高中数学解三角形解答题专题训练含答案

解三角形解答题专题训练 2017.12
1．在
?ABC
中， 角
A,B,C
所对的边分别是
a,b,c
，已知
csinA?3ac osC
.
（Ⅰ）求
C
；
（Ⅱ）若
c?7
，且< br>sinC?sin(B?A)?3sin2A
，求
?ABC
的面积.
解：（Ⅰ）由正弦定理，得
sinCsinA?3sinAcosC
，
因为
sinA?0
，解得
tanC?3
，
C?
?
3．
（Ⅱ）由
sinC?sin(B?A)?3sin2A
，得
s in(B?A)?sin(B?A)?3sin2A
，
整理，得
sinBcosA?3sinAcosA
．
若
cosA? 0
，则
A?
?
2
，
21
c
?
，
?tan
，
b?
3
b3
173
．
?ABC
的面积
S?bc?
26

若
cosA? 0
，则
sinB?3sinA
，
b?3a
．
由余弦定理， 得
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
， 解得
a?1,b?3
．
?ABC
的面积
S?absinC?
综上，
?ABC
的面积为
1
2
33
．
4
7333
或．
64
2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c. 已知a+b=5，c=7
，且
4sin
2
A?B7
?cos2C?.

22
(Ⅰ) 求角C的大小；
（Ⅱ）求△ABC的面积.
解: (Ⅰ) ∵A+B+C=180°由
4sin
2
∴
4?
A?B7C7
?cos2C?得4cos
2
?cos2C?

2222
1?cosC7
?(2cos
2
C?1)?

22
整理，得
4cos
2
C?4cosC?1?0
解得：
cosC?
1

2

∵
0??C?180?
∴C=60°
（Ⅱ） 由余弦定理得：c
2
=a
2
+b
2
－2abcosC，即7 =a
2
+b
2
－ab ∴
7?(a?b)
2
?3ab

由条件a+b=5得 7=25－3ab ， 故
ab=6

∴
S
?ABC
?ab sinC??6?
所以
△ABC
的面积
S?
1
2
1
2
333

?
22
13
absinC?3
．
22
3．已知< br>a,b,c
分别为
?ABC
三个内角
A,B,C
所对的边长， 且
acosB?bcosA?2ccosC
.
（1）求角
C
的值；
（2）若
c?4,a?b?7
，求
S
?ABC
的值.
解：（1）由正弦定理：
abc
，
??
sinAsinBsinC
得：
sinAcosB?sinBcosA?2sinCcosC
，
又
sinC?sin(A?B)?2sinCcosC
，
∴
cosC?
1
?
，
C?
.
23
（2）由余弦定理：
c
2
?a
2
?b
2
?2ab cosC
，
即
4
2
?(a?b)
2
?2ab?2 abcos
?
3
，
∴
ab?11
，∴
S
?ABC
?
113113
absinC??11??
2224
4．在
?ABC
中，内角
A,B,C
的对边为
a,b,c
，已知
2cos
2
（1）求角
C
的值；
（2）若
c?2
，且
?ABC
的面积为
3
，求
a,b
.
解：（1）∵
2cos
2
A
?(cosB?3sinB)cosC? 1
.
2
A
?(cosB?3sinB)cosC?1
，∴
cosA?cosBcosC?3sinBcosC?0
，
2
∴
?cos(B?C)?cosBcosC?3sinBcosC?0
，
∴
?cosBcosC?sinBsinC?cosBcosC?3sinBcosC?0，

∴
sinBsinC?3sinBcosC?0
，
?
又∵
B
是三角形的内角，∴
tanC?3
（或
2sin( C?)?0
）
3
又∵
C
是三角形的内角，∴
C?
?
3
.
1
?
（2）
S
?ABC
?3
，∴
absi n?3
，∴
ab?4
，
23
又∵
c
2
? a
2
?b
2
?2abcosC
，∴
4?(a?b)
2
?2ab?ab
，∴
a?b?4
，或
a?b?0
，
∴
a?b?2
.
1
5．锐角
?ABC
中，角A、B、C
的对边分别是
a、b、c
，已知
cos2C??
.
4
（Ⅰ）求
sinC
的值；
（Ⅱ）当
a?2
，< br>2sinA?sinC
时，求
b
的长及
?ABC
的面积．
解：（Ⅰ）因为
cos2C?1?2sin
2
C??,0?C??
所以
sinC?
（Ⅱ）当
a?2,2sinA?sinC
时，由正弦定理1
4
?
2
1
4
10
．
4
aC
，解得
c?4
．
?
sinAsinC< br>由
cos2C?2cos
2
C?1??,及0?C?
得
cos C?
6
，
4
由余弦定理
c
2
?a
2?b
2
?2abcosC
，得
b
2
?6b?12?0< br>，
解得
b?26
（负舍），
S
?ABC
?absi nC?15

∴
?
?
?
b?26
?
?S?15
1
2

?
?
6．已知向量
m?(si nx,cos(x?))
，
n?(cosx,?cos(x?))
，且
f(x )?m?n
.
44
（1）求
f(x)
的单调递增区间；
3
??
（2）若函数
g(x)?f(x)?2sin
2
x?m?在区间
[?,]
上有零点，求
m
的取值范围.
244
?
解：（1）由
f(x)?m?n?sinxcosx?cos
2
(x?)< br>
4

11
?
1111
?sin2x?[1?c os(2x?)]?sin2x??sin2x?sin2x?

