高中数学必修五第一章解三角形 教案

1．1．1正弦定理
（一）教学目标
1．知识与技能:通过对任意三角形边 长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方
法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角 形的两类基本问题。
2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边 与其对角的关
系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用
的实践操作。
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培 养学生合情
推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间< br>的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
（二）教学重、难点
重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
（三）学法与教学用具
学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
，接着就一般斜
三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，
让学生发现向 量知识的简捷，新颖。
教学用具：直尺、投影仪、计算器
（四）教学设想
[创设情景]
如图1．1-1，固定
?
ABC的边CB及
?
B，使边AC绕着顶点C转动。 A
思考：
?
C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角
?
C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B

[探索研究] (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的 等
式关系。如图1．1-2，在Rt
?
ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数
a
b
c
?sin
A
，
?sin
B
，又
sin
C
?1?
, A
c
c
c
abc
则
???
c
b c
sin
A
sin
B
sin
C< br>abc
从而在直角三角形ABC中， C a B
??
sin
A
sin
B
sin
C
的定 义，有
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3 ，当
?
ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的
定义， 有CD=
a
sin
B
?
b
sin
A
,则< br>a
sin
A
?
b
sin
B
， C

3

同理可得
从而
c
sin
C
?
?
b
sin
B
?
， b a
a
sin
A
b
sin
B
c
sin
C
A c B
(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量 来研究
这个问题。
uruuur
（证法二）：过点A作
j
?
AC
， C
uuuruur
由向量的加法可得
AB
?
AC
?
CB

uruururuuuruur
则
j
?
AB
?
j
?(
AC
?
CB
)
A B
uruururuuururuurur
∴j
?
AB
?
j
?
AC
?
j
?
CB

j

uur
ruu urruuur
jABcos
?
90
0
?A
?
?0 ?jCBcos
?
90
0
?C
?

∴
csinA?asinC
，即
ac
?

sinA sinC
ruuur
bc
?
同理，过点C作
j?BC
，可得
sinBsinC
从而
a
s in
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C

类似可推出，当
?
ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学 生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C

[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同 一正数，即
存在正数k使
a
?
k
sin
A
，
b
?
k
sin
B
，
c
?
k
si n
C
；
（2）
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
等价于
a
sin< br>A
?
b
sin
B
，
c
sin
C?
b
sin
B
，
a
sin
A
?
c
sin
C

从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任 意两角及其一边可以求其他边，如
a
?
b
sin
A
； sin
B
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如
s in
A
?sin
B
。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。


[例题分析]
例1．在
?ABC
中，已知
A?32.0
0
，
B?81.8
0
，
a?42.9
cm，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，
a
b

4

C?180
0
?(A?B)


?180< br>0
?(32.0
0
?81.8
0
)


?66.2
0
；
根据正弦定理，
asinB42.9sin81.8
0
b???80.1(cm)
；
sinA
sin32.0
0
根据正弦定理，
asinC42.9sin66.2
0
c???74.1(cm).

0
sinA
sin32.0
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在
?ABC
中，已知
a?20
cm，
b?28
cm，
A?40
0
，解三角形（角度精确到
1
0
，边长精确到1cm）。
解：根据正弦定理，
bsinA28sin40
0

sinB???0.8999.
< br>a20
因为
0
0
＜
B
＜
180
0< br>，所以
B?64
0
，或
B?116
0
.

⑴ 当
B?64
0
时，

C?180
0?(A?B)?180
0
?(40
0
?64
0
)?76
0
，
asinC20sin76
0
c???30(cm).

sinA
sin40
0
⑵ 当
B?116
0
时，

C?180
0
?(A?B)?180
0
?(400
?116
0
)?24
0
，
asinC20sin24
0
c???13(cm).

