高中数学必修解三角形教案

第2章 解三角形
正弦定理
教学要求：通过对任意三角 形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内
容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜 三角形的两类
基本问题.
教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.
教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.
教学过程：
一、复习准备：
1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些（三角形内角和定理、勾股< br>定理、锐角三角函数）如何解直角三角形那么斜三角形怎么办
2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三
角形的哪些边角关系（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准
确量化 →引入课题：正弦定理
二、讲授新课：
1. 教学正弦定理的推导：
①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sin
A
=
a
sin
B
=
b
sin
C
=1 即
c
=
cc

abc
.
??
sinAsinBsinC
② 能否推广到斜三角形 （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）
当
?
ABC
是锐角三角形时，设 边
AB
上的高是
CD
，根据三角函数的定义，有
CD?asinB? bsinA
,则
abac
. 同理，（思考如何作高），从而
??
s inAsinBsinAsinC
abc
.
??
sinAsinBsinC
③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△
ABC
当中
S
△ABC
=
111
absinC?acsinB?bcsinA
.
222

两边同除以
abc
即得：
1
2
c
ab
==.
sinAsinB
sinC
aa
??CD?2R
，
sin AsinD
证明二：（外接圆法）如图所示，∠
A
＝∠
D
，∴
同理
c
b
=2
R
，＝2
R
.
sin C
sinB
证明三：（向量法）过
A
作单位向量
j
垂直于< br>AC
，由
AC
+
CB
=
AB
边同乘以单位向量
j
得…..
④ 正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三 角形的任意两
角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以
求其他角 的正弦值.
2. 教学例题：
① 出示例1：在
?ABC
中，已知
A?45
0
，
B?60
0
，
a?42
cm，解三 角形.
分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已
知两角一边
② 出示例2：
?ABC中，c?6,A?45
0
,a?2,求b和B,C
.
分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已
知两边及一边对角
③ 练习：
?ABC中，b?3,B?60
0
,c?1,求a和A,C
.
在
?ABC
中，已知
a?10
cm，
b?14
cm，A?40
0
，解三角形（角度精确到
1
0
，边
长精确到 1
cm
）
④ 讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量
3. 小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边
对角的讨论.
三、巩固练习：
1.已知
?
ABC
中，
?
A=60°，
a?3
，求
2. 作业：教材P5 练习1 (2)，2题.
a?b?c
.
sinA?sinB?sinC

余弦定理（一）
教学要求：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并
会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.
教学难点：向量方法证明余弦定理.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：正弦定理的文字语言 符号语言基本应用
2. 练习：在△
ABC
中，已知
c?10
，
A
= 45，
C
=30，解此三角形. →变式
3. 讨论：已知两边及夹角，如何求出此角的对边
二、讲授新课：
1. 教学余弦定理的推导：
① 如图在
?ABC
中，
AB
、
BC
、
C A
的长分别为
c
、
a
、
∵
AC?AB?BC
，
∴
AC?AC?(AB?BC)?(AB?BC)< br>?AB?2AB?BC?BC

?AB?2|AB|?|BC|cos(180?B)? BC
?c
2
?2accosB?a
2
.
22
22
C
b
A
c
a
B
b
.
即
b
2
?c
2
?a
2
?2accosB
，→
② 试证：
a
2
?b
2
?c
2
?2bcc osA
，
c
2
?a
2
?b
2
?2abco sC
.
③ 提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减
去这 两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
用符号语言表示
a
2
?b2
?c
2
?2bccosA
，…等； → 基本应用：已知两边
及夹角
④ 讨论：已知三边，如何求三角
b
2
?c
2
?a
2
→ 余弦定理的推论：
cosA?
，…等.
2bc
⑤ 思考：勾股定理与余弦定理之间的关系
2. 教学例题：
① 出示例1：在
?ABC
中，已知
a?23
，
c?6?2
，
B?600
，求
b
及
A
.

分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范求b
→ 讨论：如何求
A
（两种方法） （答案：
b?22
，
A?60
0
）
→ 小结：已知两边及夹角
②在
?
ABC
中，已知
a?13cm
，
b?8cm
，
c?16cm
，解三角形.
分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 分三组练习 → 小结：已
知两角一边
3. 练习：
① 在Δ
ABC
中，已知
a
＝7，
b
＝10，c
＝6，求
A
、
B
和
C
.
② 在Δ
ABC
中，已知
a
＝2，
b
＝3，
C
＝8 2°，解这个三角形.
4. 小结：余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是
余弦定理的特例；
余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求
第三边.
三、巩固练习：
1. 在
?
ABC
中，若
a
2< br>?b
2
?c
2
?bc
，求角
A
. （答案：
A
=120
0
）
2. 三角形
ABC
中 ，
A
＝120°，
b
＝3，
c
＝5，解三角形.
→ 变式：求sin
B
sin
C
；sin
B
＋sin
C
.
3. 作业：教材P8 练习1、2（1）题.

