高一数学解三角形知识点总结及习题练习

解三角形
一、基础知识梳理
ac
b
1正弦定理：== = 2R（R为△ABC外接圆半径），了解正弦定理以
sinA
sinB
sinC
下变形：
a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC
sinA?
a bc
2R
,sinB?
2R
,sinC?
2R

a :b:c?sinA:sinB:sinC
a
sinA
?
bca?b?csinB
?
sinC
?
sinA?sinB?sinC
最常用三 角形面积公式：
S
?ABC
?
1
ah
111
a?absinC?acsinB?
2
bcsinA

222
2正弦定理可解决两类问题：1．两角和任意一边，求其它两边和一角； （唯一解）
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（解可能不唯一）
了解：已 知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:
222
3．余弦定理 ：
a2
?b
2
?c
2
?2bccosA
?
cosA ?
b?c?a
2bc

222
b
2
?c
2
?a
2
?2accosB
?
cosB?
c?a?b
2ca

222
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
?
cosC?
a?b?c
2ab

4．余弦定理可以解决的问题：
（1）已知三边，求三个角；（解唯一）
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角（解唯一）：
（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角（解
可能不唯一）

2[课前热身]
1．(教材习题改编)已知△ABC中，a＝2，b＝3，B＝60°，那么角A等于( )
A．135° B．90°
C．45° D．30°
2．在△ABC中，
a?b?c?bc
，则A等于( )
A．60° B．45° C．120° D．30°
3．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积是( )
33153153153
A.
4
B.
2
C.
4
D.
8

4．(2010年高考广东卷)已知a，b，c 分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，
b＝3，A＋C＝2B，则sinA＝__ ______.
5．在△ABC中，如果A＝60°，c＝2，a＝6，则△ABC的形状是________．
3[考点突破]
222
考点一 正弦定理的应用
利用正弦定理可 解决以下两类三角形：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是
已知两边和一边的对角，求其他边 角．
例1、(1)(2010年高考山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c .若a
＝2，b＝2，sin B＋cos B＝2，则角A的大小为________．
(2)满足A＝45°，a＝2，c＝6的△ABC的个数为________．
考点二 余弦定理的应用
利用余弦定理可解两类三角形：一是已知两边和它们的夹角，求其他边角；二是已知三
边求其他边角．由于这两种情况下的三角形是惟一确定的，所以其解也是惟一的．
π
例2、在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.
3
(1)若△ABC的面积等于3，求a，b的值；
(2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面积．
考点三 三角形形状的判定
判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等
腰三角形、直角三 角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等
腰三角形或直角三角形”的区别 ．
例3、(2010年高考辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且
2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
互动探究
1 若本例条件变为：sinC＝2sin(B＋C)cosB，试判断三角形的形状．．
方法感悟:
方法技巧
解三角形常见题型及求解方法
abc
(1)已知两角A、B与一 边a，由A＋B＋C＝180°及＝＝，可求出角C，再求出b，
sinAsinBsinC
c .
(2)已知两边b，c与其夹角A，由a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccosA, 求出a，再由正弦定理，求出角B，
C.
(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.

ab
(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理
sinA
＝
sinB
求出另一边b的对角B，由C
acab
＝π－(A＋B)，求出C，再由
sinA＝
sinC
，求出c，而通过
sinA
＝
sinB
求B 时，可能出现一解，
两解或无解的情况，其判断方法如下表：

失误防范
1．用正弦定理解三角形时，要注意解题的完整性，谨防丢解．
2．要熟记一些常见结论，如 三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成
等差数列，则三边也成等差数列；三角形 的内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sinA＝
B＋C
A
sin(B＋C)，c osA＝－cos(B＋C)，sin＝cos，sin2A＝－sin2(B＋C)，cos2A＝cos2( B＋C)
22
等．
3．对三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”．
五、规范解答
(本题满分12分)(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)在△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝53
33，sinB＝
13
，cos∠ADC＝
5
，求AD的长 ．
3
π
【解】 由cos∠ADC＝>0知∠B<，
52
124
由已知得cosB＝，sin∠ADC＝，4分
135
从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)
＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB
4123533
＝
×
－
×
＝.9分
51351365
ADBD
由正弦定理得＝，
sinBsin∠BAD5
33×
13
BD·sinB
所以AD＝＝
33
＝25 .12分
sin∠BAD
65
【名师点评】 本题主要考查正弦定理、三角恒等变换 在解三角形中的应用，同时，对逻辑
推理能力及运算求解能力进行了考查．本题从所处位置及解答过程来 看，难度在中档以下，
只要能分析清各量的关系，此题一般不失分．出错的原因主要是计算问题．
名师预测
1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝( )
2222
A．－ B.
33
6
C．－
3

6
D.
3

a
2
＋b
2< br>－c
2
2．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且S
△< br>ABC
＝，那么角C＝________.
4
3．在△ABC中，角A、B、 C的对边分别为a、b、c，且满足(2b－c)·cosA－acosC＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝3，S
33
△
ABC
＝
4
，试判断△ABC的形状，并说明理由．
解：(1)法一：∵(2b－c)cosA－acosC＝0，
由正弦定理得，
(2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0，
∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，
即sinB(2cosA－1)＝0.
∵0∴sinB≠0，∴cosA＝
1
2
.
∵0π
3
.
法二：∵(2b－c)cosA－acosC＝0，
由余弦定理得，
(2b－c) ·
b
2
＋c
2
－a
2
a
2
＋b< br>2
－c
2
2bc
－a·
2ab
＝0，
整理得b
2
＋c
2
－a
2
＝bc，
b< br>2
＋c
2
－a
2
∴cosA＝
1
2bc＝
2
.
∵0π
3
.
(2 )∵S
△ABC
＝
1
2
bcsinA＝
33
4，
即bcsin
π
3
＝
33
2
，
∴bc＝3，①
∵a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccosA，
∴b
2
＋c
2
＝6，②
由①②得b＝c＝3，
∴△ABC为等边三角形．
课后作业
1 在△ABC中，角
A,B
均为锐角，且
cosA?sinB,
则△ABC的形状是（
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
2 边长为
5,7,8
的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A.
90
0
B.
120
0
C.
135
0
D.
150
0

3 在
Rt
△ABC中，
C?90
0
，则
sinAsinB
的最大值是_______________.
）

4 在△ABC中，若
a?b?bc?c,则A?
_________.
5 已知△ ABC的三个内角分别为A，B，C，向量
m?(sinB,1?cosB)与向量n?(2,0) 夹
角的余弦角为
.

（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求
sinA?sinC
的取值范围.
6 △ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.
222
1
2
1
bc
，求cosA的值；
2
?
2
?
2
B?C
（Ⅱ）若A∈[，]，求
sin?cos 2A
的取值范围.
23
2
abcosBcosA
7 在△ABC中，求证：
??c(?)
baba

8 在锐角△ABC中，求证：
sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC
.
（Ⅰ）若
b?c?a?
222