高中数学解三角形和平面向量

一、选择题：
1.在△ABC中，若
a
= 2 ,
b?23
,
A?30
0
, 则B等于（ B ）
A．
60
o
B．
60
o
或
120
o
C．
30
o
D．
30
o
或
150
o

2．△
ABC
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，若
c
=
2
,
b
=
6
,
B
=120
o< br>，则
a
等于（ D ）
A．
6
B．2 C．
3
D．
2

3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c, 且，A=45°， 则sinB=（ A ）
A． B． C． D．1
4．的三内角的对边边长分别为，若，则（ B ）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，若，则（ C ）
A． B． C． D．
6．在△
ABC
中，角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
,若(
a
2
+
c
2
-
b
2
)tan
B
=
3
ac
,则角
B
的值为（D）
A.
?
?
?
5
?
?
2
?
6
B.
3
C.
6
或
6
D.
3
或
3

7. 在△
ABC
中，
1?co sA
1?cosB
?
a
b
，则△
ABC
一定是（ A ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
8.在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若角A、B、C依次成等差 数列，且a=1，等于（ C ）

A. B. C. D. 2
9.已知锐角△ABC的面积为3，BC=4，CA=3则角C大小为（ B ）
A、75° B、60° C、45° D、30°
10．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ A ）
A. 米 B. 米 C. 200米 D. 200米
11．已 知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，现测得
?ABC?120
0< br>,则A,C两地的
距离为（ D ）。
A. 10km B. 10km C. 10km D. 10km
12．已知
M
是△
ABC
的
BC
边上的中点，若向量
AB
=
a< br>,
AC
=
b
，则向量
AM
等于（ C ）
A．
1
2
(
a
－
b
) B．
1
2
(
b
－
a
) C．
1
2
(
a
＋
b
) D．
?
1
2
(
a
＋
b
)
13．若
A(?1 ,?1) B(1 ,3)

C(x ,5)
共线，且
AB ?
?
BC
则
?
等于（ B ）
A、1 B、2 C、3 D、4
14．已知平面向量
a?(1,2),b?(?2,m)
，且
a
∥
b
，则
2a?3b
=（ C ）
A．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）
15. 已知
a?(1,2),b?(?3,2),ka?b与a?3b
垂直时k值为 （ C ）
A、17 B、18 C、19 D、20
1 6．
若向量
r
a?(2,1),b
r
?(3,x),若(2
r
a?b
r
)?b
r
,则x的值为
( B )
A．
?3或1
B.
?1或3
C．
3
D．
-1

17. 若|
a|?2
，
|b|?2
且（
a?b
）⊥
a
，则
a
与
b
的夹角是 （ B ）
（A）
?
6
（B）
?
4
（C）
?
5
3
（D）
12
?

18．已知
b ?3
，
a
在
b
方向上的投影是
3
2
，则
a ? b
是（ B ）
A、3 B、
9
C、2 D、
1
19．若
|
r
a|?1,|
r
2

b|?2,
r
c?
r
a?
r
b
，且
r
c?
r
2
a
，则向量
r
a
与
r
b
的夹角为( C )
（
A
）30° （
B
）60° （
C
）120° （
D
）150°
二、填空题：
20．
△ABC
的内 角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c
，若
c?2，b?6，B?1 20
o
，则
a
等于
2

21．在△ABC中，若< br>a
2
?b
2
?bc?c
2
,则A?
120° 。
22．在中，，则角B=
60
o
．
23. 在中， AC=2，BC=1，sinC=
3
5
，则AB的长为_
35
5或
205
5
___。
24．
?ABC
中，
B ?120?,AC?7,AB?5
，则
?ABC
的面积为___
153
4
______．
25. 在中，角A,B,C所对的边分别为，若，则的形状是 等腰三角形或直角三角形 。
26. 已知向量
r
a
=（3，1） ，
r
b
=（1，3），
r
c
=（k，7）,若（
r
a
-
r
c
）
r
b
27．已知向量
a=?2，，4?b=?11 ，?
．若