.3 正弦定理和余弦定理（练习）
教学要求：进一步熟悉正 、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定
理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的 三角恒等式.
教学重点：熟练运用定理.
教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.
教学过程：
一、复习准备：
1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.
2. 讨论各公式所求解的三角形类型.
二、讲授新课：
1. 教学三角形的解的讨论：
① 出示例1：在△
ABC
中，已知下列条件，解三角形.
(
i
)
A
＝
50
2
；
(
iii
)
A
＝
2
.
?
?
，
a
＝25，
b
＝50
2
； (
ii
)
A
＝，
a
＝25
2
，
b
＝
66
?
?
506
，
a
＝，
b
＝50
2
；
(iiii
)
A
＝，a
＝50，
b
＝50
3
66
分两组练习→ 讨论：解的个数情况为何会发生变化
② 用如下图示分析解的情况. （
A
为锐角时）
② 练习：在△
ABC
中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.
(
i
)
A
＝
2

2
?
2?
，
a
＝25，
b
＝50
2
； (
ii
)
A
＝，
a
＝25，
b
＝10
33
例1.根据下列条件，判断解三角形的情况
(1)
a
＝20，
b
＝28，
A
＝120°.无解
(2)
a
＝28，
b
＝20，
A
＝45°；一解
(3)
c
＝54，
b
＝39，
C
＝115°；一解

(4)
b
＝11，
a
＝20，
B
＝30°；两解
2. 教学正弦定理与余弦定理的活用：
① 出示例2：在△
ABC
中，已知sin
A
∶sin
B
∶sin
C
=6∶5∶4，求最大角的
余弦 .
分析：已知条件可以如何转化→ 引入参数
k
，设三边后利用余弦定理求
角.
② 出示例3：在Δ
A BC
中，已知
a
＝7，
b
＝10，
c
＝6，判断三 角形的类型.
分析：由三角形的什么知识可以判别 → 求最大角余弦，由符号进行判断
a
2
?
b
2
?
c
2
?
A
是 直角??
ABC
是直角三角形
结论：活用余弦定理，得到：
a
2?
b
2
?
c
2
?
A
是钝角??
ABC
是钝角三角形

a
2
?
b
2
?< br>c
2
?
A
是锐角??
ABC
是锐角三角形
③ 出示例4：已知△
ABC
中，
bcosC?ccosB
，试判断△
A BC
的形状.
分析：如何将边角关系中的边化为角 → 再思考：又如何将角化为边
3. 小结：三角形解的情况的讨论；判断三角形类型；边角关系如何互化.
三、巩固练习：
1. 已知
a
、
b
为△
ABC
的边，
A< br>、B分别是
a
、
b
的对角，且
的值
2. 在△
ABC
＝ .
3. 作业：
中，sin
A
:sin
B
:sin
C
＝4:5:6，则cos
A
:cos
B
:cos
C
sinA2
a?b
?
，求
sinB3
b

三角形中的几何计算

一、 设疑自探
正弦定理、余弦定理是两个重要的定理，在解决与三角形有关的几何计算问题
中有着广泛的应用。
对于本节课你想了解哪些内容
（1）怎样运用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题
（2）处理三角形中的计算问题应该注意哪些问题
二、解疑合探
A D
D C
A B
四、运用拓展

B C

§3 解三角形的实际应用举例
教学目标
1、掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形。
2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。
3、培养和提高分析、解决问题的能力。
教学重点难点
1、正弦定理与余弦定理及其综合应用。
2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。
教学过程
一、复习引入
1、正弦定理：
abc
???2R

sinAsinBsi nC
222
b
2
?c
2
?a
2
2、余弦定理：
a?b?c?2bccosA,
?
cosA?

2bc
a
2
?b
2
?c
2

c?a?b?2abcosC
，
?
cosC?

