高中数学《解三角形》单元测试题(基础题含答案)

高中数学《解三角形》单元测试题（基础题）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝
等于( )
5555
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6

→
等于( ) 2.在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=
10
，则
BA
·AC
3223
A．－
2
B．－
3
C.
3
D.
2

3．在△ABC中，已知a＝5，b＝15，A＝30°，则c等于( )
A．25 B.5
C．25或5 D．以上都不对
4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )
A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解
B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解
C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
1
5．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为( )
3
9292
A.
2
B.
4

92
C.
8
D．92
A
b＋c
6．在△ABC中，cos
2
＝(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为
22c
( )
A．直角三角形
B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰直角三角形
D．正三角形
5
b，A＝2B，则cos B
2

7 ．已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c.若a＝c＝6＋2，且A＝75°，则b
等于 ( )
A．2 B.6－2
C．4－23 D．4＋23
7
8．在△ABC中，已知b
2
－bc－2c
2＝0，a＝6，cos A＝，则△ABC的面积S为( )
8
15815
A.
2
B.15 C.
5
D．63
9．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于( )
A.21 B.106
C.69 D.154
sin Acos Bcos C
10．若
a
＝
b
＝
c
，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．有一内角是30°的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．有一内角是30°的等腰三角形
11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b 、c，若(a
2
＋c
2
－b
2
)tan B＝3ac，则角
B的值为( )
ππ
A.
6
B.
3

π
5π
π
2π
C.
6
或
6
D.
3
或
3

π
12．△ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的周长为( )
3
π
?
π
???
A．43sin
?
B＋
3
?< br>＋3 B．43sin
?
B＋
6
?
＋3
????
π
?
π
???
C．6sin
?
B ＋
3
?
＋3 D．6sin
?
B＋
6
?
＋3
????
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
2abc
13．在△ABC中，
sin A
－
sin B
－
sin C
＝________.
14．在△ABC中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c，若a
2
＋c
2
－b
2
＝3ac， 则角B

的值为________．
15．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝3，
A＋C＝2B，则sin C＝________.
16．钝角三角形的三边为a，a＋1， a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6小题，共74分)
17．(10分)如图所示，我艇在A处发现一走 私船在方位角45°且距离为12海里的B处正
以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜， 我艇立即以14海里小时的速度追击，求
我艇追上走私船所需要的时间．









4
18．(12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且cos A＝
5
.
(1)求sin
2

B＋C
2
＋cos 2A的值；
(2)若b＝2，△ABC的面积S＝3，求a.

19．(12分)如图所示，△ACD是等 边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
BD交AC于E，AB＝2.

(1)求cos∠CBE的值；
(2)求AE.









20．(12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
3
a＝2，cos B＝
5
.
(1)若b＝4，求sin A的值；
(2)若△ABC的面积S
△
ABC
＝4，求b，c的值．

21．(12分)(2010·辽宁)在△ABC中，a，b，c 分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝
(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．










22．(14分)已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，
n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
π
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝
3
，求△ABC的面积．

高中数学《解三角形》单元测试题（基础题）
参考答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
5
1．△ABC的三内角 A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝
2
b，A＝2B，则cos B等
于( )
A.
55
C.
55
3
B.
45
D.
6

答案 B
解析 由正弦定理得
asin A
b
＝
sin B
，
∴a＝
5sin A5
2
b可化为
sin B
＝
2
.
又A＝2B，∴
sin 2B55
sin B
＝
2
，∴cos B＝
4
.
2.在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=
10
，则
BA
·AC
→
等于(
A．－
3
B．－
223
2

3
C.
3
D.
2

答案 A
解析 由余弦定理得
cos A＝
AB
2
＋AC
2
－BC
2
9
2AB·AC
＝
＋4－10
1
12
＝
4
.
∴
AB
·AC
→
＝|AB
→
|· |AC
→
|·cos A＝3×2×
13
4
＝
2
.
∴
BA
·AC
→
＝－AB
→
·AC
→＝－
3
2
.
3．在△ABC中，已知a＝5，b＝15，A＝30°，则c等于(
A．25 B.5
C．25或5 D．以上都不对
答案 C
解析 ∵a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos A，
)
)

∴5＝15＋c
2
－215×c×
3
2
.
化简得：c
2
－35c＋10＝0，即(c－25)(c－5)＝0，
∴c＝25或c＝5.
4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )
A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解
B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解
C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
答案 D
解析 A中，因
ab
sin A
＝
sin B
，
所以sin B＝
16×sin 30°
8
＝1，∴B＝90°，即只有一解；
B中，sin C＝
20sin 60°
＝
53
189
，
且c>b，∴C>B，故有两解；C中，
∵A＝90°，a＝5，c＝2，
∴b＝a
2
－c
2
＝25－4＝21，
即有解，故A、B、C都不正确．
5．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为< br>1
3
，则其外接圆的半径为(
A.
9292
2
B.
4

