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高中文科数学解三角形部分整理
一 正弦定理
(一)知识与工具:
abc
???2R
。
正弦定理:在△ABC中,
sinAsinBsinC
变形:
a:b:c?sinA:sinB:sinC
.
在这个式子当中,已知两边和一角或已知两角和一边,可以求出其它所有的边和角。
注明:正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化,在变形中,注意三角形中其他条件
的应用:
(1)三内角和为180° 两边之和大于第三边,两边之差小于第三边
(2)三角函数的恒等变形
sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC
,sin
(3)面积公式:S=
A?BCC
A?B
=cos,cos=sin
2
22
2
1abc
absinC==2R
2
sin
AsinBsinC
24R
(二)题型
使用正弦定理解三角形共有三种题型
题型1 利用正弦定理公式原型解三角形
例一、
在△ABC中,若
C?90
0
,a?6,B?30
0
,则
c
?b
等于( )
A.
1
B.
?1
C.
23
D.
?23
【解析】C.
b
?tan30
0
,b?atan30
0
?23,c?2b?44,c?b?23
a
题型2
利用正弦定理公式变形边角互化解三角形:关于边或角的齐次式可以直接边角互化。
例二、在△
ABC
中,若
b?2asinB
,则
A
等于(
)
00000000
A.
30或60
B.
45或60
C.
120或60
D.
30或150
0
0
【解析】D.
b?2
asinB,sinB?2sinAsinB,sinA?,A?30
或
150
1
2
题型3 三角形解的个数的讨论
方法一:画图看
方法二:通过正弦定理解三角形,利用三角形内角和与三边的不等关系检验解
出的结果
是否符合实际意义,从而确定解的个数。
例三、等腰三角形一腰上的高是
3
,这条高与底边的夹角为
60
,则底边长为(D )
A.
2
B.
0
3
C.
3
D.
23
2
二 余弦定理
(一)知识与工具:
b
2
?c
2
?a
2
a=b+c﹣2bccosA
cosA=
2bc
222
a
2
?c
2
?b
2
b=a+c﹣2accosB cosB=
2ac
222
a
2
?b
2
?c
2
c=a+b﹣2abcosC cosC=
2ab
222
注明:余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化,当题中含有二次项时
,常使用余弦
定理。在变形中,注意三角形中其他条件的应用:
(1)三内角和为180°;
(2)两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。
abc
1
(3)面积公
式:S=absinC==2R
2
sinAsinBsinC
4R
2
(4)三角函数的恒等变形。
(二)题型使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型
题型1
利用余弦定理公式的原型解三角形
例一、在△ABC中,若
a?b?bc?c,则A?
_________。
222<
br>b
2
?c
2
?a
2
1
cosA???A,?
1
0
2
0
120
【解析】
2bc2
0
题型2 利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角
形:凡在同一式子中既有角又有边的
题,要将所有角转化成边或所有边转化成角,在转化过程中需要构造
公式形式。
题型3 判断三角形的形状
结论:根据余弦定理,当a
2<
br>+b
2
<c
2
、b
2
+c
2
<a<
br>2
、c
2
+a
2
<b
2
中有一个关系式成立
时,该
三角形为钝角三角形,而当a
2
+b
2
>c
2
、b
2
+c
2
>a
2
,c
2
+a
2
>b
2
中有一种关系式成立时,并不
能得出该三角形为锐角三角形的结论
。
判断三角形形状的方法:
(1)将已知式所有的边和角转化为
边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,
从而判断三角形的形状。
例
一、在△ABC中,若
acosA?bcosB?ccosC,
则△ABC的形状是什么?
解:
acosA?bcosB?ccosC,sinAcosA?sinBcosB?
sinCcosC
sin2A?sin2B?sin2C,2sin(A?B)cos(A?
B)?2sinCcosC
cos(A?B)??cos(A?B),2cosAcosB?0
cosA?0<
br>或
cosB?0
,得
A?
所以△ABC是直角三角形。
(2)应用题
求
距
离
两点间不可通又
不可视
?
2
或
B?
?
2
两点间可视但不
可达
两点都不可达
底部可达
求
高
度
底部不可达
题型1
计算高度 题型2 计算距离
题型3 计算角度
题型4 测量方案的设计
实际应用题型的本质就是解三角形,无论是什么样的现象,都要首先画出三角
形的模型,
再通过正弦定理和余弦定理进行求解。
例一、
(三)其他常见结论
1三角形内切圆的半径:
r?
2S
?
,
a?b?c
特别地,
r
直
?
a?b?c
斜
2
2三角学中的射影定理:
在△ABC
中,
b?a?cosC?c?cosA
,…
3两内角与其正弦值:
在△ABC 中,
A?B?sinA?sinB
,…
例一、在△ABC中,若
a?7,b?3,c?8
,则其面积等于(
)
A.
12
B.
21
2
C.
28
D.
63
【解析】D
cosA?<
br>1
0
1
2
,A?60,S
?
ABC
?
2
bcsinA?63
基础练习
一、选择题
1.若
A
为△ABC的内角,则下列函数中一定取正值的是( )
A.
sinA
B.
cosA
C.
tanA
D.
1
tanA
2.在△ABC中,角均为锐角,且
cosA?sinB,
则△ABC的形状是(
)
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
3.边长为
5,7,8
的三角形的最大角与最小角的和是( )
A.
90
0
B.
120
0
C.
135
0
D.
150
0
4.在△ABC中,
A:B:C?1:2:3
,则
a:b:c
等于(
)
A.
1:2:3
B.
3:2:1
C.
1:3:2
D.
2:3:1
5.在△ABC中,若
A?2B
,则
a
等于( )
A.