2ab
222
二、例题讲解
引例：我军有A、B两个小岛相距10海里，敌 军在C岛，从A岛望C岛
和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，为提高炮弹命中
率，须计算B岛和C岛间的距离，请你算算看。
解：
A?60
0
B?75
0
∴
C?45
0

由正弦定理知
10sin60
0
?BC??56
海里
sin45
0
A
60
0
C
BC10
?
sin60
0
sin45
0
75
0
B
例1．如图，自动卸货汽车采用

液压机构，设计时需要计算油泵 顶杆
BC
的长度（如图）．已知车厢的最大仰
角为60°，油泵顶点
B
与车厢支点
A
之间的距离为1.95m，
AB
与水平线之间
的夹角 为
60
0
20

，
AC
长为1.40m，计算
BC
的长（保留三个有效数字）．
分析：这个问题就是在
?ABC
中，已知AB=1.95m，AC=1.4m,
求BC的长，由于已知的两边和它们的夹角，所以可
根据余弦定理求出BC。
解：由余弦定理，得
答：顶杠BC长约为1.89m.
1.40m
C
解斜三角形理论应用于实际问
意：
1、认真分析题意，弄清已知元素
素。
A
60
0
6
0
20

题应注
D
B
1.95m
和未知元
2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如视角，仰角，俯角，方位角
等等。
3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到一个三
角形中解决。
练1.如图,一艘船以32海里时的速度向正北航行,在A处看灯塔S在船
的北偏东
200
, 30分钟后航行到B处,在B处看灯塔S
船的北偏东
65
0
方向上,求灯塔S和B处的距离.（保留
解：
AB?16

由正弦定理知
ABBS

?
00
sin45sin20A
20
0
?
0
65
0
45
B
115
0
S
在
到）
10sin20
0
BS??7.7
海里
0
sin45

答：灯塔S和B处的距离约为
7.7
海里
例2.测量高度问题
如 图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线
上的C，D两处，测得烟囱的仰角 分别是
?
?45
0
和
?
?60
0
, Ｃ、Ｄ间的距离是
12m.已知测角仪器高1.5m.求烟囱的高。
图中给出了怎样的一个几何图形已知什么，求
什么
C
1
?
?
D
1
D
B
A
1
A
分析：因为
A B?AA
1
?A
1
B
，又
AA
1
?1.5 m

所以只要求出
A
1
B
即可
解：在
?BC
1
D
1
中，
?BD
1C
1
?180
0
?60
0
?120
0
，
?C
1
BD
1
?60
0
?45
0
?15
0

C
由正弦定理得：
C
1
D
1
BC
1
?

sin?C
1
BD
1
sin?BD
1
C
1
从而：
A
1
B?
2
BC
1
?18?63?28.392m

2
因此：
AB?A
1
B?AA
1
?28.392?1.5?29.892?29.89 m

答：烟囱的高约为
29.89m

练习：在山顶铁塔上
B
处测得地面上一点
A
的俯角
?
?60
0
，在塔底
C
处测得
点
A
的俯角
?
?45
0
，已知铁塔
BC
部分
高
32
米，求山高
CD
。
解：在△ABC中，∠ABC=30°，
∠ACB =135°，
D
A< br>B
32
?=60
0
C
?
?=45
0
∴∠CAB =180°－(∠ACB+∠ABC)
=180°－(135°+30°)=15°

又BC=32,
由正弦定理
BCAC

?
sin?BACsin?ABC
B Csin?ABC32sin30
0
得：
AC???
0
sin?BA C
sin15
16
6?2
4
?16(6?2)m

课堂小结
1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。
掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。
2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意 ，分清已知与所求，根
据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余弦定理解题。
3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程
图可表示为：


实际问题
画图
数学模型
解
三
角
正弦定理余弦定理综合应用
形

检验（答）
一、知识梳理
1．内角和定理：在
?ABC
中，A?B?C?
?
；
sin(A?B)?
sinC
；
co s(A?B)?
?cosC

111
S
?ABC
?absi nC?bcsinA?acsinB
222
面积公式: 在三角形中大边对大角，
反之亦然.
2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.
abc
???2R
形式一：
sinAsinBsinC
(解三角形的重要工具)

形式二：
?
a?2R sinA
?
?
b?2RsinB
?
c?2RsinC
? (边角转化的重要工具)
形式四：形式三：
sinA?
a:b:c?sinA:sinB:sinC
abc
,sinB?,sinC?
2R2R2R

