高考数学 14 解三角形 理

专题14 解三角形
一、考纲要求:
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
2. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实
际问题．
二、概念掌握及解题上的注意点：
1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其 比值或等量关系就可以运用正弦定理通过
约分达到解决问题的目的.
2.1运用余弦定理时，要注意整体思想的运用.
2在已知三角形两边及其中一边的对角，求 该三角形的其它边角的问题时，首
先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角 ”在判定中的
应用.
3重视在余弦定理中用均值不等式，实现
a
＋
b
，
ab
，
a
＋
b
三者的互化.
3.判定三角形形状的两种常用途径
1化角为边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变 换，求出边与
22
边之间的关系进行判断.
2化边为角：通过正弦定理和余弦定理， 化边为角，利用三角变换得出三角形内
角之间的关系进行判断.
4.解决测量角度问题的注意事项
1应明确方位角或方向角的含义.
2分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最
重要的一步.
3将实际问题转化为解三角形的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.
三、高考考题题例分析：
例1.(2016·全国卷Ⅰ)△
ABC
的内角< br>A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b< br>，
c
，已知
a
＝5，
c
2
＝2，cos
A
＝，则
b
＝( )
3
A．2
C．2
B．3
D．3
2
2
D 解析：由余弦定理得5＝
b
＋4－2×
b
×2×，
3
1
解得
b
＝3或
b
＝－(舍去)，故选D． < br>3

4
例2.(2016·全国卷Ⅱ)△
ABC
的内角< br>A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b< br>，
c
，若cos
A
＝，cos
C
5
5< br>＝，
a
＝1，则
b
＝________
13
2145
解析：在△
ABC
中，∵cos
A
＝，cos
C
＝，
13513
31235412
∴sin
A
＝，sin
C
＝，∴sin
B
＝sin(
A
＋
C
)＝sin
A
cos
C
＋cos
A
sin
C
＝×＋×
513513513
63
＝.
65
63
1×
65
21abasin B
又∵＝，∴
b
＝＝＝.
sin Asin Bsin A313
5
例3.(2017·全国卷Ⅱ)△
ABC
的内角
A
，
B< br>，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，若 2
b
cos
B
＝
a
cos
C
＋
c
cos
A
，则
B
＝________.

例4.(2017·全 国卷Ⅱ)△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对 边分别为
a
，
b
，
c
，已知sin(
A
＋
C
)
2
B
＝8sin.
2
(1)求cos
B
；
(2)若
a
＋
c
＝6，△
ABC< br>的面积为2，求
b
.

2
B
[解] (1)由题设及
A
＋
B
＋
C
＝π得sin
B
＝8sin，
2
故sin
B
＝4(1－cos
B
)．
上式两边平方，整理得17cos
B
－32cos
B
＋15＝0，
15
解得cos
B
＝1(舍去)，或cos
B
＝.
17
15
故cos
B
＝.
17
158
(2)由cos
B
＝得sin
B
＝，
1717
14
故
S
△
ABC＝
ac
sin
B
＝
ac
.
217
17
又
S
△
ABC
＝2，则
ac
＝.
2
17
2222
由余弦定理及
a
＋
c
＝6得
b
＝
a
＋
c
－2
ac
cos
B
＝(
a
＋
c
)－2
ac
(1＋cos
B
)＝36－2×
2
2
?
15
?
×
?
1＋
?
＝4.
?
17
?
所以
b
＝2.
例5.（2018全国卷 I）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC=2，求BC．

（2）∵∠A DC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=
∵DC=2
∴BC=
，

，

==5．


例6.（2018全国卷II）在△ABC中，cos=
A．4 B． C． D．2
=﹣，
===4．
，BC=1，AC=5，则AB=（ ）
解析：在△ABC中，cos=
BC=1，AC=5，则AB=
故选：A．
，cosC=2×
例7.（2018全国卷III）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c ．若△ABC的面积为
，则C=（ ）
A． B． C． D．

例8.（2018北京卷）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．

（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC边上的高．
解析：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，
∵cosB=﹣，∴sinB===，
由正弦定理得
则A=．
=得sinA===，

例9.（20 18天津卷）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos
（ B﹣）．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．
解析：（Ⅰ）在△ABC中，由 正弦定理得
又bsinA=acos（B﹣
∴asinB=acos（B﹣
∴tanB =，
．
，
）．
），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，
，得bsinA=asinB，
又B∈（0，π），∴B=
（Ⅱ）在△ABC中，a =2，c=3，B=