C.
92
8
D．92
答案 C
解析 设另一条边为x，
则x
2
＝2
2
＋3
2
－2×2×3×
1
3
，
)

122
∴x＝9，∴x＝3.设cos θ＝
3
，则sin θ＝
3
.
2
339292
∴2R＝
sin θ
＝＝
4
，R＝
8
.
22
3
A
b＋c
6．在△ABC中，cos
2
＝
2c
(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为( )
2
A．直角三角形
B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰直角三角形
D．正三角形
答案 A
b＋c
b
解析 由cos
2
＝
2c
?cos A＝
c
，
2
A
b
2
＋c
2
－a
2
又cos A＝
2bc
，
∴b
2
＋c
2
－a
2＝2b
2
?a
2
＋b
2
＝c
2
，故选 A.
7．已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c.若a＝c＝6＋2，且A＝75°， 则b
等于( )
A．2 B.6－2
C．4－23 D．4＋23
答案 A
6＋2
解析 sin A＝sin 75°＝sin(30°＋45°)＝
4
，
1
由a＝c知，C＝75°，B＝30°.sin B＝
2
.
6＋2
ba
由正弦定理：
sin B
＝
sin A
＝＝4.
6＋2
4
∴b＝4sin B＝2.

7
8．在△ABC中，已知b
2
－bc－2c
2
＝0，a＝6，co s A＝，则△ABC的面积S为( )
8
A.
15
B.15 C.
815
25
D．63
答案 A
解析 由b
2
－bc－2c
2
＝0可得(b＋c)(b－2c)＝0.
∴ b＝2c，在△ABC中，a
2
＝b
2
＋c
2
－2bcco s A，
即6＝4c
2
＋c
2
－4c
2
·
7
8
.
∴c＝2，从而b＝4.∴S
△ABC
＝
11
2
bcsin A＝
2
×2×4×1－
?
?
7
?
8
??
?
2
＝
15
2
.
9．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于(
A.21 B.106
C.69 D.154
答案 B
解析 设BC＝a，则BM＝MC＝
a
2
.
在△ABM中，AB
2
＝BM
2
＋AM
2
－2BM·AM·cos∠AMB，
即7
2
＝
1
－2×
a
4
a
2
＋4
2
2
×4·cos ∠AMB ①
在△ACM中，AC
2
＝AM
2
＋CM
2
－2AM·CM·cos∠AMC
即6
2< br>＝4
2
＋
1a
4
a
2
＋2×4×
2
·cos∠AMB ②
①＋②得：7
2
＋6
2
＝4
2
＋4
2
＋
1
2
a
2< br>，∴a＝106.
10．若
sin Acos B
＝
cos C
a
＝
bc
，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．有一内角是30°的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．有一内角是30°的等腰三角形
)

答案 C
sin Acos B
解析 ∵
a
＝
b
，∴acos B＝bsin A，
∴2Rsin Acos B＝2Rsin Bsin A,2Rsin A≠0.
∴cos B＝sin B，∴B＝45°.同理C＝45°，故A＝90°.
1 1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a
2
＋c
2
－b
2
)tan B＝3ac，则角
B的值为( )
A.
π
6
B.
π
3

C.
π
5π
D.
π
2π
6
或
6

3
或
3

答案 D
解析 ∵(a
2
＋c
2
－b
2
)tan B＝3ac，
∴
a
2
＋c
2
－b
2
B＝
3
2a c
·tan
2
，
即cos B·tan B＝sin B＝
3
2
.
∵0π2π
3
或
3
.
12．△ABC中，A＝
π
3
，BC＝3，则△ABC的周长为( ) < br>A．43sin
?
?
?
B＋
π
3
?
?
?
＋3 B．43sin
?
?
?
B＋
π
6
?
?
?
＋3
C．6sin
?
?
?
B＋
π
3
?
?
?
＋3 D．6sin
?
?
π
?
?
B＋
6
?
?
＋3
答案 D
解析 A＝
π
BCACAB
3
，BC＝3，设周长为x，由正弦定理知
sin A
＝
sin B
＝
sin C
＝2R，
由合分比定理知
BC
AB＋BC＋AC
sin A
＝
sin A＋sin B＋sin C
，
即
3
3
＝
x
3
.
22
＋sin B＋sin C

?
3
?
∴23
?
＋sin B＋sin?A＋B?
?
＝x，
?
2
?
π
??? ?
即x＝3＋23
?
sin B＋sin
?
B＋
3
??

????
ππ
??
＝3＋23
?
sin B＋sin Bcos
3
＋cos Bsin
3
?

??
??
13
＝3＋23
?
sin B＋sin B＋cos B
?

22
??
?
3
?
3< br>＝3＋23
?
sin B＋cos B
?

2
?2
?
?
3
?
1
＝3＋6
?
sin B＋cos B
?

2
?
2
?
π
??＝3＋6sin
?
B＋
6
?
.
??
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
2abc
13．在△ABC中，
sin A
－
sin B
－
sin C
＝________.
答案 0
14．在△AB C中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a
2
＋c
2
－b
2
＝3ac，则角B
的值为________．
π
答案
6

解析 ∵a
2
＋c
2
－b
2
＝3ac，
a
2< br>＋c
2
－b
2
3ac3
π
∴cos B＝＝＝，∴B＝
2ac2ac26
.
15．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝3，
A＋C＝2B，则sin C＝________.
答案 1
解析 在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋C＝2B.
π
∴B＝
3
.