sinA< br>sin40
0
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
[随堂练习]第5页练习第1（1）、2（1）题。
a
?
b
?
c

sin
A
?sin
B
?sin
C
ab
c
分析：可通过设一参数k(k>0)使
???
k
,
sin
A
sin
B
sin< br>C
ab
c
a
?
b
?
c
证明出 ???
sin
A
sin
B
sin
C
sinA
?sin
B
?sin
C
ab
c
解：设
???
k
(
k
>o)

sin
A
sin
B
sin
C
则有
a
?
k
sin
A
，
b
?
k
sin
B
，
c
?
k
sin
C

a
?
b
?
c
k< br>sin
A
?
k
sin
B
?
k
sin
C
从而==
k

sin
A
?sin
B?sin
C
sin
A
?sin
B
?sin
C< br>3
a
a
?
b
?
c
又=2
?2?< br>k
，所以
?
0
sin
A
sin60
sin< br>A
?sin
B
?sin
C
例3．已知
?
AB C中，
?
A
?60
0
，
a
?3
,求

5

评述：在
?
ABC中，等式
a
si n
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
?
a
?
b
?
c
?
k
?
k
?0
?

sin
A
?sin
B
?sin
C
恒成立。
[补充练习]已知
?
ABC中，
sin
A
:sin
B:sin
C
?1:2:3
，求
a
:
b
:
c

（答案：1：2：3）
[课堂小结]（由学生归纳总结）
（1）定 理的表示形式：
a
sin
A
sin
B
sin
C或
a
?
k
sin
A
，
b
?
k
sin
B
，
c
?
k
sin
C
(< br>k
?0)

（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
（五）评价设计
①课后思考题：（见例3）在
?
ABC中，
?b
?
c
?
a
?
b
?
c
?k
?
k
?0
?
；
sin
A
?sin
B
?sin
C
a
sin
A
?
b
s in
B
?
c
sin
C
?
k
(
k< br>>o)
，这个k与
?
ABC有
什么关系？
②课时作业：第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。




























6

1.1.2余弦定理
（一）教学目标
1．知识与技能:掌握余弦定 理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定
理解决两类基本的解三角形问题。 2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定
理解决 两类基本的解三角形问题，
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 ；通过三角函数、
余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
（二）教学重、难点
重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
（三）学法与教学用具
学 法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已
知的两边和它们 的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易
地证明了余弦定理。从而利用 余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角
教学用具：直尺、投影仪、计算器
（四）教学设想
[创设情景] C
如图1．1-4，在
?
ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和
?
C，求边c b a

A c B
(图1．1-4)
[探索研究]
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A
uurruurruurrrrrrr
如图1．1-5，设
CB
?
a
，
CA
?
b
，
AB
?
c
，那 么
c
?
a
?
b
，则
b

c

rrrrrr
c
?
c
?
c
?
a
?
ba
?
b
rrrrrr
r
?a
?
a
?
b
?
b
?2
a
?< br>b

C

a
B
r
2
r
2
rr
?
a
?
b
?2
a
?
b
2
r
????
从而
c
2
?
a
2
?
b
2
?2
ab
cos
C
(
图1．1-5)

同理可证
a
2
?b
2
?
c
2
?2
bc
cos
A

b
2
?
a
2
?
c
2
?2ac
cos
B

于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一 边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角
的余弦的积的两倍。即
a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bc
cos
A

b
2
?
a
2
?< br>c
2
?2
ac
cos
B


7 < /p>

c
2
?
a
2
?
b
2
?2
ab
cos
C

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已 知其中三个量，可以求出第四个量，能否由
三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
b
2
?c
2
?a
2

cosA?
2bc
a
2
?c
2
?b
2

cosB?< br>2ac
b
2
?a
2
?c
2

cosC?
2ba
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间 的关系，余弦定理则指出了一般三角
形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若
?
ABC中，C=
90
0
，则
cosC ?0
，这时
c
2
?a
2
?b
2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
[例题分析]
例1．在
?
ABC中，已知
a?23
，
c?6?2
，
B?60
0
，求b及A
⑴解：∵
b
2
?a
2< br>?c
2
?2accosB

=
(23)
2
? (6?2)
2
?2?23?(6?2)
cos
45
0

=
12?(6?2)
2
?43(3?1)

=
8

∴
b?22.

