(完整)高中文科数学解三角形部分讲练整理

高中文科数学解三角形部分整理
一 正弦定理
（一）知识与工具：
abc
???2R
。 正弦定理：在△ABC中，
sinAsinBsinC
变形：
a:b:c?sinA:sinB:sinC
.

在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。
注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件
的应用：
(1)三内角和为180° 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
(2)三角函数的恒等变形
sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC ，sin
(3)面积公式：S=
A?B
CC
A?B
=cos，cos=sin
2
22
2
1abc
absinC==2R
2
sinAsinBsinC
24R

（二）题型 使用正弦定理解三角形共有三种题型
题型1 利用正弦定理公式原型解三角形
例一、在△ABC中，若
C?90,a?6,B?30
，则
c?b
等于（ ）
A．
1
B．
?1
C．
23
D．
?23

【解析】C.
00
b
?tan30
0
,b?atan30
0
?23,c?2b ?44,c?b?23

a


题型2 利用正弦定理公式变形边角互化解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化。
例二、在△
ABC
中，若
b?2asinB
，则
A
等于（ ）
A．
30
0
或60
0
B．
45
0
或60
0
C．
120
0
或60
0
D．
30
0
或150
0

【解析】D.
b?2asinB,sinB?2sinAsinB,sinA?

题型3 三角形解的个数的讨论
方法一：画图看
1
,A?30
0
或
150
0

2

方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与 三边的不等关系检验解出的结果
是否符合实际意义，从而确定解的个数。
例三、等腰三角形一 腰上的高是
3
，这条高与底边的夹角为
60
0
，则底边长为（D ）
A．
2
B．
3
C．
3
D．
23

2

二 余弦定理
（一）知识与工具：
a
2
=b
2
+c
2
﹣2bccosA
b
2
?c
2
?a
2
cosA=
2b c
b
2
=a
2
+c
2
﹣2accosB
a
2
?c
2
?b
2
cosB=
2a c
c
2
=a
2
+b
2
﹣2abcosC
a
2
?b
2
?c
2
cosC=
2a b
注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦
定理。 在变形中，注意三角形中其他条件的应用：
(1)三内角和为180°；
(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
abc
1
(3)面积公 式：S=absinC==2R
2
sinAsinBsinC
4R
2
(4)三角函数的恒等变形。

（二）题型使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型
题型1 利用余弦定理公式的原型解三角形
例一、在△ABC中，若
a?b?bc?c,则A?
_________。
222< br>b
2
?c
2
?a
2
1
cosA???,A? 120
0

120

【解析】
2bc2
0

题型2 利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角 形：凡在同一式子中既有角又有边的
题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造 公式形式。

题型3 判断三角形的形状
结论：根据余弦定理，当a
2< br>+b
2
＜c
2
、b
2
+c
2
＜a< br>2
、c
2
+a
2
＜b
2
中有一个关系式成立 时，该
三角形为钝角三角形，而当a
2
+b
2
＞c
2
、b
2
+c
2
＞a
2
，c
2
+a
2
＞b
2
中有一种关系式成立时，并不
能得出该三角形为锐角三角形的结论 。

判断三角形形状的方法：
(1)将已知式所有的边和角转化为 边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，
从而判断三角形的形状。

例 一、在△ABC中，若
acosA?bcosB?ccosC,
则△ABC的形状是什么？
解：
acosA?bcosB?ccosC,sinAcosA?sinBcosB? sinCcosC

sin2A?sin2B?sin2C,2sin(A?B)cos(A? B)?2sinCcosC

cos(A?B)??cos(A?B),2cosAcosB?0

cosA?0< br>或
cosB?0
，得
A?
所以△ABC是直角三角形。


（2）应用题

求
距
离
两点间不可通又
不可视
?
2
或
B?
?
2

两点间可视但不
可达
两点都不可达

底部可达
求
高
度

底部不可达



题型1 计算高度 题型2 计算距离
题型3 计算角度 题型4 测量方案的设计
实际应用题型的本质就是解三角形，无论是什么样的现象，都要首先画出三角 形的模型，
再通过正弦定理和余弦定理进行求解。

例一、

（三）其他常见结论
1三角形内切圆的半径：
r?

2S
?
，
a?b?c
特别地，
r
直
?
a?b?c
斜
2
2三角学中的射影定理：
在△ABC 中，
b?a?cosC?c?cosA
，…
3两内角与其正弦值：

在△ABC 中，
A?B?sinA?sinB
，…


例一、在△ABC中，若
a?7,b?3,c?8
，则其面积等于（ ）
21
C．
28
D．
63

2
11
【解析】D
cosA?,A?60
0
,SV
ABC
?bcsinA?63

22
A．
12
B．






基础练习

一、选择题
1．若
A
为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）
1
A．
sinA
B．
cosA
C．
tanA
D．
tanA

2．在△ABC中，角均为锐角，且
cosA?sinB,
则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

3．边长为
5,7,8
的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A．
90
B．
120
0
C．
135
0
D．
150
0

4.在△ABC中，
A:B:C?1:2:3
，则
a:b:c
等于（ ）
A．
1:2:3
B．
3:2:1
C．
1:3:2
D．
2:3:1


5.在△ABC中，若
A?2B
，则
a
等于（ ）
A．
2bsinA
B．
2bcosA
C．
2bsinB
D．
2bcosB


6．在△ABC中，若
lgsinA?lgcosB?lgsinC?lg2
，则△ABC的 形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．不能确定 D．等腰三角形

