人教版高中数学必须5解决有关三角形计算的问题教案

1.2.4 解决有关三角形计算的问题
从容说课
本节的例7和例8说明了 在不同已知条件下三角形面积问题的常见解法，即在不同已知
条件下求三角形面积的问题，与解三角形有 密切的关系.我们可以应用解三角形的知识,求出
需要的元素,从而求出三角形的面积.已知三角形的三 边求三角形面积在历史上是一个重要的
问题.在西方有海伦公式,在我国数学史上有秦九韶的“三斜求积 公式”,教科书在阅读与思考
中对此作了介绍,在习题中要求学生加以证明．例9是关于三角形边角关系 恒等式的证明问
题,课程标准要求不在这类问题上作过于烦琐的训练,教科书例题限于直接用正弦定理和 余弦
定理可以证明的问题.
关于三角形的有关几何计算,教科书涉及了三角形的高和面积的 问题,教科书直接给出了
计算三角形的高的公式
h
A
=bsinC=csi nB,h
B
=csinA=asinC,h
C
=asinB=bsinA.
这三个公式实际上在正弦定理的证明过程中就已经得到，教科书证明了已知三角形的两
边及其夹 角时的面积公式
S=
111
absinC,S= bcsinA,S=casinB.
222
教学重点 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目.
教学难点 利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.
教具准备 三角板、投影仪等
三维目标
一、知识与技能
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题;
2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用．
二、过程与方法
1.本节课补充了 三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的
特点，循序渐进地具体运用于相关 的题型;
2.本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解．只要学生自行
掌握了两 定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点．
三、情感态度与价值观
1.让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；
2．进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验成功的愉悦.
教学过程
导入新课
[设置情境]
师 以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我 们来学习它的另一个表达公式．在
△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h
A
、h
B
、h
C
，那么它们如何用已知边和角表示？

生h
A
=bsinC=csinB,
h
B
=csinA=asinC,
h
C
=asinB=BsinA.
师 根据以前学过的三角形面积公式S?
1
ah
,应用以上求出的高的公式如h
A
=bsinC代入 ，
2

可以推导出下面的三角形面积公式：
S?
生 同理，可得
S?
1
absinC
，大家能推出其他的几个公式吗？
2
11
bcsinA
,
S?acsinB
.
22
师 除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的
面积呢？
生 如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解.
推进新课
【例1】 在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1 cm
2
）.
（1）已知A=14.8 cm,C =23.5 cm,B=148.5°;
（2）已知B=62.7°,C =65.8°,B =3.16 cm;
（3）已知三边的长分别为A=41.4 cm,B=27.3 cm,C =38.7 cm.
师 这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我
们可 以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么，求出需要的元素，就可以求出
三角形的面积．
〔生口答，师书写过程〕
1
1
acsinB
，得 S=
×14.8×23.5×sin148.5°≈90.9(cm
2
).
2
2
bcbsinC
(2)根据正弦定理，
,
?,c?
sinBsinCsinB
11sinCsinA
.
S? bcsinA?b
2
22sinB
解：（1）应用
S?
A = 180°-(B + C)= 180°-(62.7°+ 65.8°)=51.5°,
1sin65.8?sin51.5?
≈4.0(cm
2
).
S? ?3.16
2
?
2sin62.7?
c
2
?a
2< br>?b
2
38.7
2
?41.4
2
?27.3
2
?
(3)根据余弦定理的推论，得
cosB?
≈0.769 7,
2ca2?38.7?41.4
sinB?1?cos
2
B?1?0.76972
≈0.638 4,
应用
S?
1
1
acsinB< br>得S=
×41.4×38.7×0.638 4≈511.4(cm
2
).
2
2
生 正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变 形的技巧
以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式．
【例2】在某市进行 城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到
这个三角形区域的三条边长分别 为68 m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1
cm
2
）？
师 你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
生 本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解．
〔由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结〕
解：设A=68 m,B=88 m,C=127m,根据余弦定理的推论，
c
2
?a
2
?b
2
127
2
?68
2
?88
2
cosB??≈0.753 2,
2ca2?127?68