求
A
可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
b
2
?c
2
?a
2
(22)
2
?(6?2)
2
?( 23)
2
1
??,
⑵解法一：∵cos
A?
2bc2
2?22?(6?2)

0
∴
A?60.

a23
解法二：∵sin
A?sinB??sin45
0
,

b
22
又∵
6?2
＞
2.4?1.4?3.8,

23
＜
2?1.8?3.6,

∴
a
＜
c
，即
0
0
＜
A
＜
90
0
,

0
∴
A?60.

评述：解法二应注意确定A的取值范围。

8

例2．在
?
ABC中，已知
a?13 4.6cm
，
b?87.8cm
，
c?161.7cm
，解三角形
（可由学生通过阅读进行理解）
解：由余弦定理的推论得：
b
2
?c
2
?a
2
cos
A?

2bc


87.8
2
?161.7
2
?134.6
2

?
2?87.8?161.7
?0.5543,

A?56
0
20
?
；
c
2
?a
2
?b
2
cos
B?

2ca


134.6
2
?161.7
2
?87.8
2

?
2?134.6?161.7
?0.8398,

B?32
0
53
?
；
?

C?180< br>0
?(A?B)?180
0
?(56
0
20
?
?32
0
53)
?

?90
0
47.
[随堂练习]第8页练习第1（1）、2（1）题。
[补充练习]在
?
ABC中，若
a
2
?
b
2?
c
2
?
bc
，求角A（答案：A=120
0
）
[课堂小结]
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
（五）评价设计
①课后阅读：课本 [探究与发现]
②课时作业： [习题1.1]A组第3（1），4（1）题。


















9

1．1．3解三角形的进一步讨论
（一）教学目标
1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有 两解或一解或无
解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
2. 过程 与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，
三角函数公式及三 角形有关性质求解三角形问题。
3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形 的有关性质和三角函数
的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上 反映了事
物之间的内在联系。
（二）教学重、难点
重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
（三）学法与教学用具
学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。
教学用具：教学多媒体设备
（四）教学设想
[创设情景]
思考：在?
ABC中，已知
a
?22
cm
，
b
?25< br>cm
，
A
?133
0
，解三角形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边 的对角解三角形时，在某些条
件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
[探索研究]
例1．在
?
ABC中，已知
a
,
b
,
A
，讨论三角形解的情况
分析：先由
sin
B
?
则
C
?180
0
?(
A
?
B
)

从而
c
?
b
sin
A
可进一步求出B；
a
a
sin
C

A
1．当A为钝角或直角时，必须
a
?
b
才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果
a
≥
b
，那么只有一解；
如果
a
?
b
，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若
a
?
b
sin
A
，则有两解；
（2）若
a
?
b
sin
A
，则只有一解；
（3）若
a
?
b
sin
A
，则无解。
（以上解答过程详见课本第9
:
10页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
b
sin
A
?
a
?
b
时，有两解；其它情况时则只有一解或无 解。
[随堂练习1]
（1）在
?
ABC中，已知
a
?8 0
，
b
?100
，
?
A
?45
0
，试判断此三角形的解的情况。

10

（2）在
?
ABC中，若
a
?1
，
c
?
1
，
?C
?40
0
，则符合题意的b的值有
_____个。

2
（3）在
?
ABC中，
a
?
xcm
，
b
?2
cm
，
?
B
?45
0
，如果利用正弦 定理解三角形有两解，求
x的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3）
2?
x
?22
）
例2．在
?
ABC中，已知
a
?7
，
b
?5，
c
?3
，判断
?
ABC的类型。
分析：由余弦定理可知
a
2
?
b
2
?
c
2
?
A
是直角??ABC是直角三角形
a
2
?b
2
?
c
2
?
A
是钝角??ABC是钝角三角 形

