高中数学教材做了哪些改动-上海初高中数学 试卷及答案
高中数学必修5解三角形面积相关精选题目(附答案)
三角形的面积公式
1
(1)S=a·h
a
(h
a
表示a边上的高).
2
111
(2)S=absin C=bcsin A=acsin B.
222
题型一:三角形面积的计算
3
1.(2017·北京高考)在△ABC中,∠A=60°,c=a.
7
(1)求sin C的值;
(2)若a=7,求△ABC的面积.
2.
△ABC中,若a,b,c的对角分别为A,B,C,且2A=B+C,a=3,△ABC的面
积S△
ABC
=
3
,求边b的长和B的大小.
2
题型二:与三角形有关的综合问题
(一):与三角形面积有关的综合问题
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cos
Bcos C.
(1)求cos A;
(2)若a=3,△ABC的面积为22,求b,c.
(二):三角形中的最值问题
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积,满足S
=3
2
(a
+b
2
-c
2
).
4
(1)求角C的大小;
(2)求sin A+sin B的最大值.
巩固练习:
1.在△ABC中,A=60°,AB=1,AC=2,则S
△
ABC
的值为( )
1
A.
2
C.3
B.
3
2
D.23
2.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,则它的顶角的余弦值为( )
7
A.-
8
8
C.-
7
7
B.
8
8
D.
7
p>
1
3.在△ABC中,已知面积S=(a
2
+b
2
-c
2
),则角C的大小为( )
4
A.135°
C.60°
B.45°
D.120°
1
4.在△ABC中,a=32,b=23,cos
C=
,则△ABC的面积为________.
3
5.如图,在△ABC中,已知B
=45°,D是BC边上一点,AD=5,
AC=7,DC=3,则AB=________.
1
6.△ABC的两边长分别为2,3,其夹角的余弦值为
,则其外接圆
3
的半径为________.
7.△ABC的周长为20,面积为103,A=60°,则BC的边长等于( )
A.5
B.6 C.7 D.8
8.在△ABC中,若b=2,A=120°,其面积S=3,则△ABC外接圆的半径为( )
A.3 B.2 C.23 D.4
3
9.在△ABC中,sin
A=
,a=10,则边长c的取值范围是( )
4
15
?
A.<
br>?
?
2
,+∞
?
C.(0,10)
B.(10,+∞)
40
0,
?
D.
?
3
??
10.(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b
,c,已知sin(A+C)=
B
8sin
2
.
2
(1)求cos B;
(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.
π
11.如图,在△ABC中,已知B=
,AC=43,D为BC边上一点.
3
(1)若AD=2,S
△
DAC
=23,求DC的长;
(2)若AB=AD,试求△ADC的周长的最大值.
参考答案:
3
1.[解] (1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,
7
csin A3333
所以由正弦定理得sin C==×=
.
a7214
3
(2)因为a=7,所以c=
×7=3.
7
由余弦定理a
2
=b
2
+c
2
-2
bccos A,
1
得7
2
=b
2
+3
2
-2b×3×,
2
解得b=8或b=-5(舍去).
所以△ABC的面积
113
S=bcsin A=
×8×3×=63.
222
2.解:∵A+B+C=180°,又2A=B+C,∴A=60°.
133
∵S
△
ABC
=
bcsin A=
,sin
A=,
222
∴bc=2.①
1
又由余弦定理得3=b
2
+c
2
-2bccos
A=b
2
+c
2
-2×2×,
2
即b
2
+c
2
=5.②
解①②可得b=1或2.
abbsin Ab
由正弦定理知=,∴sin
B==
.
sin Asin Ba2
1
当b=1时,sin
B=,B=30°;
2
当b=2时,sin B=1,B=90°.
3.解:(1)由3cos(B-C)-1=6cos Bcos C,
得3(cos
Bcos C-sin Bsin C)=-1,
1
即cos(B+C)=-,
3
1
从而cos A=-cos(B+C)=
.
3
122
(2)由于0,所以sin
A=
.
33
1
又S
△
ABC
=22,即
bcsin
A=22,解得bc=6.
2
由余弦定理a
2
=b
2
+c
2
-2bccos A,得b
2
+c
2
=13,
???
?
bc=6,
?
b=2,
?
b=3,
解方程
组
?
22
得
?
或
?
?
b
+c=13,
??
c=2.
??
c=3
?
4.解:(1)由题意可知
13
absin C=
×2abcos C.