7．在△ABC中，若
(a?b?c)(b?c?a)?3b c,
则
A?
( )
0

A．
90
0

B．
60
0

C．
135
0
D．
150
0

8．在△ABC中，若
tan
A?Ba?b
，则△ABC的形状是（ ）
?
2a?b
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形


二、填空题
1．在△ABC中，若
a?b?bc?c,则A?
_________。
2．在△ABC中，若
b?2,B?30,C?135,则a?
_________。
3．在△ABC中，若
sinA
∶
sinB
∶
sinC?< br>7
∶
8
∶
13
，则
C?
_________ ____。
4．若在△ABC中，
?A?60,b?1,S
?ABC
?3,
则
0
00
222
a?b?c
=_______。
sinA?sinB?sinC
5．在△ABC中，若
a?9,b?10,c?12,
则△ABC的形状是_________。
6．在△ABC中，若
a?

三、解答证明题
3,b?2,c?
6?2
则A?
_________。
2
1． 在△ABC中，
A?120,c?b,a?21,S
V
AB C
?3
，求
b,c
。
2． 在△ABC中，若
A?B?120
0
，则求证：
2
3．
在△ABC中，若
acos
0
ab
??1
。
b? ca?c
CA3b
?ccos
2
?
，则求证：
a?c?2b

222

4．在△ABC中，求证：





【答案】

选择题
1.A
0?A?
?
,sinA?0

2.C
cosA?sin(
abcosBcosA
??c(?)

baba
?
2
?A)?sinB,
?
2
?A,B
都是锐角， 则
?
2
?A?B,A?B?
?
2
,C?
?
2

5
2
?8
2
?7
2
1
?,
?
?60
0
,180
0
?60
0?120
0
为所求 3.B 设中间角为
?
，则
cos
?
?
2?5?82
4.C
A?
?
6
,B?
?
3
,C?
?
2
,a:b:c?sinA:sinB:sinC?
132
::?1:3:2

222
5.D
sinA?sin2B?2sinBcosB,a?2bcosB

6.D
lg
sinAsinA
?lg2,?2,sinA?2cosBsinC
< br>cosBsinCcosBsinC
sin(B?C)?2cosBsinC,sinBcosC ?cosBsinC?0,

sin(B?C)?0,B?C
，等腰三角形
7.B
(a?b?c)(b?c?a)?3bc,(b?c)?a?3bc,
< br>22
b
2
?c
2
?a
2
1
?,A? 60
0

b?c?a?3bc,cosA?
2bc2
2 22
A?BA?B
sin
A?Ba?bsinA?sinB
22
， 8.D
tan???
2a?bsinA?sinB
2sin
A?B
cos
A?B
22
A?B
tan
A?B
2
,ta n
A?B
?0
，或
tan
A?B
?1

tan?
A?B
2
22
tan
2
?
所以
A?B
或
A?B?
2

2cos

填空题
b
2
?c
2
?a
2
1
? ?,A?120
0
1.
120

cosA?
2bc2
0
2.
6?2

A?150
,
abbsinA6?2
?,a??4sinA?4sin15
0?4?

sinAsinBsinB4
0
3.
120

a
∶
b
∶
c?
sinA
∶
sinB
∶
sinC?
7
∶
8
∶
13
，
a2
?b
2
?c
2
1
??,C?120
0
令
a?7k,b?8k,c?13k

cosC?
2ab2
4.
239
113
?3,c?4,a
2
?13,a?13

S
?ABC
?bcsinA?c?
3
222

a?b?ca13239

???
sinA?sinB?sinCsinA3
3
2
5.锐角三角形
C
为最大角，
cosC?0,C
为锐角
8?43
?3
b?c?a3?11
0
4
6.
60

cosA????

222
2?
2bc< br>22?
6?22?2?(3?1)
2




四、解答证明题

1.解：
S
?ABC
?
1< br>2
bcsinA?3,bc?4,


a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA,b?c?5
，而
c?b

所以
b?1,c?4


2．证明：要证
a< br>b?c
?
b
a
2
?ac?b
2
a?c
?1
，只要证
?bc
ab?bc?ac?c
2
?1
，
即
a
2
?b
2
?c
2
?ab

而∵
A?B?120
0
,
∴
C?60
0

cosC?
a
2
?b
2
?c
2
2ab,a
2
?b
2
?c
2
?2abcos60
0< br>?ab

∴原式成立。

3.证明：∵
acos
2
C
2
?ccos
2
A
2
?
3b
2

∴
sinA?
1?cosC1?cosA3sin B
2
?sinC?
2
?
2


即
sinA?sinAcosC?sinC?sinCcosA?3sinB


∴
sinA?sinC?sin(A?C)?3sinB

即
sinA?sinC?2sinB
，∴
a?c?2b

2

a
2
?c
2
?b
2
b
2< br>?c
2
?a
2
4.证明：将
cosB?
，
cosA?
代入右边
2ac2bc< br>a
2
?c
2
?b
2
b
2
?c
2
?a
2
2a
2
?2b
2
?)?
得右边
?c(

2abc2abc2ab
a
2
?b
2
ab
????
左边，
abba
∴


abcosBcosA
??c(?)

baba