2bsinA
B.
2bcosA
C.
2bsinB
D.
2bcosB
6.在△ABC中,若
lgsinA?lgcosB?lgsinC?lg2
,则△ABC的
形状是(
A.直角三角形 B.等边三角形 C.不能确定
D.等腰三角形
7.在△ABC中,若
(a?b?c)(b?c?a)?3bc,<
br>则
A?
( )
)
A.
90
0
B.
60
0
C.
135
0
D.
150
0
8.在△ABC中,若
tan
A?Ba?
b
?
,则△ABC的形状是( )
2a?b
A.直角三角形
B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
二、填空题
1.在△ABC中,若
a
2
?b
2
?
bc?c
2
,则A?
_________。
2.在△ABC中,若
b?2,B?30
0
,C?135
0
,则a?
_________。
3.在△ABC中,若
sinA
∶
sinB
∶
sinC?<
br>7
∶
8
∶
13
,则
C?
_________
____。
4.若在△ABC中,
?A?60,b?1,S
?ABC
?3,
则
0
a?b?c
=_______。
sinA?sinB?sin
C
5.在△ABC中,若
a?9,b?10,c?12,
则△ABC的形状是____
_____。
6.在△ABC中,若
a?
三、解答证明题
3,b?2,c?
6?2
则A?
_________。
2
1. 在△ABC中,
A?120,c?b,a?21,S
?
AB
C
?3
,求
b,c
。
2.
在△ABC中,若
A?B?120
,则求证:
3.
在△ABC中,若
acos
4.在△ABC中,求证:
【答案】
选择题
1.A
0?A?
?
,sinA?0
2.C
cosA?sin(
2
0
0
ab
??1
。
b?ca?c
CA3b
?ccos
2
?
,则求证:
a?c
?2b
222
abcosBcosA
??c(?)
ba
ba
?
2
?A)?sinB,
?
2
?A,B
都是锐
角,则
?
2
?A?B,A?B?
?
2
,C?
?2
5
2
?8
2
?7
2
1
?,
?
?60
0
,180
0
?60
0
?120
0
为所求 3.B
设中间角为
?
,则
cos
?
?
2?5?82
4.C
A?
?
6
,B?
?
3
,C?
?
2
,a:b:c?sinA:sinB:sinC?
132
::?1:3:2
222
5.D
sinA?sin2B?2sinBcosB,a?2bcosB
6.D
lg
sinAsinA
?lg2,?2,sinA?2cosBsinC
<
br>cosBsinCcosBsinC
sin(B?C)?2cosBsinC,sinBcosC
?cosBsinC?0,
sin(B?C)?0,B?C
,等腰三角形
7.B
(a?b?c)(b?c?a)?3bc,(b?c)
2
?a2
?3bc,
b
2
?c
2
?a
2<
br>1
s??A,?
b?c?a?3bc,coA
2bc2
2220
6
0A?BA?B
sin
A?Ba?bsinA?sinB
22
, 8.D
tan???
2a?bsinA?sinB
2sin
A?B
cos<
br>A?B
22
A?B
tan
A?B
2
,tan
A?B
?0
,或
tan
A?B
?1
tan?
A?B
2
22
tan
2
?
所以
A?B
或
A?B?
2
2cos
填空题
b
2
?c
2
?a
2
1
A
???A,?1
0
2
0
1.
120
cos
2bc2
0
2.
6?2
A?15
0
,
abbsinA6?2
?,a??4sin
A?4sin15
0
?4?
sinAsinBsinB4
0
3.
120
a
∶
b
∶
c?
sinA∶
sinB
∶
sinC?
7
∶
8
∶
1
3
,
a
2
?b
2
?c
2
1
??
,C?120
0
令
a?7k,b?8k,c?13k
cosC?
2ab2
4.
239
113
S?ABC
?bcsinA?c??
3
222
3c,?a4
2,?a1?3,
13
a?b?ca13239
???
sinA?sinB?sinCsinA3
3
2
5.锐角三角形
C
为最大角,
cosC?0,C
为锐角
8?43
?3
b?c?a3?11
0
4
???
6.
60
cosA?
222
2?
2bc
22
?
6?22?2?(3?1)
2
四、解答证明题
1.解:
S
?ABC
?
1<
br>2
bcsinA?3,bc?4,
a
2
?b
2
?c
2
?2bcosA,b?c?
,而
5
c?b
所以
b?1,c?4
2.证明:要证
a
b?c
?
b
a?c
?1
,只要证
a
2
?ac?b
2
?bc
ab?bc?ac?c
2
?1
,
即
a
2
?b
2
?c
2
?ab
而∵
A?B?120
0
,
∴
C?60
0
cosC?
a
2
?b
2
?c
2
2ab,a
2
?b
2
?c
2
?2abcos60
0<
br>?ab
∴原式成立。
3.证明:∵
acos
2
C
2
?ccos
2
A
2
?
3b
2
∴
sinA?
1?cosC
2
?
sinC?
1?cosA
2
?
3sinB
2
即
sinA?sinAcosC?sinC?sinCcosA?3sinB
∴
sinA?sinC?sin(A?C)?3sinB
即
sinA?sinC?2sinB
,∴
a?c?2b
2
a
2
?c
2
?b
2
b
2<
br>?c
2
?a
2
4.证明:将
cosB?
,
cosA?
代入右边
2ac2bc<
br>a
2
?c
2
?b
2
b
2
?c
2
?a
2
2a
2
?2b
2
?)?
得右边
?c(
2abc2abc2ab
a
2
?b
2
ab
????
左边,
abba
∴
abcosBcosA
??c(?)
baba
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