0,B?C
,等腰三角形
7.B
(a?b?c)(b?c?a)?3bc,(b?c)
2
?a2
?3bc,

b
2
?c
2
?a
2< br>1
s??A,?

b?c?a?3bc,coA
2bc2
2220
6

0A?BA?B
sin
A?Ba?bsinA?sinB
22
, 8.D
tan???
2a?bsinA?sinB
2sin
A?B
cos< br>A?B
22
A?B
tan
A?B
2
,tan
A?B
?0
,或
tan
A?B
?1

tan?
A?B
2
22
tan
2
?
所以
A?B

A?B?
2

2cos

填空题
b
2
?c
2
?a
2
1
A ???A,?1
0
2

0
1.
120

cos
2bc2
0
2.
6?2

A?15
0
,
abbsinA6?2

?,a??4sin A?4sin15
0
?4?
sinAsinBsinB4
0
3.
120

a

b

c?
sinA
sinB

sinC?
7

8

1 3

a
2
?b
2
?c
2
1
?? ,C?120
0

a?7k,b?8k,c?13k

cosC?
2ab2
4.
239
113

S?ABC
?bcsinA?c??
3
222
3c,?a4
2,?a1?3,

13



a?b?ca13239

???
sinA?sinB?sinCsinA3
3
2
5.锐角三角形
C
为最大角,
cosC?0,C
为锐角
8?43
?3
b?c?a3?11
0
4
???
6.
60

cosA?
222
2?
2bc
22 ?
6?22?2?(3?1)
2




四、解答证明题

1.解:
S
?ABC
?
1< br>2
bcsinA?3,bc?4,


a
2
?b
2
?c
2
?2bcosA,b?c?
,而
5
c?b

所以
b?1,c?4


2.证明:要证
a
b?c
?
b
a?c
?1
,只要证
a
2
?ac?b
2
?bc
ab?bc?ac?c
2
?1


a
2
?b
2
?c
2
?ab

而∵
A?B?120
0
,

C?60
0

cosC?
a
2
?b
2
?c
2
2ab,a
2
?b
2
?c
2
?2abcos60
0< br>?ab

∴原式成立。

3.证明:∵
acos
2
C
2
?ccos
2
A
2
?
3b
2


sinA?
1?cosC
2
? sinC?
1?cosA
2
?
3sinB
2



sinA?sinAcosC?sinC?sinCcosA?3sinB



sinA?sinC?sin(A?C)?3sinB


sinA?sinC?2sinB
,∴
a?c?2b

2


a
2
?c
2
?b
2
b
2< br>?c
2
?a
2
4.证明:将
cosB?

cosA?
代入右边
2ac2bc< br>a
2
?c
2
?b
2
b
2
?c
2
?a
2
2a
2
?2b
2
?)?
得右边
?c(

2abc2abc2ab
a
2
?b
2
ab
????
左边,
abba



abcosBcosA
??c(?)

baba

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