高中数学必修解三角形全章教案

课题: §1．1．1正弦定理

如图1．1-1，固定
?
A BC的边CB及
?
B，使边AC绕着顶点C转动。

思考：
?
C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，

角与边的等式关系。

从而在直角三角形ABC中，
a
?
b
sin
A
sin
B
?
c
sin
C

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如图1．1-3，当
?
ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角
函数的定义，有CD=
asin
B
?
b
sin
A
,则
a
?b
sin
A
sin
B
， C

同理可得
c
sin
C
?
b
sinB
?
， b a

A c B

从而
a
?
b
sin
Ac
sin
C
sin
B
从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例 系数为同一正

数，即存在正数k使
a
?
k
sinA
，
b
?
k
sin
B
，
c
?
k
sin
C
；

（2）
a
a
c< br>A
?
b
sinsin
B
?
c
sin
C
等价于
a
sin
A
?
b
sin
B
，
c
sin
C
?
b
sin
B
，
sin
A
?
sin
C

从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如
a
?
b
sin
A
sin
B
；
< br>②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，
sin
A
?
a
b
sin
B
。

一般地，已知三角形的某些边和 角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
例1．在
?ABC
中，已知
A?4 5
0
，
B?75
0
，
a?40
cm，解三角形。< br>
例2．在
?ABC
中，已知
a?20
cm，
b?2 02
cm，
A?45
0
，解三角形。

练习：已知
?
ABC中，
sin
A
:sin
B
:sin
C
?1:2:3
，求
a
:
b
:
c
练习：1.在
?ABC
中，已知
A?45
0
，
C?30
0
，
c?10
cm，解三角形。

2.在?ABC
中，已知
A?60
0
，
B?45
0
，
c?20
cm，解三角形。

3.在
?ABC
中，已知
a?20
cm，
b?102
cm，
B?30
0，解三角形。

4.在
?ABC
中，已知
c?10 2
cm，
b?20
cm，
B?45
0
，解三角形。

补充：请试着推理出三角形面积公式（利用正弦）

课题: §1.1.2余弦定理

如

如图1．1-4，在
?
ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b和
?
C，求边c

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？

用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A

uurruurruurrrrr
rr
如图1．1-5，设
CB
?
a
，
CA
?
b
，
AB
?
c
，那么
c
?
a
?
b
，则
b

c

rrrrrr
c
?
c
?
c
?
a
?
ba
?
b
rrrr rr
r
?
ab
?
b
?
r
2
a
r
?
b
C
a
B

r
?
2
a
?
r
2
?< br>a
?
b
?2
a
?
b
2
r
? ???
从而
c
2
?
a
2?
b
2
?2
ab
cos
C
(图1．1-5)

同理可证
a
2
?
b< br>2
?
c
2
?2
bc
cos
A

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去 这两边与它
们的夹角的余弦的积的两倍。即
a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bc
cos
A

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，
能否由三边求出一角？

从余弦定理，又可得到以下推论：

[理解定理]

从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了
一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

若
?
ABC中，C=
90
0
，则
cos C?0
，这时
c
2
?a
2
?b
2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

例1．在
?
ABC中，已知
a?23
，
c?6
，
B?45
0
，求b及A

练习：在
?
ABC中，若
a
2?
b
2
?
c
2
?
bc
，求角A。
例1．在
?
ABC中，已知
a
,
b
,
A
，讨论三角形解的情况

分析：先由
sin
B
?
b
sin
A
可进一步求出B；

a
则
C
?180
0
?(
A
?
B
)

从而
c
?
a
sin
C

A
1．当 A为钝角或直角时，必须
a
?
b
才能有且只有一解；否则无解。

2．当A为锐角时，

如果
a
≥
b
，那么只有一解；

如 果
a
?
b
，那么可以分下面三种情况来讨论：

（1）若
a
?
b
sin
A
，则有两解；

（2）若
a
?
b
sin
A
，则只有一解；

（3）若
a
?
b
sin
A
，则无解。

（以上解答过程详见课本第9
:
10页）

评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为
锐角且
< br>b
sin
A
?
a
?
b
时，有两解；其它情况 时则只有一解或无解。