sinB?1?0.753 2
2
≈0.657 8,
应用S=
11
acsinB,S=×68×127×0.657 8≈2 840.38(m
2
).
22
答：这个区域的面积是2 840.38 m
2
．
【例3】在△ABC中，求证：
a
2
?b
2
sin
2
A?sin
2
B
?
（1）
;
22
c sinC
（2）a
2
+b
2
+c
2
=2（bcco sA+cacosB+abcosC）.
[合作探究]
师 这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边有什么样的特点?
生
等 式左边是三边的平方关系，而等式的右边是三个角的正弦的平方关系，可以联想到用正弦
定理来证明.
师 等式两边分别是边和角，所以我们可以选正弦定理来证明，这样我们可以把一边的边或
角都 转化成两边一样的边或角，即“化边为角”或“化角为边”，这也是我们在证明三角恒等式
时经常用的方 法．
证明：（1）根据正弦定理，可设
abc
???k
,
sinAsinBsinC
显然 k≠0，所以
a
2
?b
2
k
2
sin
2
A?k
2
sin
2
Bsin
2
A?sin
2
B
??
左边=
=右边.
c
2
k
2
sin
2
Csin
2
C
师 那对于第二小题又该怎么化呢？
生 等式左边仍然是三边的平方关系，而等式的右边既有 角又有边，而且是两边和两边夹角
的余弦的积的关系，所以联想到用余弦定理来证明.
师 很好，哪位来板演一下？
生 证明：（2）根据余弦定理的推论，
b
2
? c
2
?a
2
c
2
?a
2
?b
2< br>a
2
?b
2
?c
2
?ca?ab)
右边=< br>2(bc
2bc2ca2ab
=(b
2
+c
2
- a
2
)+(c
2
+a
2
-b
2
)+(a2
+b
2
-c
2
)=a
2
+b
2+c
2
=左边.

1.已知在△ABC中，∠B=30°,B=6,C =6
3
,求A及△ABC的面积S.
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题， 注重分情况讨论解的个数．同时解有关三角
形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解 ，养成检验的习惯,但应用余
弦定理会免去讨论.
答案：A=6,S=9
3
;A=12,S=18
3
.
2.判断满足下列条件的三角形形状，
(1)acosA = bcosB;

(2)sinC =
sinA?sinB
.
cosA?co sB
提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”，正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向.
(1)师 大家尝试分别用两个定理进行证明．
b
2
?c
2
?a
2< br>c
2
?a
2
?b
2
?b?
生（余弦定理）得
a?
,
2bc2ca
∴c
2
(a
2
-b
2
)=a
4
-b
4
=(a
2
+b
2
)(a
2
-b
2
).
∴a
2
=b2
或c
2
=a
2
+b
2
.
∴根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形.
生（正弦定理）得
sinAcosA=sinBcosB.∴sin2A=sin2B.∴2A=2B.∴A=B.
∴根据角的关系易得是等腰三角形.
师 根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，
谁的正确呢？
生 第一位同学的正确．第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A 与
2B两个角互补，即2A+2B=180°，A+B=90°.
(2)（解略）直角三角形.
[知识拓展]
如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠BCD=75°，∠ACB=∠BDC=45°，DC =
3
，求：

(1)AB的长;
(2)四边形ABCD的面积.
略解：（1）因为∠BCD=75°,∠ACB=45°，
所以∠ACD=30°.
又因为∠BDC=45°，
所以∠DAC=180°-（75°+ 45°+ 30°）=30°.所以AD=DC =
3
.
在△BCD中，∠CBD=180°-（75°+ 45°）=60°，所以
BDDC3sin75?6?2
?,BD??
.
sin75?sin60? sin60?2
在△ABD中，AB
2
=AD
2
+ BD
2
-2×AD×BD×cos75°= 5,所以,得AB=
5
. (2)S
△
ABD
=
3?233?3
1
×AD×BD× sin75°=.同理，S
△
BCD
=.
44
2

< br>所以四边形ABCD的面积
S?
6?33
.
4

课堂练习
课本第21页练习第1、2题.
课堂小结
利用正弦定理或余弦 定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后
化简并考察边或角的关系，从而确定三 角形的形状．特别是有些条件既可用正弦定理也可用
余弦定理甚至可以两者混用．正弦定理和余弦定理的 运用除了记住正确的公式之外，贵在活
用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出 新的三角形面积公式．解
有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数．同时解有关三 角形的题目
还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯．
布置作业
课本第22页习题1.2第12、14、15题.
板书设计
解决有关三角形计算的问题
例1 例2 例3 变题1
补充练习: 变题2