解三角形三类经典题型

解三角形三类经典类型

类型一 判断三角形形状
类型二 求范围与最值
类型三 求值专题

类型一 判断三角形形状
例1：已知△ABC中,bsinB=cs inC,且
sinA?sinB?sinC
,试判断三角形的形状．
解：∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sinB=sinC，∴ sinB=sinC ∴ B=C
由
sinA?sinB?sinC
得
a?b?c
∴三角形为等腰直角三角形．
例２：在△ABC中，若Ｂ=
60
，２b=a+c,试判断△ABC的形状.
解:∵２b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B=
60
得sinA+sinC=
3

由三角形内角和定理知sinA+sin(
12 0?A
)=
3
,整理得 sin(A+
30
)=1
∴A+
30?90,即A?60
,所以三角形为等边三角形.
???
?
?
?
?
22
222
222
222
ta nAa
2
?
例3：在△ABC中，已知，试判断△ABC的形状．
tanB
b
2
sinAcosBsin
2
A
?
解：法1：由 题意得 ，化简整理得sinAcosA=sinBcosB即sin2A=sin2B
2
sinBcosA
sinB
∴2A=2B或2A+2B=π ∴A=B或
A?B?
?
2
，∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形． < br>a
2
?c
2
?b
2
a?
sinAcosBa
2
a
2
2ac
?
法2：由已知得结合正、余弦定理得
?
2
，
222
sinBcosA
b
2
b?c? ab
b?
2bc
22222
整理得
(a?b)(a?b?c)?0< br> ∴
a?b或a?b?c

22222
即三角形为等腰三角形或直角三角形
例4：在△ABC中，（1）已知sinA=2cosBsinC，试判断三角形的形状；
（2）已知sinA=
sinB?sinC
，试判断三角形的形状．
cosB?cosC
解：(1)由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC
整理得sinBcosC－cosBsinC=0即sin(B－C)=0 ∴ B=C 即三角形为等腰三角形.
(2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC，结合正、余弦定理得

a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2?c
2
a??a??b?c
，化简整理得
(a
2
?b
2
?c
2
)(b?c)?0

2ac2ab
∴
a?b?c
即三角形为直角三角形．
例5：在△ABC中，（1）已知a－b=ccosB－ccosA，判断△ABC的形状．
（2）若b=asinC,c=acosB,判断△ABC的形状．
222
a
2
?c
2
?b
2
b
2
?c
2
? a
2
?c?
解：（1）由已知结合余弦定理可得
a?b?c?
，整理 得
2ac2bc
(a?b)(a
2
?b
2
?c
2< br>)?0
∴
a?b或a
2
?b
2
?c
2，∴三角形为等腰三角形或直角三角形
bsinB
a
2
?c
2
?b
2
（2）由b=asinC可知
?sinC?
，由c=aco sB可知
c?a?
整理得
asinA
2ac
b
2
? c
2
?a
2
，即三角形一定是直角三角形，∠A=
90
?< br>，∴sinC=sinB∴∠B=∠C，∴△ABC
为等腰直角三角形．
例6：已知△ ABC中，
cosA?
4
，且
(a?2):b:(c?2)?1:2:3，判断三角形的形状．
5
解：由题意令
a?2?k,b?2k,c?2?3k( k?0)
，则
a?k?2,b?2k,c?3k?2

∵
cosA?
4
222
,由余弦定理得
k?4
∴
a?6,b?8,c?10
∴
a?b?c
即△ABC为直
5Ab?c
，则△
ABC
的形状为______
?
22c
角三角形．
7.在△
ABC
中，
a、
b
、
c
分别为
A
、
B
、
C
的对边，
cos
2
8.在
?
ABC中，若
tanA 2c?b
?,
，则A=
tanBb


类型二 求范围与最值

1、在
?ABC
中，角
A、B、 C
所对的边分别为
a、b、c
满足
b
2
?c
2< br>?a
2
?bc
，
AB?BC?0
,
a?
3< br>,则
b?c
的取值范围是
2
bc
cb
2 、在△
ABC
中，
AD
为
BC
边上的高线，
AD< br>＝
BC
，角
A
，
B
，
C
的对边为< br>a
，
b
，
c
，则＋的最
大值是________．
1
2
1
ab
＋
c
－
a
解析 因为
AD
＝
BC
＝
a
，由
a
＝
bc< br>sin
A
，解得sin
A
＝，再由余弦定理得cos
A
＝
22
bc
2
bc
2222

1?
bca
2
?
1bc
bc
?
?
??< br>?
?(??sinA)
，得＋＝2cos
A
＋sin
A< br>，又
A
∈(0，π)，最大
cb
2
?
cbbc
?
2cb
值为 5

解析几何或者几何法
1解析几何法：
?ABC,BC?2,AB?3AC,求?ABC面积的最大值。

2几何法：
?ABC，知道BC=4，AC=23，求B的范围。

方程有解，利用判别式求范围。
附例：
4、已知
?ABC
中，B =
?
3
,b?3
，且
?ABC
有两解，则边a的取值范围是
5、借力打力型求取值范围
附例：钝角三角形中，
B?
是 ？
?
3
，若最大边和最小边长的比为m，则m的取值范围
设钝角三角形的另 外两个角是