练习：（1）在
?
ABC中，已知
a
?80
，
b
?100
，
?
A
?45
0< br>，试判断此三角形的解的情况。

（2）在
?
ABC中，若
a
?1
，
c
?
1
，
?
C
?400
，则符合题意的b的值有_____个。

2
（3）在
?ABC中，
a
?
xcm
，
b
?2
cm
，
?
B
?45
0
，如果利用正弦定理解三角形有两解，
求x 的取值范围。

例2．在
?
ABC中，已知
a
?7
，
b
?5
，
c
?3
，判断
?
ABC的类型 。

练习：（1）在
?
ABC中，已知
sin
A
: sin
B
:sin
C
?1:2:3
，判断
?
ABC 的类型。

（2）已知
?
ABC满足条件
a
cos
A
?
b
cos
B
，判断
?
ABC的类型。

例3．在
?
ABC中，
A
?60
0
，< br>b
?1
，面积为
3
，求
2
a
?
b< br>?
c
的值

sin
A
?sin
B
? sin
C

练习：（1）在
?
ABC中，若
a
?55
，
b
?16
，且此三角形的面积
S
?2203
，求角C

（2）在
?
ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面 积
S
?
作业

（1）在
?
ABC中，已知
b
?4
，
c
?10
，
B
?30
0
，试判断此三角形的解的情况。

（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。

（3） 在
?
ABC中，
A
?60
0
，
a
?1，
b
?
c
?2
，判断
?
ABC的形状。

（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程
5
x2
?7
x
?6?0
的根，
求这个三角形的面积。

§2.2解三角形应用举例

(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两 点之间的距离，测量者在
A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，
?
BAC=
51?
，
?
ACB=
75?
。
求 A、B两点的距离(精确到0.1m)

变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北
偏东3 0
?
，灯塔B在观察站C南偏东60
?
，则A、B之间的距离为多少？

例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建
筑物高 度AB的方法。

例4、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角
?
=54
?
40
?
，在塔底C处测
a
2
?
b
2
?
c
2
4
，求角C

得 A处的俯角
?
=50
?
1
?
。已知铁塔BC部分的高为27 .3 m,求出山高CD(精确到1 m)

例3、在
?
ABC中，求证：

a
2
?b
2
sin
2
A?sin
2
B
（1）
?;

22
csinC
（2）
a
2
+
b
2
+
c
2
=2（bccosA+cacosB+abcosC）

变 式练习1：已知在
?
ABC中，
?
B=30
?
,b=6,c =6
3
,求a及
?
ABC的面积S

变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状，

（1） acosA = bcosB

（2） sinC =
sinA?sinB

cosA?cosB
附加例题：

例1．在
?ABC
中，已 知
B?45
?
，
C?60
?
，
c?1
。试 求最长边的长度。

例2．在
?ABC
中，已知
a:b:c?3:7 :2
，试判断此角形的形状并求出最大角与最小角
的和。

解三角形归纳提高

一、 知识点梳理：

1、正弦定理：在△ABC中，
abc
???2R

sinAsinBsinC
注：①R表示△ABC外接圆的半径 ②正弦定理可以变形成各种形式来使用

2、余弦定理：在△ABC中，

也可以写成第二种形式：

b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
cosA?
，
cosB?
，
cosC?

2bc2ac2ab
3、△ABC的面积公式，
S?absinC?bcsinA?acsinB

1
2
1
2
1
2
二、题组训练：

1、在△ABC中， a=12，A=
60
0
，要使三角形有两解，则对应b的取值范围为

2、判定下列三角形的形状

在△ABC中，已知
a?3,b?4,c?38
，请判断△ABC的形状。

在△ABC中，已知
sin
2
A?sin
2
B?sin2
C
，请判断△ABC的形状。

在△ABC中，已知
cosA ?,a
2
?bc
，请判断△ABC的形状。

在△ABC中，已知< br>b
2
sin
2
C?c
2
sin
2
B ?2bccosBcosC
，请判断△ABC的形状。

在△ABC中，
(s inA?sinB?sinC)(sinB?sinC?sinA)?3sinBsinC,
请判断△A BC的形
状。

3、在△ABC中，已知
a?5,b?4,A?30
0
，求△ABC的面积。

4、在△ABC中，若△ABC的面积为S，且
2 S?(a?b)
2
?c
2
，求tanC的值。

1
2

5、在△ABC中，已知
b
2
?bc?2c
2?0,a?6,cosA?
7
，求△ABC的面积。

8
6、在 △ABC中，已知
ab?603,sinB?sinC,
△ABC的面积为
153，求边b的长。

7、在△ABC中，求证：
cos2Acos2B11

???
2222
abab
?
．

2、在
△ ABC
中，内角
A，B，C
对边的边长分别是
a，b，c
，已知c?2
，
C?
（Ⅰ）若
△ABC
的面积等于
3
，求
a，b
；

（Ⅱ）若
sinC?sin(B?A)?2sin2 A
，求
△ABC
的面积．

3、设
△ABC
的内角
A，B，C
所对的边长分别为
a，b，c
，且
acosB?3
，
（Ⅰ）求边长
a
；

（Ⅱ）若
△ABC
的面积
S?10
，求
△ABC
的周长
l
．

2、 在
△ABC
中，
cosB??
5
13
，
cosC?
4
5
．

（Ⅰ）求
sinA
的值；（Ⅱ）设△ABC
的面积
S
33
△ABC
?
2
，求BC
的长．
3
bsinA?4
．