向量
b?(a+
?
b)
，则实数< br>?
的值是
?3
．
28.已知
r
a?10、
b
r
?12
，若
r
a
与
r
b
的夹角为120°，则⑴
r
a?
r
b
=_-60____ _；
⑵
(3
r
b?2
r
a)?(4
r
a ?b
r
)
=__-968_________.
29．若两个向量
r
a
与
r
b
的夹角为
?
，则称向量“
r< br>a?b
r
”为“向量积”，其长度
|
r
a?
r
b|?|
r
a||
r
b|sin
?
，
若已知|
r
a|?1,|b
r
|?5,
r
a?
rb??4
，则
|
r
a?b
r
|?____
3。
三、解答题：
30、已知的三个内角A、B、C所对的边分别为,
若的面积为4，且 ,求
解:
两边平方并整理得


根据余弦定理得
31. 在
?ABC
中，角
A,B,C
的 对边分别为
a,b,c,B?
?
3
，
cosA?
4
5
,b?3
。
（I）求
sinC
的值； （Ⅱ）求
?ABC
的面积。
解：（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且
B?
?
3
,cosA?
42
5
，∴
C?
?
3
?A,sinA?
3
5
，
∴
sinC?sin
?
?
2
?
31
?
3
?A
?
?
?
?
3?43
2
cosA?
2
sinA?10
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
sinA?
33?43
5
,sinC?
10
，


又∵
B?
?
3
,b?3
，
∴在△ABC中，由正弦定理，得
∴
a?
bsinA
sinB
?
6
5
. < br>∴△ABC的面积
S?
1
2
absinC?
163?432
?
5
?3?
10
?
36?93
50
.
32．在⊿ABC中，BC=
5
，AC=3，sinC=2sinA
(Ⅰ) 求AB的值； (Ⅱ) 求sin
?
?
2A?
?< br>?
?
4
?
?
的值
（Ⅰ）解：在△ABC中，根据正 弦定理，
ABBC
sinC
?
sinA

于是
AB?
sinC
sinA
BC?2BC?25

（Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得
cosA?
AB
2
?AC2
?BD
2
2AB?AC
?
25
5
于是
sinA?1?cos
2
A?
5
5

从而sin2A?2sinAcosA?
4
5
,cos2A?cos
2
A?sin
2
A?
3
5

所以
sin (2A?
?
4
)?sin2Acos
?
4
?cos2Asi n
?
4
?
2
10

33. 在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为
，且
3a?2csinA
。
（1）求角A的大小；（2）若
c?7
，且的面积为
33
2
，求a +b的值。

34．设锐角三角形
ABC
的内角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c
，．
（1）求
B
的大小； （2）若的面积等于，C=2,求和的值。
解：（1）
?a?2RsinA,b?2RsinB
且

?2RsinA?2?2RsinB?sinA即sinB?
1
2

?0
0
?B?90
0
,?B?30
0
（2）
?S< br>?ABC
?
1
2
acsin30
0
?
12
a?2?
1
2
?3
，
a?23


?b
2
?a
2
?c
2
?2accosB?12?4 ?2?23?2?
3
2
?4,?b?2

35.在△ABC中，、、分别是角、、的对边，且
（Ⅰ）求角B的值； （Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值

解 ：（Ⅰ）由正弦定理得，
即
得，因为，
所以，得，因为，
所以c osB??
12
?
2
,又B为三角形的内角，所以B?
3

S?
1
acsinB,由B?
2
?
及a?c?4得
（Ⅱ）
23

S?
1
2
a(4?a)sin
2?
33
3
?
4
(4a?a
2
)?
4< br>[4?(a?2)
2
]
又，所以当时，取最大值
36. 已知函数的一系列对应值如下表：

0 1 0 －1 0
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）在△
ABC
中，分别是△
ABC
的对边，若，求△ABC的面积.


37．海面上相距10海里的A、B两船， B船在A船的北偏东45°方向上，两船同时接到指令同时驶向
C岛，C岛在B船的南偏东75°方向上 ，行驶了80分钟后两船同时到达C岛，经测算，A船行驶了
107
海里，求B船的速度。
解：设B船的速度为x海里小时，依题意得
在
?ABC
中，
?ABC
=
120
0
,AB=10,AC=
107