?
+，
?
-
3
??
3

6、 已 知△
ABC
中，
AB
＝1，
BC
＝2，则角
C的取值范围是







c
B
a
A
b
C
7、在△< br>ABC
中若
?C?2?B
,则
8、已知
?ABC
中， B=
AB
的取值范围
AC
?
3
,b?3
，且
?ABC
有一解，则边a的取值范围是
9、已 知
?ABC
中,
a?x,b?2,B?45
,若该三角形有两解,则
x
的取值范围是
10、钝角三角形ABC的三边长为
a
,
a
+1,
a
+2(
a?N
)，则a= < br>11、在锐角
?ABC
中，
BC?1
，
B?2A
，则
AC
的取值范围为 .
12、设
?ABC
的内角 A，B，C所对的边分别为
a,b,c
，若三边的长为连续的三个正整数，
且
A?B?C
，
A?2C
，则
sinA:sinB:sinC
为

14、在锐角三角形
?ABC
中，
A?2B
，则b11
的取值范围是
(,)

b?c32c
2
?(a?b)
2
15、在锐角三角形
?ABC
中，
S?
，C既不是最大角，也不是最小角，求k值
k
取值范围________ .
C
,C?(45
?
,90
?
)
，
k?(42?4,4)

2
16. 在钝角三角形
?AB C
中，已知
a?1,b?2,
则
c
的取值范围为
(1,3)?(5,3)


k?4tan
类型三 求值专题
1、在△ABC中，若BC=5，CA=7，AB=8，则△ABC的最大角与最小角之和是 .
2、在△
ABC
中，已知(
b
＋
c
)∶(c
＋
a
)∶(
a
＋
b
)＝4∶5∶6，则si n
A
∶sin
B
∶sin
C
＝________.
3、在△
ABC
中，
D
为
BC
边上一点，
BC< br>＝3
BD
，
AD
＝2，∠
ADB
＝135°，若AC
＝2
AB
，则
BD
＝________.



解析：∵(
b
＋
c
)∶(
c
＋
a
)∶(
a
＋
b
)＝4∶5∶6，∴设
b
＋
c
＝4
k
，
c
＋
a
＝5
k< br>，
a
＋
b
＝6
k
(
k
＞0)， < br>753
解得
a
＝
k
，
b
＝
k
，
c
＝
k
，∴sin
A
∶sin
B
∶s in
C
＝
a
∶
b
∶
c
＝7∶5∶3.答案 ：7∶5∶3
222
4、钝角三角形边长为
a
，
a
＋1，
a
＋2，其最大角不超过120°，则
a
的取值范围是________．
5、在△ABC中，已知a-b=4,a+c=2b且最大内角为120，则a= .
6、如果满足∠
ABC
＝60°，
AC
＝12，
BC
＝
k
的三角形恰有一个，那么
k
的取值范围是________．
7、在△
ABC
中，若
C
＝30°，
AC
＝33，
AB
＝3，则△
ABC
的面积为________．
0
ABAC AC
3313
解析：由正弦定理得：＝，sin
B
＝sin
C
＝·＝，所以
B
＝60°或120°.
sin
C
sin
BAB
322
11931
当
B
＝60°时，
S
△< br>＝
AB
×
AC
＝·3·33＝；当
B
＝120°时，
S
△
＝
AB
×
AC
·sin30°
222 2
93
＝.
4
9393
答案：或
24
8、 仅有一个等式作为方程求解时，注意整体思想，整体带入
附例：在锐角△
ABC
中， 角
A
、
B
、
C
的对边分别为
a
、
b
、
c
.若＋＝6cos
C
，则
tan
C
＋的值是____4____
tan
B
9 海上有A、B两个 小岛，相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60?的视角，从B岛望C岛
和A岛成75?的视角；则B 、C间的距离是 海里.
10．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰 艇在A处获悉后，测得该渔轮在方
ba
ab
tan
C
tan A

位角45?、距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角105?的方向、以 每小时9海里
的速度向附近的小岛靠拢。我海军舰艇立即以每小时21海里的速度前去营救；则舰艇靠< br>近渔轮所需的时间是 小时.
a?2b?3c
?
__________． 4
sinA?2sinB?3 sinC
1
12、在
?
ABC中，三边a，b，c与面积s的关系式为
s?(a
2
?b
2
?c
2
),
则角C为 .
45

4
tanA2c?b
?,
，求
A
. 13、在
? ABC
中，在
?
ABC中，若
tanBb
sinA
2sin C?sinB
2sinC
??1
解：由正弦定理知
c?2RsinC
，
b?sinB
，
?
cosA
?
sinB
sin B
sinB
cosB
sin(A?B)2sinCsinC2sinC
sin AcosB2sinC
??
??1?
，
?
，
?
，
sinBcosAsinBsinBcosAsinB
cosAsinBsinB
1< br>?
?cosA?
，
?A?
.
23
11、在
?ABC
中，若A＝60，
a?23
，则
0