高中数学：解三角形应用举例练习

高中数学：解三角形应用举例练习
班级 姓名 学号 得分
一、选择题
1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α、β的关系
为…………………（ ）
A.α＞β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180°
2．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60 °，则塔
高为…..（ ）
A.
3.在
4003
400
B.
米 C. 200
3
米
3
3
D. 200米
?ABC一定?ABC中, 已知sinA = 2 sinBcosC, 则
是…………………………………….( )
A. 直角三角形; B. 等腰三角形; C.等边三角形; D.等腰直角
三角形.
4.如图，△ ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的
太阳光线与地面成40°角，为了 使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面
所成的角为……………….( )
阳光
C
B
D
地面
A

D.45° A.75° B.60° C.50°
5.台风中心从A地以20 kmh的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地
区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时间
为…………………………………..( )
A.0.5 h

6.在△ABC中，已知b = 6，c = 10，B = 30°，则解此三角形的结果
是 …………………（ ）
A、无解 B、一解 C、两解 D、解的个数
不能确定
B.1 h C.1.5 h D.2 h

二、 填空题
7. 甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶
的俯角为30°，则甲、 乙两楼的高分别是
8.我舰在敌岛A南50°西相距12nmile的B 处，发现敌舰正由岛沿北10°西的
方向以10nmileh的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则 需要速度的大小
为
9.有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速 度为
2
，为使所走路程最短，小船
B
C
2
D
A1
A
B
60
o
45
o
D
20 m
C
应朝_______方向行驶.

10．.在一座20 m高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，
那么这座塔的高为______ _.

三、 解答题
11．如图：在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡
的斜度为15?，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45?，假设建筑物高
50m， 求此山对于地平面的斜度?









12.某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，
现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分
为直线段，现 要求市中心O与AB的距离为10 km，问把A、B分别设在公路上

离中心O多远处才 能使|AB|最短?并求其最短距离.（不要求作近似计算）

B
L
A
O




13.海岛上有一座高出水面1000米的山，山顶上设有观察站A，上午11时测得
一轮船在A的 北偏东60°的B处，俯角是30°，11时10分，该船位于A的北偏
西60°的C处，俯角为60° ，
（1）求该船的速度；
（2）若船的速度与方向不变，则船何时能到达A的正西方向，此时船离A的水
平距离是多少？
（3）若船的速度与方向不变，何时它到A站的距离最近？









1．2．2解三角形应用举例参考答案
一、选择题
1．B 2.A 3.B 4.C 5.B 6.C
二、填空题

7. 20
3
米，
3
）m
40
3
米 8. 14nmileh 9. 与水速成135°角的方向 10. 20（1+
3
三、解答题
13.解：在△ABC中，AB = 100m , ?CAB = 15?, ?ACB = 45??15? = 30?
由正弦定理：
100BC
△BC = 200sin15?
?
??
sin30sin15
在△DBC中，CD = 50m , ?CBD = 45?, ?CDB = 90? + ?
50200sin15
?
由正弦定理：?cos? =
3?1
,△? = 4294?
?
??
sin45sin(90?
?
)< br>14.解：在△AOB中，设OA=a，OB=b.
因为AO为正西方向，OB为东北方向，所以△AOB=135°.
则|AB|
2< br>=a
2
+b
2
－2abcos135°=a
2
+b< br>2
+
2
ab≥2ab+
2
ab=（2+
2
） ab，当且仅
当a=b时，“=”成立.又O到AB的距离为10，设△OAB=α，则△OBA=45 °－α.所
以a=
1
，b=，ab=
·==
sin
?
sin（45??
?
）sin
?
sin（45??
?
）s in
?
?sin（45??
?
）
100
22
sin
?
（cos
?
?sin
?
）
22
100< br>
=
2sin（2
?
?45?）?2
22
sin2< br>?
?（1?cos2
?
）
44
=
400
≥< br>400
2?2
，
当且仅当α=22°30′时，“=”成立.所以|AB|< br>2
≥
当且仅当a=b，α=22°30′时，“=”成立.
所以当a=b=< br>400（2?2）
2?2
=400（
2
+1）
2
，
10
=10
（
时，|AB|最短，其最短距离为20（
2
+ 1），
22?2）
sin22?30
?
即当AB分别在OA、OB上离O点1 0
（
km处，能使|AB|最短，最短距离
22?2）
为20（
2
－1）.
15. 解:（1）如图，
OB?1?cot30??3(km)
，

OC?1?cot60??
而?BOC?120?,
3
(km),
3

13139
?|BC|?3??2?3??(?)?(km),
3323
△船的速度
v?
BC
?
239(
km
h
);

1
6

（2）设船到达的正西位置为D（x，0），
33
△B的坐标为
(3cos30?,3sin30?)?(,
),

22
而C的坐标为
(
3313
cos150?,sin150?)? (?,),

3326
33
3
?
6
?x??
3
,

△B、C、D三点共线，
?
2
?
2
331
2
?x?
222
339
3
?(km),

?D(?,0)
，
?|CD|?1?
366
2
?
| CD|1
?(h)?5(min),?
该船在上午11时15分到达正西方向；
v12
3
213
（3）作OE△BC于E，则E点到A的距离最近，
?|OE|?|BC|?|OB|?|OC|sin120?,?|OE|?
?|DE|?
( km),
99339|ED|390
??(km),??(h)?(min),
452 13v2613

?15?




9011?8(min),?
船在上午11时
8
分时到A的距离最近.
131313