由余弦定理得
AC
2
?AB
2
?BC
2
?2AB ?BC?COS?ABC

即
100+(
80
60
x )
2
?2?10?
80
60
x?cos120
0
? (107)
2
， 解得 x=15
答：B船的速度为15海里小时。

38．一缉私艇发现在方位角45°方向，距离12海里的海面上有一走私船正以10海里小时的速度沿
方位角为105°方向逃窜，若缉私艇的速度为14海里小时，缉私艇沿方位角45°+α的方向追去，
若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需时间和α角的正弦.（注：方位角是指正北方向按顺时针方向旋转形成的角）.
解：设缉私艇与走私船原来的位置分别为A、B，在C处两船相遇，由 条件知∠ABC=120°，AB=12（海
里）， 设t小时后追及，
?BC?10t,AC?14t
，由正弦定理得
由正弦定理得10t
sin
?
?
14t
sin120?
?sin?
?
53
14
,cos
?
?
11
14
；
再由余弦定理得
100t
2
?196t
2
?1 44?2?12?14tcos
?

?12t
2
?33t?18?0 ,?t?2或t?
3
4
,

但当
t?
3
4
时AC?
21
2
?12?AB
，不合，
?t?2(小时),sin
?
?
53
14
.
答：缉私艇的追及所需时间为2小时，α角的正弦为
53
14
。

39.已知向量
m
=(sin
A
,cos
A
),
n
=
(3,?1)
，
m
·
n
＝1
，且
A
为锐角.
（Ⅰ）求角
A
的大小； （Ⅱ）求函数
f(x)?cos2x?4cosAsinx(x?R)
的值域.
解：（Ⅰ）由题意得
mgn?3sinA?cosA?1,

2sin(A?
??1
6
)?1,sin(A?
6
)?
2
.

由
A
为锐角得
A?
?
6
?
?6
,A?
?
3
.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
cosA?
1
2
,

所以
f (x)?cos2x?2sinx?1?2sin
2
x?2sinx??2(sinx?
1
)
2
?
3
22
.

因为
x
∈R，所以
sinx?
?
?1,1
?
，因此 ，当
sinx?
13
时，
f
(
x
)有最大值. < br>22
?
?
2
?
?
（2）当
x?[0,
?
2
]时，不等式?2?f(x)?5恒成立
，求实数m的取值范围。
当sin
x
= -1时，
f
(
x
)有最小值-3，所以所求 函数
f
(
x
)的值域是
?
?3,
3
?.
解：
f(x)?a?b?1?2sin
2
x?3sin2x?m
-1
=
3sin2x?cos2x?m?2sin(2x?
（1 ）函数
f(x)
的最小正周期为T=
rr
?
?
40．已知：
a?(3sinx,cosx),b?(cosx,cosx)
，
f(x)?2a?b ?2m?1
（
x,m?R
）.
(Ⅰ) 求
f(x)
关于
x
的表达式，并求
f(x)
的最小正周期；
?
?
6
)?m

2
?
?
?

(Ⅱ) 若
x?[0,
2]
时，
f(x)
的最小值为5，求
m
的值.
解：(Ⅰ)
f(x)?23sinxcosx?2cos
2
x?2m?1


?3sin2x?cos2x?2m
?2sin(2x?
?
6
)?2 m
.
?f(x)
的最小正周期是
?
.

(Ⅱ) ∵
x?[0,
?
2
]
， ∴
2x?
?
6
?[
?
6
,
7
?
6
]
.

∴当
2x?
?
即
6
?7
?
6
x?
?
时，函数
f(x)
取得最小值是
2
2m?1
.

∵
2m?1?5
， ∴
m?3
.
41.已知 向量
a?(sin
?
,?2)与b?(1,cos
?
)
互相 垂直，其中
?
?(0,
?
)
．
2

（1）求
sin
?
和cos
?
的值； （2）若
sin(
?
?
?
)?
10

10
,0?
?
?
?
2
，求
cos
?
的值．

解：（1）∵
a
与
b
互相垂直，则< br>a?b?sin
?
?2cos
?
?0
，即
sin?
?2cos
?
，

代入
sin
2
?
?cos
2
?
?1
得
sin
?
??25

5
,cos
?
??
5
5


又∵
?
?(0,
?
2
)
，∴
s in
?
?
255
5
,cos
?
?
5
.

（2）∵
0?
?
?
?
?
2
，
0?
?
?
?
2
，∴
?
2
?< br>?
?
?
?
?
2


则
co s(
?
?
?
)?1?sin
2
(
?
??
)?
310

10
，

∴
cos
?
?cos[
?
?(
?
?
?
)]?cos
?
cos(
?
?
?
)?sin
?
sin(
?
?
?
)?
2
2
.