由余弦定理得b=
∵a＜c，∴cosA=
∴si n2A=2sinAcosA=
cos2A=2cosA﹣1=，
2
=
，
，
，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，
∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．
例10.（201 8江苏卷）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠
ABC的 平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为 ．







解三角形练习
一、 选择题：
sin Acos B
1．在△
ABC
中，若＝，则
B
的值为( )
ab
A．30°
C．60°
B．45°
D．90°

sin Acos B
B 解析：由正弦定理知：＝，∴sin
B
＝cos
B
，∴
B
＝45°.
sin Asin B
2．在△ABC
中，已知
b
＝40，
c
＝20，
C
＝6 0°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解
C．无解
B．有两解
D．有解但解的个数不确定
bc
C 解析：由正弦定理得＝，
sin Bsin C
3
40×
2
bsin C
∴sin
B
＝＝＝3＞1.
c20
∴角
B
不存在，即满足条件的三角形不存在．
π
3 ．△
ABC
中，
c
＝3，
b
＝1，∠
B
＝ ，则△
ABC
的形状为( )
6
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰三角形或直角三角形
D 解析 ：根据余弦定理有1＝
a
＋3－3
a
，解得
a
＝1或
a
＝2，当
a
＝1时，三角形
ABC
为等腰三角形，当
a
＝2时，三角形
ABC
为直角三角形，故选D.
4．在△
ABC< br>中，若
AB
＝13，
BC
＝3，∠
C
＝120°，则
AC
＝( )
A．1
C．3
B．2
D．4
2

5．在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，cos 2
A
＝sin
A
，
bc
＝2，则△
ABC
的面积为( )
1
A．
2
C．1
1
B．
4
D．2
1
2
A 解析：因为cos 2
A
＝sin
A
，所以1－2sin
A
＝sin
A
，则sin
A
＝(舍负)，则△
ABC
2
11 11
的面积为
bc
sin
A
＝×2×＝，故选A．
22 22
6．如图，两座灯塔
A
和
B
与海岸观察站
C
的 距离相等，灯塔
A
在观察站南偏西40°，
灯塔
B
在观察站南偏东6 0°，则灯塔
A
在灯塔
B
的( )

A．北偏东10°
B．北偏西10°
C．南偏东80°
D．南偏西80°
D 解析：由条件及题图可知，∠
A
＝∠
B
＝40 °，又∠
BCD
＝60°，所以∠
CBD
＝30°，所
以∠
DBA
＝10°，因此灯塔
A
在灯塔
B
南偏西80°.
7 ．如图所示，已知两座灯塔
A
和
B
与海洋观察站
C
的距离都 等于
a
km，灯塔
A
在观察
站
C
的北偏东20 °，灯塔
B
在观察站
C
的南偏东40°，则灯塔
A
与灯塔< br>B
的距离为( )

B．3
a
km
D．2
a
km
A．
a
km
C．2
a
km
B 解析：在△
ABC
中，
AC
＝
BC
＝
a
，∠
ACB
＝120°，
∴
AB
＝
a
＋
a
－2
a
cos 120° ＝3
a
，
AB
＝3
A．
8．如图，测量河对岸的塔高
AB
时可以选与塔底
B
在同一水平面内的两个测点
C
与
D
，
测得∠
BCD
＝15°，∠
BDC
＝30°，
C D
＝30 m，并在点
C
测得塔顶
A
的仰角为60°，则塔高
AB
等于( )
22222

B．153 m
D．156 m
A．56 m
C．52 m

9．如图，一条河的两岸平行，河的宽度
d
＝0.6 km，一艘客船从码头
A
出发匀速驶往河
对岸的码头
B
.已知
AB
＝1 km，水的流速为2 kmh，若客船从码头
A
驶到码头
B
所用的最短
时间为6 min，则客船在静水中的速度为 ( )


B．62 kmh
D．10 kmh
A．8 kmh
C．234 kmh
B 解析：设
AB< br>与河岸线所成的角为
θ
，客船在静水中的速度为
v
kmh，由题意知，sin
θ
＝
0.63414
?
1
?< br>2
?
1
?
22
＝，从而cos
θ
＝，所以 由余弦定理得
?
v
?
＝
?
×2
?
＋1－2 ××2×1×，
155105
?
10
??
10
?
解得
v
＝62.
10．在△
ABC
中，sin
A
≤sin
B
＋sin
C
－sin
B
sin
C
，则
A
的取值范围是( )
222
?
π
?
B．
?
，π
?

