高中数学考试必出题-高中数学概率应用题
高二数学:解三角形小题专题训练
22
1.【A】在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin
A=
3
,
a=3,S
△ABC
=22,则b的值为( )
A.6
C.2
B.3
D.2或3
1
解析:选D
因为S
△ABC
=
2
bcsin A=22,
221
所以bc=6,又因为sin A=
3
,所以cos A=
3
,又a=3,由余弦定理得9
=b
2
+c
2
-2bccos
A=b
2
+c
2
-4,b
2
+c
2
=13
,可得b=2或b=3.
1.【B】
在△ABC中,已知
b?2,c?1,B?45
0
,则
a
的值为 ( )
A.
6?26?2
B. C.
2?1
D.
3?2
22
解析:B
2.【A】△ABC中,角A,B,C
的对边分别是a,b,c,已知b=c,a
2
=2b
2
(1
-sin
A),则A=( )
3ππππ
A.
4
B.
3
C.4
D.
6
【解析】在△ABC中,由余弦定理得a
2
=b
2
+c
2
-2bccos A,
∵b=c,∴a
2
=2b
2
(1-cos
A),又∵a
2
=2b
2
(1-sin A),
∴cos
A=sin A,∴tan A=1,
π
∵A∈(0,π),∴A=
4
,故选C.
sin Acos
B
2.【B】在△ABC中,若
a
=
b
,则B的大小为( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
sin Acos B
解析:选B 由正弦定理知,
sin
A
=
sin B
,∴sin B=cos B,∴B=45°.
3.【AB
】在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是
( )
A.有一解
C.无解
B.有两解
D.有解但解的个数不确定
bc
解析:选C 由正弦定理得
sin B
=
sin C
,
3
40×
2
∴sin B=
bsin
C
c
=
20
=3>1.
∴角B不存在,即满足条件的三角形不存在.
2
4.【A】在△ABC中,已知2a?b?c
,
sinA?sinBsinC
,试判断△ABC的形状
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形
解:由正弦定理a
?
b
?
c
?2R
得:
sinA?
a
,
sinB?
sinAsinBsinC
2R
b
2R
,
sinC?
c
2R
。
2
所以由
sinA?s
inBsinC
可得:
(
a
2
bc
,即:
a
2
)??
2R2R2R
?bc
。
又已知
2a?b?c<
br>,所以
4a
2
?(b?c)
2
,所以
4bc?(b?
c)
2
,即
(b?c)
2
?0
,
因而
b
?c
。故由
2a?b?c
得:
2a?b?b?2b
,
a?b
。所以
a?b?c
,△ABC
为等边三角形。
4.【B】在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若a=2bcos
C,则
此三角形一定是( )
A.等腰直角三角形
C.等腰三角形
B.直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
解析:选C正弦定理可得sin
A=2sin Bcos C,
因此sin(B+C)=2sin Bcos C,
即sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C,
于是sin(B-C)=0,因此B-C=0,即B=C,
22
5.【AB】已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos
C=
3
,
bcos A+acos B=2,则△ABC的外接圆面积为( )
A.4π
C.9π
B.8π
D.36π
b
2<
br>+c
2
-a
2
a
2
+c
2
-b2
解析:选C 由余弦定理得b·+a·=2.即
2bc2ac
b
2+c
2
-a
2
+a
2
+c
2
-b2
221
=2,整理得c=2,由cos C=得sin
C=
2c33
,再由正弦
c
定理可得2R=
sin
C
=6,所以△ABC的外接圆面积为πR
2
=9π.
6.【A】在△AB
C中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c
2
=(a-b)
2
+
π
6,C=
3
,则△ABC的面积是( )
A.3
33
C.
2
93
B.
2
D.33
解析:选C ∵c
2
=(a-b)
2
+6,∴a
2
+b
2
-c
2
=2ab-6,
a
2<
br>+b
2
-c
2
2ab-6
1
又cos
C=
2ab
=
2ab
=
2
,∴ab=6,
11333
∴S
△ABC
=
2
absin
C=
2
×6×
2
=
2
.
6.【B】故△ABC为
等腰三角形3.(2018·南昌模拟)在△ABC中,角A,B,C所
对的边分别为a
,b,c,cos 2A=sin A,bc=2,则△ABC的面积为( )
1
A.
2
C.1
1
B.
4
D.2
1
解析:选A 由cos 2A=sin
A,得1-2sin
2
A=sin A,解得sin A=
2
(负值舍
1111
去),由bc=2,可得△ABC的面积S=
2
bcsin
A=
2
×2×
2
=
2
.