42. 已知函数
f(x)?a?b?1,其中a?(sinx,1), b?(2sinx,3sin2x?m)


（1）求函数
f(x)
的最小正周期和单调递减区间；

2
由
?
?2k
?
?2x?
?
?
3
?
262
?2k
?
,k?Z得
?
3
?k
?
?x?
5
?
3
,k?Z

∴函数
f(x)
的单调递减区间为
[
?
5
?
3
?k
?
,< br>6
?k
?
],(k?Z)

2）∵
x?[0,
?
2
]
∴
2x??
6
?[?
?
5
?
6
,
6
]

∴
m?1?2sin(2x?
?
6
)?m?m?2

∵不等式
?2?f(x)?5
恒成立 ∴
?
?
m?1??2
?
m?2?5
即 -1∴实数m的取值范围为(-1,3)
（

高中数学解三角形和平面向量试题
一、选择题：
1.在△ABC中，若
a
= 2 ,
b?23
,
A?30
0
, 则B等于（ ）
A．
60
o
B．
60
o
或
120
o
C．
30
o
D．
30
o
或
150
o

2．△
ABC
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，若
c
=
2
,
b
=
6
,
B
=120
o< br>，则
a
等于（ ）
A．
6
B．2 C．
3
D．
2

3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c, 且，A=45°， 则sinB=（ ）
A． B． C． D．1
4．的三内角的对边边长分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．在△
ABC
中，角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
,若(
a
2
+
c
2
-
b
2
)tan
B
=
3
ac
,则角
B
的值为（ ）
A.
?
B.
?
D.
?
2
?
6

3
C.
?
6
或
5
?
6

3
或
3

7. 在△
ABC
中，
1?co sAa
1?cosB
?
b
，则△
ABC
一定是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
8.在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若角A、B、C依次成等差数列， 且a=1，等于（

A. B. C. D. 2
9.已知锐角△ABC的面积为3，BC=4，CA=3则角C大小为（ ）
A、75° B、60° C、45° D、30°
10．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ）
A. 米 B. 米 C. 200米 D. 200米
11．已知 A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，现测得
?ABC?120
0,则A,C两地的
距离为（ ）。
A. 10km B. 10km C. 10km D. 10km
12．已知
M
是△
ABC
的
BC
边上的中点，若向量
AB
=
a< br>,
AC
=
b
，则向量
AM
等于（ ）
A．
1
2
(
a
－
b
) B．
111
2
(
b
－
a
) C．
2
(
a
＋
b
) D．
?
2
(
a
＋
b
)
13．若
A(?1 ,?1) B(1 ,3)

C(x ,5)
共线，且
AB ?
?
BC
则
?
等于（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
14．已知平面向量
a?(1,2),b?(?2,m)
，且
a
∥
b
，则
2a?3b
=（ ）
A．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）
15. 已知
a?(1,2),b?(?3,2),ka?b与a?3b
垂直时k值为 （ ）
A、17 B、18 C、19 D、20
16．
若向量
r
a?(2,1),b
r
?(3,x),若(2
r< br>a?b
r
)?b
r
,则x的值为
( )
A．
?3或1
B.
?1或3
C．
3
D．
-1

17. 若|
a|?2
，
|b|?2
且（
a?b
）⊥
a
，则
a
与
b
的夹角是 （ ）
（A）
?
6
（B）
?
4
（C）
?
5
3
（D）
12
?

18．已知
b ?3
，
a
在
b
方向上的投影是
3
2
，则
a ? b
是（ ）
A、3 B、
9
2
C、2 D、
1
19． 若
|
r
a|?1,|
r
b|?2,
r
c?
r
a?
r
b
，且
r
c?
r
2

a
，则向量
r
a
与
r
b
的夹角为( )
（
A
）30° （
B
）60° （
C
）120° （
D
）150°
二、填空题：
20．
△ABC
的内角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c
，若
c?2，b?6，B?120
o
，则
a
等于___
2 1．在△ABC中，若
a
2
?b
2
?bc?c
2
, 则A?
____________。
22．在中，，则角B= ______ ．
23. 在中，AC=2，BC=1，sinC=
3
5
，则AB的长为__________。
）

