高中数学必修五习题第一章解三角形有答案解析

必修五
第一章 解三角形

1.在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．非钝角三角形 5
2
＋6
2
－8
2
3
解析：最大边AC所对角 为B，则cosB＝＝－<0，∴B为钝角．
2×5×620
答案 C
2．在△ABC中，已知a＝1，b＝3，A＝30°，B为锐角，那么A，B，C的大小关系为( )
A．A>B>C B．B>A>C C．C>B>A D．C>A>B
abbsinA3
解析 由正弦定理＝，∴sinB＝＝.∵B为锐角，∴B＝60°，则C＝90°，故C>B>A.
sinAsinBa2
答案 C
3．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
32
A．42 B．43 C．46 D.
3
3
8×
2
asinB8×sin60°
解:由A＋ B＋C＝180°，可求得A＝45°，由正弦定理，得b＝＝＝＝46.
sinA
sin45°
2
2
答案 C
→→
4．在 △ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则BA
·BC
的值为( )
A．5 B．－5 C．15 D．－15
AB
2
＋BC
2
－A C
2
25＋49－641
解析 在△ABC中，由余弦定理得：cosB＝＝＝. < br>7
2AB·BC2×5×7
1
∴BA
·BC
＝|BA|·|B C|cosB＝5×7×＝5.
7
答案 A
5．若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( )
A．1：2：3 B．1：3：2 C．1：2：3 D.2：3：2
3a
2
→→→→
a
2
＋
解析 设三边长分别为a， 3a,2a，设最大角为A，则cosA＝
－2a
2
2·a·3a
＝0，∴A ＝90°.
设最小角为B，则cosB＝
答案 A
6．在△A
1 4

2a
2
＋3a
2
2·2a·3a
－a
2
3
＝，∴B＝30°，∴C＝60°. 因此三角之比为1：2：3.
2

BC中，若a＝6，b＝9，A＝45°，则此三角形有( )
A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定
2
9×
2
3 2babsinA
解析 由＝，得sinB＝＝＝>1.∴此三角形无解．
sinBsinAa64
答案 A < br>7．已知△ABC的外接圆半径为R，且2R(sin
2
A－sin
2
C)＝(2a－b)sinB(其中a，b分别为A，B的对边)，那么
角C的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析 根据正弦定理，原式可化为
a
2
c
2
?
b
?2R
?
2
－
2
?
＝(2a－b)·， ∴a
2
－c
2
＝(2a－b)b，∴a
2
＋b
2
－c2
＝2ab，
2R
?
4R4R
?
a
2
＋b
2
－c
2
2
∴cosC＝＝，∴C＝45°.
2ab2
答案 B
8．在△ABC中，已知sin
2
A＋sin< br>2
B－sinAsinB＝sin
2
C，且满足ab＝4，则该三角形的面积为 ( )
A．1 B．2 C.2 D.3
abc
解析 由＝＝＝2 R，又sin
2
A＋sin
2
B－sinAsinB＝sin
2C，
sinAsinBsinC
a
2
＋b
2
－c2
13
可得a＋b－ab＝c.∴cosC＝＝，∴C＝60°，sinC＝.
2ab22
222
1
∴S
△ABC
＝absinC＝3.
2
答案 D
sinB
9．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为( )
sinC
8
A.
5
553
B. C. D.
835
解析 由余弦定理，得
AB
2
＋AC
2
－ BC
2
sinBAC3
cosA＝，解得AC＝3. 由正弦定理＝＝.
sinCAB5
2AB·AC
答案 D
10.在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为( )
2π5π3π
π
A. B. C. D.
3643
AB
2
＋AC
2
－BC
2
5
2
＋3
2
－7
2
12π
解析 由余弦定理，得cos∠BAC＝＝＝－，∴∠BAC＝.
23
2AB·AC2×5×3
答案 A
11．有一长为1 km的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长( )
A．0.5 km B．1 km C．1.5 km D.
3
km
2
解析 如图，AC＝AB·sin20°＝sin20°，
AC
BC＝A B·cos20°＝cos20°，DC＝＝2cos
2
10°，∴DB＝DC－BC＝
tan10°
2cos
2
10°－cos20°＝1.
2 4