?
6
?
?
π
?
D．
?
，π
?

?
3
?
?
π?
A．
?
0，
?

6
??
?
π
?
C．
?
0，
?

3
??

11．(2017·山东高考)在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
.若△
ABC
为锐角
三角形，且满足sin
B
(1＋2cos
C
)＝2sin
A
cos
C
＋cos
A
sin
C
，则下列等式成立的是( )
B．
b
＝2
a

D．
B
＝2
A

A．
a
＝2
b
C．
A
＝2
B
A 解析：∵等式右边＝sin
A
cos
C
＋(sin
A
cos
C
＋cos
A
sin
C
)＝sin
A
cos
C
＋sin (
A
＋
C
)＝sin
A
cos
C
＋sin
B
，
等式左边＝sin
B
＋2sin
B
cos
C
，
∴sin
B
＋2sin
B
cos
C
＝sin
A
cos
C
＋sin
B
.
由cos
C
>0，得sin
A
＝2sin
B
.
根据正弦定理，得
a
＝2
b
.
故选A．
12．在不等边三 角形
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分 别为
a
，
b
，
c
，其中
a
为最大边， 如果sin(
B
＋
C
)＜sin
B
＋sin
C
，则角
A
的取值范围为( )
222
?
ππ
?
B．
?
，
?

?
42
?
?
ππ
?
D．
?
，
?

?
32
?
2
?π
?
A．
?
0，
?

2
??
?
ππ
?
C．
?
，
?

?
63
?
22
D 解析：由题意得sin
A
＜s in
B
＋sin
C
，
b2＋c2－a2
222222
再由正弦定理得
a
＜
b
＋
c
，即
b
＋
c
－
a
＞0.则cos
A
＝＞0，
2bc
π
∵0＜
A
＜π，∴0＜A
＜.
2
π
?
ππ
?
又
a
为最大边，∴
A
＞.因此角
A
的取值范围是
?
，
?
.
3
?
32
?
二、 填空题：
22
1 3．如图所示，在△
ABC
中，已知点
D
在
BC
边上，AD
⊥
AC
，sin∠
BAC
＝，
AB
＝32 ，
3

AD
＝3，则
BD
的长为________．

14．(2017·全国卷Ⅰ改编)△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
.已知sin
B
＋
sin
A
(sin
C
－cos
C
)＝0，
a
＝2，
c
＝2 ，则
C
＝________.
π
解析：因为
a
＝2，
c
＝2，
6
22
所以由正弦定理可知，＝，
sin Asin C
故sin
A
＝2sin
C．
又
B
＝π－(
A
＋
C
)，
故sin
B
＋sin
A
(sin
C
－cos
C
)
＝sin(
A
＋
C
)＋sin
A
sin
C
－sin
A
cos
C
＝sin
A
cos
C
＋cos
A
sin
C
＋sin
A
sin
C
－sin
A
cos
C
＝(sin
A
＋cos
A
)sin
C
＝0.
又
C
为△
ABC
的内角，故sin
C
≠0，
则sin
A
＋cos
A
＝0，即tan
A
＝－1.
3π
又
A
∈(0，π)，所以
A
＝.
4
从而sin
C
＝
1
2
sin
A
＝
221
×＝.
222
3ππ
由
A< br>＝知
C
为锐角，故
C
＝.
46
15．在△
A BC
中，
a
，
b
，
c
分别为角
A
，
B
，
C
所对的边，sin
A
，sin
B
，sin
C
成等差数
列，且
a
＝2
c
，则cos
A
＝________.

16．如图3?8?16，为测量山高
MN
，选择
A
和另一座山的山顶
C
为测量观测点．从
A
点测
得
M
点的仰角∠
MAN
＝60°，
C
点的仰角∠
CAB
＝45°以及∠
MAC
＝75°；从
C
点测得∠
MCA
＝
60°.已知山高
BC
＝100 m，则山高
MN
＝________m.

150 解析：根据题图，
AC
＝1002 m.
在△
MAC
中，∠
CMA
＝180°－75°－60°＝45°.
ACAM
由正弦定理得＝?
AM
＝1003 m.
sin 45°sin 60°
MN
在△
AMN
中，＝sin 60°，
AM
∴
MN
＝1003×
三、 解答题：
3
＝150(m)．
2
17. 如图，在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，且2
a
cos
C
－
c
＝2
b
.