3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..
222222
222
形式一：
a?b?c?2bccosA

b?c?a?2cacosB

c?a?b?2abcosC
(解三角形的重要工具)
b
2
?c< br>2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
cosA?cosB?cosC?2bc2ac2ab
形式二：
二、方法归纳
abc
??
(1)已知两角A、B与一边
a
,由A+B+C=π及
sinAsinBsinC
，可求出角
C，再求
b
、
c.
(2)已知两边
b
、
c
与其夹角A，由
a
2
=
b
2
+
c
2
-2
b
ccosA，求出
a
，再由余
弦定理，求出角B、C.
(3)已知三边
a
、
b
、
c
，由余弦定理可求出角A、B、C.
ab
?
(4)已知两边
a
、
b
及其中一边的对角 A，由正弦定理
sinAsinB
，求出
ac
?
另一边
b< br>的对角B，由C=π-(A+B)，求出
c
，再由
sinAsinC
求 出C，而
ab
?
通过
sinAsinB
求B时，可能出一解，两解或 无解的情况
a
=
b
sinA有一解
b
>
a
>
b
sinA有两解
a
≥
b
有一解
a
>
b
有一解
三、课堂精讲例题
问题一：利用正弦定理解三角形
?B?
【例1】在
?ABC
中，若
b?5
，
?
1
52
,
sinA?
，则a?
.
43
3

【例2】在△ABC中，已知
a
=
【适时导练】
3
,
b
=
2
,B=45°,求A、C和
c
.
1.（1）△ABC中，
a
=8,B=60°,C=75°,求
b
; （2）△ABC中，B=30°,
b
=4,c=8,求C、A、a.
.
问题二：利用余弦定理解三角形
b?2
，【例3】设
?ABC
的内 角
A、B、C
所对的边分别为
a、b、c
.已知
a?1
，< br>cosC?
1
.
4
（Ⅰ）求
?ABC
的周长；（Ⅱ ）求
cos
?
A?C
?
的值.
【例4】（2010重庆文数） 设
?ABC
的内角A、B、C的对边长分别为
a
、
b
、
c
,且3
b
2
+3
c
2
-3
a
2
=4
2
b
c
.
2sin(A?)sin(B?C?)
44
的值. (Ⅰ) 求sinA的值；(Ⅱ)求
1?cos2A
??
【适时导练】
2 在△A BC中，
a
、
b
、
c
分别是角A，B，C的对边，且
cosB
=-
cosC
b
2a?c
.
（1）求角B的大 小；（2）若
b
=
13
，
a
+
c
=4，求 △ABC的面积.
问题三：正弦定理余弦定理综合应用
【例5】（2011山东文数）在< br>?
ABC中，内角A，B，C的对边分别为
a
，
b
，
cosA-2cosC2c-a
=
．
cosBb
sinC1
（I）求的值； （II）若cosB=，
?
ABC
的周长为5，求
b
的
sinA4
c．已知
长。

【 例6】（2009全国卷Ⅰ理）在
?ABC
中，内角A、B、C的对边长分别为
a、
b
、
c
，已知
a
2
?c
2
?2b
，且
sinAcosC?3cosAsinC,
求b

3． 在△
ABC
中，
a
、
b< br>、
c
分别是角
A
、
B
、
C
的对边， 且8 sin
2
2 cos 2
A
＝7．
B?C
－
2
（1）求角
A
的大小；（2）若
a
＝
3
，b
＋
c
＝3，求
b
和
c
的值．
问题四：三角恒等变形
【例7】（08重庆） 设
?ABC
的内角A，B， C的对边分别为
a
,
b
,
c
，且A=
60
，c=3b.求：
a
（Ⅰ）
c
的值；（Ⅱ）cotB +cot C的值.
4.（2009江西卷理）△
ABC
中，
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
，
tanC?
sinA?sinB
,
sin(B ?A)?cosC
.
cosA?cosB
（1）求
A,C
；（2） 若
S
?ABC
?3?3
,求
a,c
.
问题五：判断三角形形状
【例8】在△ABC中，在
?ABC
中，
a,b,c
分别是角A、B、C所对的边，bcosA
＝
a
cosB，试判断
?ABC
三角形的形状.
【例9】. 在△ABC中，在
?ABC
中，
a,b,c
分别是角A、B、C所对的边，
cosAb
若 ＝ ，
cosBa
【适时导练】
5.在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形
形
6.在△ABC中，
a
、
b
、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（
a
2
B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角
+b
2
）sin（A-B）=（
a
2
-b
2
）sin（A+B），判断三角形的形状.
问题六：与其他知识综合
【例10】已知向量
m?(a?c,b),n?(a?c, b?a),且m?n?0
，其中A，B，C是

△ABC的 内角，
a
,
b
,c分别是角A，B，C的对边.（1）求角C的大小；
（2）求
sinA?sinB
的取值范围.
7（2009浙江文）在
?A BC
中，角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
，且满足
A25
，
AB?AC?3
．
?
25
（I）求
?ABC
的面积； （II）若
c?1
，求
a
的值．
cos
问题7：三角实际应用
【例11】 要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距
3
km的C、D
两点，并测得∠ACB =75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠
ADB=45°，求A、B之间的距离.