答案 B
12．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b ，c.若a＝c＝6＋2，且A＝75°，则b为( )
A．2 B．4＋23 C．4－23 D.6－2
解析 在△ABC中，由余弦定理，得a
2
＝b2
＋c
2
－2bccosA，∵a＝c，∴0＝b
2
－2bcc osA＝b
2
－2b(6＋2)cos75°，
2
?
31
?
1
－
?
＝(6－2)，∴b
2
－2b(6＋2)cos75 °＝
?
2
?
22
?
4
而cos75°＝cos(3 0°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝
1
b
2< br>－2b(6＋2)·(6－2)＝b
2
－2b＝0，解得b＝2，或b＝0(舍去)．故 选A.
4
答案 A
13．在△ABC中，A＝60°，C＝45°，b＝4，则 此三角形的最小边是____________．
bsinC4sin45°
解析 由A＋B＋C＝180°，得B＝75°，∴c为最小边，由正弦定理，知c＝＝＝4(3－1)．
sinB
sin75°
答案 4(3－1)
14．在△ABC中，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝________.
解析 由B＝A＋60°，得
13
sinB＝sin(A＋60°)＝sinA＋cosA. 22
13
又由b＝2a，知sinB＝2sinA.∴2sinA＝sinA＋cosA.
22
33
即sinA＝cosA.∵cosA≠0，
22
3
.∵0°3
答案 30°
∴tanA＝
15．在△ABC中，A＋C＝2B，BC＝5，且△ABC的面积为1 03，则B＝_______，AB＝_______.
1
解析 由A＋C＝2B及A＋B＋C＝180°，得B＝60°.又S＝AB·BC·sinB，∴10
2
1
3＝AB×5×sin60°，∴AB＝8.
2
答案 60° 8
16．在△ABC中，已知(b＋c)：(c＋a)：(a＋b)＝8：9：10，则si nA：sinB：sinC＝________.
?
b＋c＝8k，
?
解析 设
?
c＋a＝9k，
可得a：b：c＝11：9：7.
?
?
a＋b＝10k，
∴sinA：sinB：sinC＝11：9：7.
答案 11：9：7
17．在非等腰△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且a
2
＝b(b＋c)．
(1)求证：A＝2B；
(2)若a＝3b，试判断△ABC的形状．
a
2
＋c
2
－b
2
bc＋c
2
b＋ca
解 (1)证明：在△ABC中，∵a＝ b·(b＋c)＝b＋bc，由余弦定理，得cosB＝＝＝＝＝
2ac2ac2a2b
22< br>
3 4

sinA
，
2sinB
∴sinA＝2sinBcosB＝sin2B.
则A＝2B或A＋2B＝π.
若A＋2B＝π，又A＋B＋C＝π，∴B＝C.这与已知相矛盾，故A＝2B.
(2)∵a ＝3b，由a
2
＝b(b＋c)，得3b
2
＝b
2
＋bc， ∴c＝2b.
又a
2
＋b
2
＝4b
2
＝c
2
.
故△ABC为直角三角形．
18．锐角三角形ABC中，边a，b是方程x
2
－23x＋2＝0的两根，角A，B满足2sin(A＋B)－3＝0.求：
(1)角C的度数；
(2)边c的长度及△ABC的面积．
解 (1)由2sin(A＋B)－3＝0，得sin(A＋B)＝
3
.
2
∵△ABC为锐角三角形，∴A＋B＝120°，∴∠C＝60°.
(2)∵a，b是方程x
2
－23x＋2＝0的两个根，
∴a＋b＝23，ab＝2.
∴c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcosC＝(a＋b)
2
－3ab＝12－6＝6.
∴c＝6.
1133
S
△
ABC
＝absinC＝
×2×
＝.
2222
19.已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b )，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
π
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．
3
解 (1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB.
abab
由正弦定得知，sinA＝， sinB＝(其中R为△ABC外接圆的半径)，代入上式，得a·＝b·，∴a＝b.故
2R2R2R 2R
△ABC为等腰三角形．
(2)∵m⊥p，∴m·p＝0，∴a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.
由余弦定理c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcosC得
4＝(a＋b)
2
－3ab，即(ab)
2
－3ab－4＝0.
解得ab＝4，ab＝－1(舍去)．
11
π
∴△ABC的面积S＝absinC＝
×4×sin
＝3.
223





4 4