由正弦定理知，sin A＝
又aππ
∴A＝
6
，C＝
2
.
∴sin C＝1.
asin B1
b
＝
2
.
16．钝角三角形的三边为a， a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围是________．
3
答案
2
≤a<3
?
?
a＋?a＋1?－?a＋2?<0
解析 由
?
a＋?a＋1?－?a＋2?
1
≥－
?
2
?< br>2a?a＋1?
a＋?a＋1?>a＋2
2
2
2
2
2
2

.
3
解得
2
≤a<3.
三、解答题(本大题共6小题，共74分)
17．(10分)如图所示，我艇在A处发现一走 私船在方位角45°且距离为12海里的B处正
以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜， 我艇立即以14海里小时的速度追击，求
我艇追上走私船所需要的时间．

解 设我艇追上走私船所需时间为t小时，则
BC＝10t，AC＝14t，在△ABC中，
由∠ABC＝180°＋45°－105°＝120°，
根据余弦定理知：
(14 t)
2
＝(10t)
2
＋12
2
－2·12·10tcos 120°，

∴t＝2.
答 我艇追上走私船所需的时间为2小时．
4
18．(12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且cos A＝
5
.
(1)求sin
2

B＋C
2
＋cos 2A的值；
(2)若b＝2，△ABC的面积S＝3，求a.
B＋C1－cos?B＋C?1＋cos A
59
2
解 (1)sin
2
＋cos 2A＝＋cos 2A＝＋2cos A－1＝
50
.
22
2
43
(2)∵cos A＝
5
，∴sin A＝
5
.
113
由S
△ABC
＝
2
bcsin A，得3＝
2
×2c×
5
，解得c＝5.
由余弦定理a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos A，可得
4
a
2
＝4＋25－2×2×5×
5
＝13，∴a＝13.
19．(12分)如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
BD交AC于E，AB＝2.

(1)求cos∠CBE的值；
(2)求AE.
解 (1)∵∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，
∴∠CBE＝15°.
6＋2
∴cos∠CBE＝cos(45°－30°)＝
4
.
(2)在△ABE中，AB＝2，
AEAB
由正弦定理得＝，
sin∠ABEsin∠AEB

即
2
＝，
sin? 45°－15°?sin?90°＋15°?
1
2×
2
AE
2sin 30°
故AE＝
cos 15°
＝＝6－2.
6＋2
4
2 0．(12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
3
a＝2，cos B＝
5
.
(1)若b＝4，求sin A的值；
(2)若△ABC的面积S
△
ABC
＝4，求b，c的值．
3
解 (1)∵cos B＝
5
>0，且0∴sin B＝
4
1－cos
2
B＝
5
.
ab
由正弦定理得
sin A
＝
sin B
，
asin B2
＝＝
b45
.
4
2×
5
sin A＝
114
(2)∵S
△ABC
＝
2
acsin B＝4，∴
2
×2×c×
5
＝4，
∴c＝5.
3
由余弦定理得b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos B＝2
2
＋5
2
－2×2×5×
5
＝17，∴b＝17.
21．(12分)(2010·辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝
(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
解 (1)由已知，根据正弦定理得2a
2
＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即a
2
＝b
2
＋c
2
＋bc.
由余弦定理得a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos A，

1
故cos A＝－
2
，A＝120°.
(2)方法一 由(1)得sin
2
A＝sin
2
B＋sin
2
C＋sin Bsin C，
3
又A＝120°，∴sin
2
B＋sin
2
C＋sin Bsin C＝
4
，
∵sin B＋sin C＝1，∴sin C＝1－sin B.
3
∴sinB＋(1－sin B)＋sin B(1－sin B)＝
4
，
22
1
即sin
2
B－sin B＋
4
＝0.
11
解得sin B＝
2
.故sin C＝
2
.
∴B＝C＝30°.
所以，△ABC是等腰的钝角三角形．
方法二 由(1)A＝120°，∴B＋C＝60°，
则C＝60°－B，
∴sin B＋sin C＝sin B＋sin(60°－B)
31
＝sin B＋
2
cos B－
2
sin B
13
＝
2
sin B＋
2
cos B
＝sin(B＋60°)
＝1，
∴B＝30°，C＝30°.
∴△ABC是等腰的钝角三角形．
22．(14分)已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，
n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；

π
(2)若m⊥p ，边长c＝2，角C＝
3
，求△ABC的面积．
(1)证明 ∵m∥n，∴asin A＝bsin B，
ab
即a·＝b·
2R2R
，
其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.
∴△ABC为等腰三角形．
(2)解 由题意知m·p＝0，
即a(b－2)＋b(a－2)＝0.
∴a＋b＝ab.
由余弦定理可知，4＝a
2
＋b
2
－ab＝(a＋b)
2
－ 3ab，
即(ab)
2
－3ab－4＝0.
∴ab＝4(舍去ab＝－1)，
11
π
∴S
△ABC
＝
2
absin C＝
2
×4×sin
3
＝3.