a
2
?
b
2
?
c
2
?
A
是锐角??ABC是锐角三角形
（注意：
A
是锐角??ABC是 锐角三角形
）
解：
Q7
2
?5
2
?3
2
，即
a
2
?
b
2
?
c
2
，
∴
?ABC是钝角三角形
。
[随堂练习2]
（1）在
?
ABC中，已知
sin
A
:sin
B
:sin
C
?1:2:3
，判断
?
ABC的类型。
（2）已知
?
ABC满足条件
a
cos
A
?
b
cos
B
，判断
?
ABC的类型。
（答案：（1）
?ABC是钝角三角形
；（2）
?
ABC是等腰或直角三角形）
例3．在
?
AB C中，
A
?60
0
，
b
?1
，面积为
3< br>a
?
b
?
c
，求的值
2
sin
A
?sin
B
?sin
C
111
分析：可利用三角形面积定理
S
?
ab
sin
C
?
ac
sin
B
?
bc
sin
A
以及正弦定理
222
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sinC
?
a
?
b
?
c

sin
A
?sin
B
?sin
C
13
解：由
S
?< br>bc
sin
A
?
得
c
?2
，
22
则
a
2
?
b
2
?
c
2
? 2
bc
cos
A
=3，即
a
?3
，
从而
a
?
b
?
c
a
??2
sin
A
?sin
B
?sin
C
sin
A[随堂练习3]
（1）在
?
ABC中，若
a
?55
，
b
?16
，且此三角形的面积
S
?2203
，求角C （2）在
?
ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积
S
?< br>（答案：（1）
60
0
或
120
0
；（2）
45
0
）
[课堂小结]
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用。
a
2
?
b
2
?
c
2
4
，求角C

11

（五）评价设计（课时作业）
（1）在
?
A BC中，已知
b
?4
，
c
?10
，
B
?3 0
0
，试判断此三角形的解的情况。
（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。
（3）在
?
ABC中，
A
?60
0
，
a
?1
，< br>b
?
c
?2
，判断
?
ABC的形状。
（4 ）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程
5
x
2
? 7
x
?6?0
的根，
求这个三角形的面积。




































12

第一课时解三角形应用举例
（1）教学目标
(a)知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关 测量距离的实际
问题，了解常用的测量相关术语
(b)过程与方法 ：首先通过巧妙的设疑， 顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其
次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考 ——探索猜想——总结规律——反馈
训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺 开例题，设计变式，同
时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题 。对于例
2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正
(c)情感与价值：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用 图形、
数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
（2）教学重点、难点
教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的
解
教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图
（3）学法与教学用具
让学生回忆 正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，让学生尝试绘制知识
纲目图。生活中错综复杂 的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学
好本节课的基础。解有关三角形的应用 题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质
和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要 多琢磨和多体会。
直角板、投影仪（多媒体教室）
（4）教学设想
1、复习旧知
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、设置情境

请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这 么一个问题，“遥
不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估 算出
了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度
等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借
助解直角三角 形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实
施。如因为没有足够的空间 ，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。
于是上面介绍的问题是用以前的方法所 不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理
在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
3
、

新课讲授

（1）解决实际测量问题的过程一般要充 分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的
条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通 过建立数学模型来求解
(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者 在A的同侧，在
所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，
?
BAC=51?
，
?
ACB=
75?
。求A、B两点
的距离(精 确到0.1m)

13

启发提问1：
?
ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从 一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题
，
题目条
件告诉了边AB的对角 ，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算
出AC的对角，应用正弦定理算出 AB边。
解：根据正弦定理，得
AB

=

AC

sin?ACB
sin?ABC
AB =
ACsin?ACB

sin?ABC

=
55sin?ACB

sin?ABC
=
55sin75?

sin(180??51??75?)

=
55sin75?

sin54?
≈ 65.7(m)
答:A、B两点间的距离为65.7米
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30
?
，
灯塔B在观察站C南偏东60
?
，则A、B之间的距离为多少？
老师指导学生画图，建立数学模型。
解略：
2
a km
例2、（ 动画演示辅助点和辅助线）如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测
量A、B两点间距 离的方法。
分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造
三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可
求出 另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。

14

解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点 分别测得
?
BCA=
?
，
?
ACD=
?
，
?
CDB=
?
，
?
BDA =
?
，在
?
ADC和
?
BDC中，应用正弦定理得
AC
=

BC
=

asin(
?
?
?
)

=
asin(
?
?
?
)

sin[1 80??(
?
?
?
?
?
)]sin(
?
?
?
?
?
)
asin
?
asin
?