7.【AB】
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角
形,且满足sinB(1
+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( )
A.a=2b
C.A=2B
B.b=2a
D.B=2A
解析:选A 由题意可知sin B+2sin Bcos C=sin Acos
C+sin(A+C),即2sin
Bcos C=sin Acos C,又cos
C≠0,故2sin B=sin A,由正弦定理可知a=2b.
BD
8.【A】已知△A
BC中,AC=4,BC=27,∠BAC=60°,AD⊥BC于点D,则
CD
的值为___
_____.
解析:在△ABC中,由余弦定理可得BC
2
=AC
2
+AB
2
-2AC·AB·cos∠BAC,
28+36-16
即28=1
6+AB
2
-4AB,解得AB=6(AB=-2,舍去),则cos∠ABC=
2×
27×6
272712712727
=
7
,BD=AB·cos∠ABC=6
×
7
=
7
,CD=BC-BD=27-
7
=
7,
BD
所以
CD
=6.
答案:6
8
.【B】在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若S
△ABC
=23,a+b=6,
A.27
C.4
acos B+bcos
A
=2cos C,则c等于( )
c
B.23
D.33
acos B+bcos Asin Acos B+sin Bcos
Asin?A+B?
解析:选B 因为===1,
csin
C
sin?A+B?
所以2cos C=1,所以C=60°.
1
因为S
△ABC
=23,所以
2
absin
C=23,所以ab=8.
因为a+b=6,
所以c
2
=a
2
+b
2
-2abcos
C=(a+b)
2
-3ab=6
2
-3×8=12,所以c=23.
9.【A】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sin
A-sinB
1
=
3
sin C,3b=2a,2≤a
2
+
ac≤18,设△ABC的面积为S,p=2a-S,则p的最大值
是( )
52
A.
9
C.2
72
B.
9
92
D.
8
1
B=
3
sin C结合正弦定理可得,c解析:选D
在△ABC中,由sin A-sin
=3a-3b,再根据3b=2a,2≤a
2
+ac≤18,可得a=c,1≤a≤3,由余弦定理可得b
2
4a
2
27421
=
9
=a+a
2
-2a·acos B?cos
B=
9
,可得sin B=
9
,所以S=
2
acsin B
=
22
2
22
2
9
9
a,故p=2a-S=2a-
9
a,根据二次函数的图象可得,当a=
4
时,p
9
2
取得最大值
8
.
9.【B】钝角三角形ABC的面积是
1
,AB=1,BC=
2
,则AC=( )
2
A. 5 B.
5
C. 2 D.
1
【解析】
111
acsinB??2?1?sinB?
222
?S
ΔABC
?
?B?
?sinB?
2
,
2
π3ππ
,或.当B?时,
444
经计算ΔABC为等腰直角三角形,.
不符合题意,舍去。
3π
?B?,使用余弦定理,
b
2
?a
2
?c
2
-2accosB,解得b?5.故选B.
4
1
0.【AB】在△ABC中,
B?60
?
,AC?3
,则
AB?2B
C
的最大值为.
BCAC
??2?BC?2sinA
,
27
解析:
A?C?120
0
?C?120
0
?A
,
A?(0,120
0
)
,
sinAsinB
ABAC??2?AB?2sinC?2sin(120
0
?A)?3cosA?sinA
,
?AB?2BC?
sinCsinB
3cosA?5sinA?28sin(A?<
br>?
)?27sin(A?
?
)
,故最大值是
27
.
11.【AB】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果△ABC的
a+b+c
4
面积等于8,a=5,tan
B=-
3
,那么=________.
sin A+sin B+sin
C
4
解析:∵tan B=-
3
,
43
∴sin
B=
5
,cos B=-
5
,
1
又S
△ABC
=
2
acsin
B=2c=8,
∴c=4,∴b=a
2
+c
2
-2accos
B=65,
∴
a+b+c
b565
=
sin
B
=
4
.
sin A+sin B+sin
C
565
答案:
4
12.【AB】在△ABC中,B=30°,AC=2 5,D是AB边上的一点,CD=2,若
∠ACD为锐角,△ACD的面积为4,则BC=________.
1
解析:依题意得S
△ACD
=CD·AC·sin∠ACD=25·sin∠ACD=4,解得
2
25
sin∠ACD=
5
.
5
又∠ACD是锐角,因此cos
∠ACD=
5
.
在△ACD中,AD=CD
2
+AC
2<
br>-2CD·AC·cos∠ACD=4.由正弦定理得,
ADCD
sin∠ACD
=
sin A
,
即sin
A=
CD·sin∠ACD5
=
AD5
.
