浅析“解三角形”在高中数学的意义

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浅析“解三角形”在高中数学的意义

作者：崔立军

来源：《中学生数理化·学研版》2014年第01期

“解三角形”是高中数学的重要内容，也是高考经常会考查的知识点。很多同学感觉这 部分
内容学习时并不困难，但得分率并不高，解题时非常容易出错。已知三角形的几个元素求其它
元素的过程叫做解三角形，一般是已知三个元素求另外的三个元素，可分为以下几个类型。当
已知三个 角时，因三角形形状不固定，因此无法解三角形；当已知三角形的三边解三角形时，
在满足两边之和大于 第三边这个条件的情况下，利用余弦定理可求三个角且解是唯一确定的；
当已知两角及其一边时，利用三 角形内角和定理求第三个角，再利用正弦定理求其余两个边，
解也是唯一确定的；当已知两边及其夹角时 ，利用余弦定理求第三边，再利用正弦定理或余弦
定理求其一角，利用三角形内角和定理求最后一个角， 解也是唯一的。但已知三角形的两边和
其中一边的对角时，情况却比较复杂，以下从三个方面谈谈此时三 角形解的个数问题。
一、 利用三角函数的值域来判断有一解，两解或是无解
以已知 ， ，A，解三角形的问题为例来讨论。在这种情形下我们可以先用正弦定理，计
算出另一边的对角的正弦值
并由此求出B；再用三角形内角和计算出第三个角
然后，应用正弦定理计算第三边
1. 如果已知的A是钝角或直角，那么必须 才有解，这时从 计算B时，只能取锐角的值，
因此有一个解。
2. 如果已知的A是锐角，并且 或者 ，这时 计算B时，也只能取锐角的值，因此有一个
解。
3. 如果已知的A是锐角，并且 ，我们可以分下面三种情形来讨论：
（1）如果 ，这时从 计算得 ，B可以取一个锐角的值和一个钝角的值，因此可以有两个
解。
（2）如果 ，这时从 计算得 ，B只能是直角，因此只有一个解。
（3）如果 ，这时从 计算得 ，但是一个角的正弦值不能大于1，因此没有解。
二、利用数形结合的方法总结出如何判断有一解，两解或是无解