24．
?ABC
中，
B?120?,A C?7,AB?5
，则
?ABC
的面积为____________．
25. 在中，角A,B,C所对的边分别为，若，则的形状是 __ 。
26. 已知向量
r
a
=（3，1） ，
r
b
=（1，3），
r
c
=（k，7）,若（
r
a
-
r
c
）
r
b
27．已知向量
a=?2，，4?b=?11 ，?
．若
向量
b?(a+
?
b)
，则实数
?
的值是 ____ ．
28.已知
r
a?10
、
b
r< br>?12
，若
r
a
与
r
b
的夹角为120°， 则⑴
r
a?
r
b
=____；⑵
(3
r
b ?2
r
a)?(4
r
a?b
r
)
=___. 29．若两个向量
r
a
与
r
b
的夹角为
?，则称向量“
r
a?b
r
”为“向量积”，其长度
|
r
a?
r
b|?|
r
a||
r
b|sin
?
，
若已知
|
r
a|?1,|b
r
|?5,
r
a?
r
b??4
，则
|
r
a?b
r|?____
。
三、解答题：
30、已知的三个内角A、B、C所对的边分别为,
若的面积为4，且 ,求









31. 在
?ABC
中，角
A,B,C
的对边分别为
a,b ,c,B?
?
3
，
cosA?
4
5
,b?3
。
（I）求
sinC
的值； （Ⅱ）求
?ABC
的面积。



32．在⊿ABC中，BC=
5
，AC=3，sinC=2sinA
(Ⅰ) 求AB的值； (Ⅱ) 求sin
?
?
2A?
?
?
?
4
?
?
的值







33. 在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为
，且
3a?2csinA
。
（1）求角A的大小；（2）若
c?7
，且的面积为
33
2
，求a +b的值。
















34．设锐角三角形ABC
的内角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c
，．
（1）求
B
的大小； （2）若的面积等于，C=2,求和的值。

35.在△ABC中，、、分别是角、、的对边，且
（Ⅰ）求角B的值； （Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值











36. 已知函数的一系列对应值如下表：

0 1 0 －1 0
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）在△
ABC
中，分别是△
ABC
的对边，若，求△ABC的面积.









37．海面上相距10海里的A、B两船，B船在A船的北偏东45° 方向上，两船同时接到指令同时驶向
C岛，C岛在B船的南偏东75°方向上，行驶了80分钟后两船同 时到达C岛，经测算，A船行驶了
107
海里，求B船的速度。










38．一缉私 艇发现在方位角45°方向，距离12海里的海面上有一走私船正以10海里小时的速度沿
方位角为10 5°方向逃窜，若缉私艇的速度为14海里小时，缉私艇沿方位角45°+α的方向追去，
若要在最短的 时间内追上该走私船，求追及所需时间和α角的正弦.（注：方位角是指正北方向按顺
时针方向旋转形成 的角）.








3 9.已知向量
m
=(sin
A
,cos
A
),
n< br>=
(3,?1)
，
m
·
n
＝1
，且
A
为锐角.

（Ⅰ）求角
A
的大小； （Ⅱ）求函数
f(x)?cos2x?4cosAsinx(x?R)
的值域.










4 0．已知：
r
a?(3sinx,cosx),b
r
?(cosx,cosx )
，
f(x)?2a
?
?b
?
?2m?1
（
x,m?R
）.
(Ⅰ) 求
f(x)
关于
x
的表达式，并求
f(x)
的最小正周期；
(Ⅱ) 若
x?[0,
?
2
]
时，
f(x)
的最小值为5，求
m
的值.










41.已知向量
a?(sin
?
,?2)与b?(1,cos
?
)
互相垂直，其中
?
?( 0,
?
)
．
2
（1）求
sin
?
和cos
?
的值； （2 ）若
sin(
?
?
?
)?
10
10
,0?
?
?
?
2
，求
cos
?
的值．








42. 已知函数
f(x)?a?b?1,其中a?(sinx,1),b?(2sinx,3sin2x?m)

（1）求函数
f(x)
的最小正周期和单调递减区间；
（2）当
x ?[0,
?
2
]时，不等式?2?f(x)?5恒成立
，求实数m的取值范围 。