=

sin[180??(
?
?
?
?
?
)]sin(
?
?
?
?
?
)
计算出AC 和BC后，再在
?
ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离
AB
=
AC
2
?BC
2
?2AC?BCcos
?

分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。
变式训练：若在河岸 选取相距40米的C、D两点，测得
?
BCA=60
?
，
?
ACD=30
?
，
?
CDB=45
?
，
?
BDA =60
?

略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20
6

评注：可见， 在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些
过程较繁复，如何找到最优 的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选
择最佳的计算方式。
4、

学生阅读课本，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。
5、

课堂练习
课本练习第1、2题
6、

归纳总结
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标 ，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建
立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
（5）评价设计
1、 课本第1、2、3题
2、 思考题：某人在M汽车站的北偏西20
?
的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公

15

路向M站行驶 。公路的走向是M站的北偏东40
?
。开始时，汽车到A的距离为31千米，
汽车前进 20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽
车站？
解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。在
?
ABC中，AC=31， BC=20，
AB=21，由余弦定理得
AC
2
?BC
2
?AB
2
23
cosC==,
2AC?BC
31
432
则sin
2
C =1- cos
2
C =
2
,
31
123
sinC =,
31
所以 sin
?
MAC = sin（120
?
-C）= sin120
?
cosC - cos120
?
sinC =
在
?
MAC中，由正弦定理得
MC =
353

62
ACsin?MAC
31
353
?
==35
62
sin?AMC
3
2
从而有MB= MC-BC=15
答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。












第二课时解三角形应用举例
（1）教学目标
(a)知识和技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题,

16

掌握三角形的面积公式的简单推导和应用
(b)过 程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结
出该公式的特点，循 序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学
知识的生动运用，教师要放手让学 生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦
定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生 自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思
维，有利地进一步突破难点，。
(c)情感与价值 ：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；
进一步培养学生研究和发现能 力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验
（2）教学重点、教学难点
教学重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目
教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题
（3）学法与教学用具
正 弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及
公式的常规变形 方向，并进一步推出新的三角形面积公式。同时解有关三角形的题目还要注
意讨论最终解是否符合规律， 防止丢解或增解，养成检验的习惯。
直角板、投影仪
（4）教学设想
1、

设置情境
师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在
?
ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h
a
、h
b
、hc
，那么它们如何用已知边和角表
示？
生：h
a
=bsin
C
=csin
B

h
b
=csin
A
=asin
C

h
c
=asin
B
=bsina
A

1
ah,应用以上求出的高的公式如h
a
=bsin
C代入，
2
1
可以推导出下面的三角形面积公式，S=absin
C，
大家能推出其它的几个公 式吗？
2
11
生：同理可得，S=bcsin
A,
S=acsinB
22
师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条 件也可求出三角形的
面积呢？
生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解
2、

新课讲授
师：根据以前学过的三角形面积公式S=
例1、在
?
ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm
2
）
（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5
?
;
（2）已知B=62.7
?
,C=65.8
?
,b=3.16cm;

17

（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，
我们 可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求
出三角形的面积。
1
解：（1）应用S=acsinB，得
2
1
S =
?
14.8
?
23.5
?
sin148.5
?< br>≈90.9(cm
2
)
2
(2)根据正弦定理，

b

=

c

sinC
sinB
sinB
c
=
bsinC

S =
11
bcsin
A =
b
2
sinCsinA

22
sinB
A = 180
?
-(B + C)= 180
?
-(62.7
?
+ 65.8
?
)=51.5
?

sin65.8
?
sin51.5
?
1
22
S =
?
3.16
?
≈4.0(cm)
?
2
sin62.7
(3)根据余弦定理的推论，得
c
2
?a
2
?b
2
cosB =
2ca
38.7
2
?41.4
2
?27.3
2
=
2?38.7?41.4
≈0.7697
sinB =
1 ?cos
2
B
≈
1?0.7697
2
≈0.6384
应用S=
S ≈
1
acsinB，得
2
1
?41.4
?
38.7
?
0.6384≈511.4(cm
2)
2
例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园, 经过测量
得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（ 精确到
0.1cm
2
）？
师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。
由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。
解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，
c
2
?a
2
?b
2
cosB=
2ca