24
所以tan C=3.
π
因为0
3
π
π-A-
?
(2)由(1)知sin A+sin B=sin
A+sin
?
3
??
2π
?
=sin
A+sin
?
?
3
-A
?
=sin
A+
31
cos A+sin A
22
π2π
A+
?≤3
?
0?
.
=3sin
?
3
??
6
??
π
当A=时,即△ABC为等边三角形时取等号,
3
所以sin A+sin B的最大值为3.
巩固练习:
13
1.解析:选B S
△
ABC
=AB·AC·sin A=.
22
2.解析:选B 设等腰三角形的底边长为a,顶角为θ,则腰长为2a,由余弦定理得,
4a
2
+4a
2
-a
2
7
cos
θ=
=
.
8a
2
8
11
3.解析:选B
∵S=(a
2
+b
2
-c
2
)=absin
C,由余弦定理得:sin C=cos C,∴tan
C=
42
1.又0°
122
4.解析:∵cos C=
,0
1122
∴S
△
ABC
=
absin
C=
×32×23×=43.
223
5.解析:在△ADC中,
AC2
+DC
2
-AD
2
7
2
+3
2-5
2
11
cos C=
==
.
2·AC·DC
2×7×3
14
又0°
.
14
ACAB
在△ABC中,=,
sin
Bsin C
sin C5356
∴AB=
·AC=
×2×7=
.
sin B142
1
6.解析:不妨设b=2,c=3,cos A=
,
3
则a
2
=b
2
+c
2
-2bc·cos
A=9,∴a=3.
又∵sin A=
22
1-cos
2
A=
,
3
a392
∴外接圆半径为R===
.
2sin
A8
22
2·
3
7.解析:选C 如图,由题意得
a+b+c=20,
?
?
1
?
2
bcsin
60°=103,
?
?
a
=b+c-2bccos
60°,
222
则bc=40,
a
2
=b<
br>2
+c
2
-bc=(b+c)
2
-3bc=(20-a)2
-3×40,
∴a=7.
11
8.解析:选B
∵S=
2
bcsin A,∴3=
2
×2csin 120°,
∴c=2,∴a=b
2
+c
2
-2bccos A
= <
br>?
1
?
4+4-2×2×2×
?
-
2
?=23,
??
a23
设△ABC外接圆的半径为R,∴2R=
sin
A
==4,
3
2
∴R=2.
ca40
9.解析:选D
∵
==,
sin Csin A3
4040
∴c=
sin
C.∴0
B
10.解:(1)由题设及A+B+C=π得sin
B=8sin
2
,
2
即sin B=4(1-cos B),
故17cos
2
B-32cos B+15=0,
15
解得cos
B=,cos B=1(舍去).
17
158
(2)由cos
B=
,得sin B=,
1717
14
故S
△
ABC
=
acsin
B=ac.
217
17
又S
△
ABC
=2,则ac=
.
2
由余弦定理及a+c=6得
b
2
=a
2
+c
2
-2accos B
=(a+c)
2
-2ac(1+cos B)
15
17
1+
?
=36-2××
?
2
?
17
?
=4.
所以b=2.
11.解:(1)∵S
△
DAC
=23,
1
∴
·AD·AC·sin∠DAC=23,
2
1
∴sin∠DAC=
.
2
π2π
∵∠DAC<∠BAC<π-=,
33
π
∴∠DAC=
.
6
在△ADC中,由余弦定理得
π
DC
2
=AD
2
+AC
2
-2AD·A
Ccos ,
6
∴DC
2
=4+48-2×2×43×
∴DC=27.
π
(2)∵AB=AD,B=
,
3
∴△ABD为正三角形.
在△ADC中,根据正弦定理,可得
AD43DC
==,
sin
C2ππ
?
-C
?
sin
3
sin
?
3
?
π
?
∴AD=8sin
C,DC=8sin
?
?
3
-C
?
,
∴△ADC的周长为
π
?
AD+DC+AC=8sin
C+8sin
?
?
3
-C
?
+43
=8
?
sin C+
3
=28,
2
?
31
?
cos C-sin C
+43
22
?
13
=8
?
sin C+cos
C
?
+43
2
?
2
?
π
C+
?
+43, =8sin
?
?
3
?
2ππππ2π
∵∠ADC=,∴0
33333
πππ
∴当C+=
,即C=时,△ADC的周长取得最大值,且最大值为8+43.
326