(1)求角
A
的大小；

(2)若
c
＝2，角
B
的平分线
BD
＝3，求
A．
[解] (1)∵2
a
cos
C
－
c
＝2
b
，
∴由正弦定理得2sin
A
cos
C
－sin
C
＝2sin
B
，
2sin
A
cos
C
－sin
C
＝2sin(
A
＋
C
)
＝2sin
A
cos
C
＋2cos
A
sin
C
，
∴－sin
C
＝2cos
A
sin
C．
1
∵sin
C
≠0，∴cos
A
＝－.
2
2π
又
A
∈(0，π)，∴
A
＝.
3

18．(201 6·全国卷Ⅰ)△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知2cos
C
(
a
cos
B
＋
b
cos
A
)＝
c
.
(1)求
C
；
33
(2)若
c
＝7，△
ABC
的面积为，求△
ABC
的周长 ．
2
[解] (1)由已知及正弦定理得
2cos
C
(sin
A
cos
B
＋sin
B
cos
A
)＝sin
C
，
即2cos
C
sin(
A
＋
B
)＝sin
C
，
故2sin
C
cos
C
＝sin
C．

1π
可得cos
C
＝，所以
C
＝.
23

133
(2)由已知得
ab
sin
C
＝.
22
π
又
C
＝，所以
ab
＝6.
3由已知及余弦定理得
a
＋
b
－2
ab
cos
C
＝7，
故
a
＋
b
＝13，从而(
a< br>＋
b
)＝25.
所以△
ABC
的周长为5＋7.
19．如图，航空测量组驾驶飞机飞行的航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行
高度为10 000 m，速度为50 ms，某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山
顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度．(取2≈1.4，3≈1.7)
222
22

[解] 如图，作
CD
垂直直线
AB
于点
D
，


20．如图，渔船甲位于岛屿
A
的南偏西60°方向的
B
处，且与岛 屿
A
相距12海里，渔
船乙以10海里小时的速度从岛屿
A
出发沿正 北方向航行，若渔船甲同时从
B
处出发沿北偏
东
α
的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．

(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin
α
的值．

21．在△
ABC
中，∠
A
，∠
B
，∠
C
的对边分别 为
a
，
b
，
c
，若tan
A
＋tan
C
＝3(tan
A
tan

C
－1)．
(1)求角
B
；
(2)如果
b
＝2，求△
ABC
面积的最大值．
[解] (1)∵tan
A
＋tan
C
＝3(tan
A
tan
C
－1)，
即
tan A＋tan C
＝－3，∴tan(
A
＋
C
)＝－3，
1－tan Atan C
又∵
A
＋
B
＋
C
＝π，∴tan
B
＝3，
π
∵
B
为三角形内角，∴
B
＝ .
3
a2＋c2－b21
22
(2)在△
ABC
中，由余弦定理得cos
B
＝＝，∴
a
＋
c
＝
ac
＋4，
2ac2
∵
a
＋
c
≥2
ac
，
∴
ac
≤ 4，当且仅当
a
＝
c
＝2时，等号成立，
1
∴△
ABC
的面积
S
＝
ac
sin
B
2
22

13
≤×4×＝3，
22
∴△
ABC
面积的最大值为3.

2 2．“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在
返回舱预计到达的 区域安排了同一条直线上的三个救援中心，如图3?8?17(记为
B
，
C
，
D
)．当
返回舱在距地面1万米的
P
点时(假定以后垂直下落，并在
A
点着陆)，
C
救援中心测得飞船
位于其南偏东60°方向，仰角为 60°，
B
救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为
30°，
D
救援中心测得着陆点
A
位于其正东方向.

(1)求
B
，
C
两救援中心间的距离；
(2)求
D
救援中心与着陆点
A
间的距离．
[解] (1)由题意 知
PA
⊥
AC
，
PA
⊥
AB
，则△
PAC
，△
PAB
均为直角三角形．
在Rt△
PAC
中，
PA
＝1，∠
PCA
＝60°，解得
AC
＝
3，在Rt△
PAB
中，
PA
＝1，∠
PBA
＝30°，
3
解得
AB
＝3，
又∠
CAB
＝90°，
BC
＝AC2＋AB2＝

30
万米．
3