18

127
2
?68
2
?88
2
=≈0.7532
2?127?68
sinB=
1?0.7532
2
?
0.6578
1
acsinB
2
1
S ≈
?
68
?
127
?
0.6578≈2840.38(m< br>2
)
2
应用S=
答：这个区域的面积是2840.38m
2
。
例3、在
?
ABC中，求证：
a
2
?b
2
sin
2
A?sin
2
B
（1）
?;

22
csinC
（2）
a
2
+
b
2
+c
2
=2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：这是一道关于 三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到
用正弦定理来证明
证明：（1）根据正弦定理，可设

a
=
b
=
c
= k
sinAsinB
sinC
显然 k
?
0，所以
a
2
?b
2
k
2
sin
2
A?k
2
sin
2
B
?
左边=
c
2
k2
sin
2
C
sin
2
A?sin
2
B
==右边
sin
2
C
（2）根据余弦定理的推论，
b
2
? c
2
?a
2
a
2
?b
2
?c
2< br>c
2
?a
2
?b
2
右边=2(bc+ca+ab)
2bc2ca2ab

=(b
2
+c
2
- a
2
)+(c
2
+a
2
-b
2
)+(a
2
+b
2
-c
2
)
=a
2
+b
2
+c
2
=左边 变式练习1：已知在
?
ABC中，
?
B=30
?
,b= 6,c=6
3
,求a及
?
ABC的面积S
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。
答案：a=6,S=9
3
;a=12,S=18
3

变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状，
（1） acosA = bcosB

19

（2） sinC =
sinA?sinB

cosA?cosB
提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”
（1） 师：大家尝试分别用两个定理进行证明。
生1：（余弦定理）得
b
2
?c
2
?a
2
c
2
?a
2
? b
2
a
?
=b
?

2bc2ca
?
c
2
(a
2
?b
2
)?a
4
?b
4
=
(a
2
?b
2
)(a
2
?b
2
)

?
a
2
?b
2
或c
2< br>?a
2
?b
2

?
根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形
生2：（正弦定理）得
sinAcosA=sinBcosB,
?
sin2A=sin2B,
?
2A=2B,
?
A=B
?
根据边的关系易得是等腰三角形
师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而 第一位同学的做法有两种，请大家思考，
谁的正确呢？
生：第一位同学的正确。第二位同学遗 漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A
与2B两个角互补，即2A+2B=1 80
?
，A+B=90
?

(2)（解略）直角三角形
3、

课堂练习
课本第21页练习第1、2题
4、归纳总结

利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三 角函数式，然后化简
并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可 用余弦
定理甚至可以两者混用。
（5）评价设计
1、课本第23页练习第12、14、15题
2、如图，在四边形ABCD中，
?< br>ADB=
?
BCD=75
?
，
?
ACB=
?
BDC=45
?
，DC=
3
，求：
（1） AB的长
（2） 四边形ABCD的面积


20

略解（ 1）因为
?
BCD=75
?
，
?
ACB=45
?< br>，所以

?
ACD=30
?
，又因为
?
BDC=45
?
，所以

?
DAC=180
?
-（75
?
+ 45
?
+ 30
?
）=30
?
，
所以 AD=DC=
3

在
?
BCD中，
?
C BD=180
?
-（75
?
+ 45
?
）=60
?
，所以
6?2
BD
3sin75
?
DC

=

，BD = =
?
?
?
2
s in75
sin60
sin60
在
?
ABD中，AB
2=AD
2
+ BD
2
-2
?
AD
?
B D
?
cos75
?
= 5,
所以得 AB=
5

（3） S
?ABD
=
3?23
1

?
AD
?
BD
?
sin75
?
=
4
2
3?3
同理， S
?BCD
=
4
6?33
所以四边形ABCD的面积S=
4


21