高中数学-解三角形单元测试

高中数学-解三角形单元测试
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．在△ABC中，一定成立的是
（ ）
＝bsinB
＝bsinA








＝bcosB
＝bcosA
2．在△ABC中，cos(A－B)＋sin(A＋B)＝2，则△ABC的形状是
（ ）
A.等边三角形









B.等腰钝角三角形
D.锐角三角形 C.等腰直角三角形
3．在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是
（ ）
A.b＝20，A＝45°，C＝80°
C.a＝30，c＝28，B＝60°
4．在△ABC
（ ）
A.30°
D.90°
B.45° C.60°



＝




B.a＝14，b＝16，A＝45°
D.a＝12，c＝15，A＝120°
，则∠A
tanA
中，
tanB

2 c－b
b
等于
→
|＝4，|AC
→
|＝1，S
→
·AC
→
等于 5．在△ABC中，已知|AB3 ，则AB
△
ABC
＝
（ ）
A.－2 B.2 C.±2 D.±4
6．在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＞0，则△ABC
1 7
是

（ ）
A.锐角三角形
C.直角三角形












B.钝角三角形
D.任意三角形
→
·AC
→
>0，BA
→
·BC
→
>0， CA
→
·CB
→
>0中能够成立的个7．在△ABC中，下列三式：AB数为（ ）
A.至多1个
C.至多2个












B.有且仅有1个
D.至少2个
8．在△ABC中，若(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，那么△AB C是
（ ）
A.直角三角形
C.等腰三角形












B.等边三角形
D.等腰直角三角形
9．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为
（ ）
A.锐角三角形
C.钝角三角形












B.直角三角形
D.由增加的长度决定
10．已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是
（ ）
π
A. 0＜C≤
6

ππ
C.
6
＜C＜
2













π
B. 0＜C＜
2

ππ
D.
6
＜C≤
3

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．在△ABC中，sinA∶s inB∶sinC＝2∶3∶4，则∠ABC的余弦值为___________.
2 7

12．在△ABC中，若
abc
＝ ＝
ABC
，则△ABC的形状是_____________.
cos
2
cos
2
cos
2

13． 在△ABC中，A、B、C相对应的边分别是a、b、c，则acosB＋bcosA＝______.
14．在△ABC中，tanB＝1，tanC＝2，b＝100，求a＝__________.
15．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若(a＋b－c)·(sinA＋s inB
－sinC)＝3asinB，则C＝________.
16．在不等边△ABC中，a为最大边，如果a
2
＜b
2
＋c2
，则A的范围是_____________.
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤） 17．（本小题满分12分）a、b、c为△ABC的三边，其面积S
△
ABC
＝ 123 ，bc＝
48，b－c＝2，求a.
18．(本小题满分14分)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若
3 ＋1
a
a
2
＋c
2
＝b
2
＋ac且
c
＝
2
，求角C的大小.
19．(本小题满分14分)在△ABC中，已知
tanA－tanBc－b
＝
c
，求∠A.
tanA＋tanB
20．（本小题满分15分）如图， 有长100米的斜坡AB，它的倾斜角是40°,现在
要把斜坡的倾斜角改为25°，求伸长的坡底的长 .（sin15°＝0.2588，sin25°
＝0.4226）





3 7

21．（本小题满分 15分）如图，有两条相交成60°角的直线xx′，yy′，交点是
O，甲、乙分别在Ox，Oy上， 起初甲离O点3 km，乙离O点1 km，后来两
人同时用每小时4 km的速度，甲沿xx′方向，乙沿y′y方向步行，问：
（1）起初两人的距离是多少？
（2）用包含t的式子表示t小时后两人的
（3）什么时候两人的距离最短？










解三角形单元复习题答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．C 2．C 3．B 4．B 5．C 6．A 7．D 8．B 9．A 10．A
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
ππ
11
11． 12．等边三角形 13．c 14．605 15．60° 16． ＜A＜
1632

4 7
距离；

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤） 17．（本小题满分12分）a、b、c为△ABC的三边，其面积S
△
ABC
＝ 123 ，bc＝
48，b－c＝2，求a.
213 或237
18．(本小题满分14分)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若
3 ＋1
a
a
2
＋c
2
＝b
2
＋ac且
c
＝
2
，求角C的大小.
222
a＋c－b
ac1
【解】 由a
2
＋c
2
＝b
2
＋ac得：cosB＝ ＝ ＝
2ac2ac2
，所以，B＝60°
3 ＋1
a
又∵
c
＝
2

3 1
cosC＋
22
sinA
sin（B＋C）3 ＋1
sinA3 1
∴
sinC
＝ ＝ ＝ cotC＋ ＝
sinCsinC222

∴cotC＝1，C＝45°.
19．(本小题满分14分)在△ABC中，已知
【解】 已知等式可化为：
sinAsinB
cosA
－
cosB

c－bsinAcosB－cosAsinBsinC－sinB
＝
sinC

sinAsinB
＝
c
，即
sin（A＋B）
cosA
＋
cosB

∴sinAcosB－cosAsinB＝sinC－sinB
∴sinAcosB－cosAsinB＝sin(A＋B)－sinB
1
2cosAsinB－sinB＝0，∵sinB≠0 ∴cosA＝
2
∴∠A＝60°
20．（本小题满分15分）如图，有长100米的斜坡AB，它的倾斜角是40°, 现在
要把斜坡的倾斜角改为25°，求伸长的坡底的长.（sin15°＝0.2588，sin25°
tanA－tanBc－b
＝
c
，求∠A.
tanA＋tanB
5 7

＝0.4226）
【解】 在△ABD中，∠BAD＝40°－25°＝15°
∵
BDAB
＝
sin∠BADsin∠D
AB sin∠BAD100×sin15
0
100×0.2588
∴BD＝ ＝
sin25
0
＝
0.4226
≈61.7(米)
sin∠D
∴伸长的坡底长约为61.7米.
21．（本小题满分15分）如图，有 两条相交成60°角的直线xx′，yy′，交点是
O，甲、乙分别在Ox，Oy上，起初甲离O点3 km，乙离O点1 km，后来两
人同时用每小时4 km的速度，甲沿xx′方向，乙沿y′y方向步行，问：
（1）起初两人的距离是多少？
（2）用包含t的式子表示t小时后两人的
（3）什么时候两人的距离最短？
【解】 （1）如图，设甲、乙两人最初的位置是A、B，
1
则AB
2
＝OA
2
＋OB
2
－2OA·OBcos60°＝3
2
＋1
2< br>－2×3×1×
2
＝7
∴AB＝7 cm
（2）设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，
则AP＝4t，BQ＝4t
3
(Ⅰ)当0≤t≤
4
时，
PQ＝（3－4t）
2＋（1＋4t）
2
－2（3－4t）（1＋4t）cos60
0

＝48t
2
－24t＋7
3
(Ⅱ)当t＞
4
时，
PQ＝（4t－3）
2
＋（1＋4t）
2
－2（4t－3）（ 1＋4t）cos120
0
＝
距离；
48t
2
－24t＋7
6 7

综上（Ⅰ）、（Ⅱ）可知PQ＝＝48t
2
－24t＋7
11
（3）∵PQ
2
＝48(t－
4
)
2
＋4 ∴当t＝
4
时，（PQ）
min
＝2
即在第15分钟末，PQ最短，最短距离为2 km.





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