ACBCAC·sin
A
在△ABC中,
sin B
=
sin
A
,即BC=
sin B
=4.
答案:4
c
13.【A
】在锐角
?ABC
中,
A?2B
,则的取值范围是
b
??
解析:由
0?A?2B?且0?C?
?
?A?B?
22<
br>??
csinCsin3Bsin2BcosB?cosB2sinB
???4cos<
br>2
B?1
,得
?B?
,所以
?
64
bsin
BsinBsinB
又
cosB?(
c
23
,)所以
?4cos
2
B?1?(1,2)
b
22
13.【B】若
?ABC
的三边
a,b,c
成等比数列,
a,b,
c
所对的角依次为
A,B,C
,则
sinB?cosB
的取值范围是
解析:由题设知
b
2
?ac
,又余弦定理知
a
2<
br>?c
2
?b
2
a
2
?c
2
?ac2
ac?ac1
cosB????
2ac2ac2ac2
所以
0?B
?
2sBi?n(?
4
?
3
?
,又
siBncB?
os
???
7
?
B2?且sin(?B?)
所
?
以
44412
?
B?B
的取值范围是
)
即
sin(1,
cos
2]
(1,2]
。
14.【A】满足
A
B?2,AC?2BC
的
?ABC
的面积的最大值是
解析:设
BC?x
,则
AC?2x
,
根据面积公式得S
?
ABC
?
1
AB?BCsinB?x1?cos
2
B
①
2
AB
2
?BC
2
?AC
2
4?x
2
?(2x)
2
4?x
2
由余弦定理得<
br>cosB?
??
2AB?BC4x4x
代入①式得
S
?
ABC
4?x
2
2
128?(x
2
?12)<
br>2
?x1?()?
4x16
由三角形三边关系有
2x?x?
2且x?2?2x
,所以
22?2?x?22?2
,
故当
x?23
时,
S
?
ABC
取得最大值
22
。
2<
br>32
14.【B】在
?ABC
中,
a
2
?b
2
?c
2
?ab
,若
?ABC
的外接圆半径为,则
?ABC
3
2
的面积的最大值为
2
解析:又
a?b?c?
3
222
a
2
?b
2
?c
2
1<
br>a
及
b
余弦定理得
coCs??
,所以
2ab3sinC?
22
,
3
2
又由于
c?2
RsinC?4
,所以
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
即
16?ab?a
2
?b
2
?2ab
3
所以
ab?12
,又由于
S?
12
abs
inC?ab?42
,故当且仅当
a?b?23
时,
23
?ABC<
br>的面积取最大值
42
16.【A】在锐角
?ABC
中,三个
内角
A,B,C
成等差数列,记
M?cosAcosC
,则
M
的取值范围是
易知
B?
?
3
,A?C?
2
?<
br>2
?
,则
M?cosAcosC?cosAcos(?A)
3
3
13cosA?131
?
1
??cos
2
A?
sinAcosA???sin2A?sin(2A?)?
2244264
由于<
br>0?A?
2
?
??
7
?
1
2si(
,所以
??2A??
,故
M?n
3666
2
A)?
6
?
111
(?,?]?
424
16.【B】在锐角?ABC
中,
A?2B
,
AC?1
,则
BC
的
取值范围是
知
?
6
?B?
?
4
,由正弦定理BC?
ACsinAsin2B
??2cosB?(2,3)
sinB
sinB
17.【A】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到
A
处时测得
公路北
侧一山顶D在西偏北
30
?
的方向上,行驶600m后到达
B
处,测得此山顶在西偏
北
75
?
的方向上,仰角为
30?
,则此山的高度
CD?
_________m.
D
【解析
】在
?ABC
中,
?CAB?30
0
,
?ACB?750
?30
0
?45
0
,根据
正弦定理知,
即
BC?
AB6001
?sin?BAC???3002
sin?ACB
2
2
2
BCAB
,
?
sin?BACsin?ACB
C
B
A
所以<
br>CD?BC?tan?DBC?3002?
3
?1006
,故应填
10
06
.
3
17.【B】如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观
测点.从
A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;
从C点测得∠MCA=60°,已知山高BC=100 m,则山高MN=________m.
【解析】在三角形ABC中,AC=1002,
在三角形MAC中,
MAAC
?
,解得MA=
1003
,
sin60?sin45?
MN
3
在三角形MNA中,=sin
60°=,故MN=150,即山高MN为150 m.
2
1003