2222222
由< br>2k
?
?
?
2
?2x?2k
?
?
?
2
,k?Z
，得
k
?
?
?
4
?x ?k
?
?
?
4
,k?Z
，
则
f(x)< br>的递增区间为
[k
?
?
?
,k
?
?],k? Z
.
44
?
13
?
（2）
g(x)?sin2x ??(1?cos2x)?m??2sin(2x?)?m
，
224
g(x)
有零点，即函数
y?2sin(2x?)
与
y?m
图像有交点，
4
?
?
??
函数
y?2sin(2x?)
在区间
[ ?,]
上的值域为
[?1,2]
，
444
由图象可得，
m
的取值范围为
[?1,2]
. 7．如图，
D
是直角三角形
?ABC
斜边
BC
上一点，
AC?3DC
.

（Ⅰ）若
?DAC?30
?
，求
?B
；
（Ⅱ）若
BD?2DC
，且
AD?22
，求
DC
.
解：（Ⅰ）在
?ABC
中，根据正弦定理，有
ACDC
.
?
sin?ADCsin?DAC
3
.
2
∵
AC ?3DC
，所以
sin?ADC?3sin?DAC?
又
?ADC??B?? BAD??B?60
?
?60
?
，∴
?ADC?120
?< br>，
∴
?C?180
?
?120
?
?30
?
?30
?
，∴
?B?60
?
.
（Ⅱ）设
DC?x
，则
BD?2x,BC?3x,AC?3x
，
∴
sinB?
AC36
?,cosB?,AB?6x
.
B C33
在
?ABD
中，
AD
2
?AB
2
? BD
2
?2AB?BD?cosB
，

即
(22)< br>2
?6x
2
?4x
2
?2?6x?2x?
6
?2x
2
，得
x?2
.故
DC?2
.
3
8．在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA-
3
sinA)cosB=0.
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=1,求b的取值范围.
解：(1)由已知得
?cos(A?B)?cosAcosB?3sinAcosB?0
，即有
sinAsinB?3sinAcosB?0
，因为
sinA?0
, 所以
sinB?3cosB?0
,又
cosB?0
,
所以
tanB?3
, 又
0?B?
?
,所以
B?
?
3
.
111
,有
b
2
?3(a?)
2
?
. 又
224
(2)由余弦定理,有
b
2
?a
2
?c2
?2accosB
. 因为
a?c?1,cosB?
0?a?1
,于是有
11
?b
2
?1
,即有
?b?1
.
42
9．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c且cos2B+3cosB﹣ 1=0．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=1，求b的最小值．
解：（1）在△ABC中，∵cos2B+3cosB﹣1=0，
∴2cos
2
B+3cosB﹣2=0，∴或cosB=﹣2（舍去），∴．
（2）∵a+c=1，由余弦定理，得b
2
=a
2
+c
2
﹣2accosB=（a+c）
2
﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3a
2
﹣
3a+1，其中0＜a＜1，
∵f（a）=3a
2
﹣3a+1在
∴
上递减，在
．
上递增，
，又0＜b＜1，∴
10．已知
?ABC
中，
a
，
b
，
c
分别是角
A
，
B
，C
的对边，且
b
2
，
c
2
是关于
x< br>的一元二次方
程
x
2
?(a
2
?bc)x?m?0< br>的两根.
（1）求角
A
的大小；
（2）若
a?3
，设
B=
?
，
?ABC
的周长为
y
，求
y ?f(
?
)
的最大值．
b
2
?c
2
?a
2
1
?
，又∵解：（1）在
?ABC
中，依题意有：
b?c?a?bc
，∴
cosA?
2bc2
??
bca
A ?(0，
?
)
，∴
A?
；（2）由
a?3
，
A?
及正弦定理得：
???2
，
33
sinBsinCsinA
222

∴
b?2sinB?2sin
?
，
c ?2sinC?2sin(
故
y?a?b?c?3?2sin
?
?2sin(
由
0?
?
?
2
?
2
?
?B)?2 sin(?
?
)
，
33
2
?
?
?
?
)
，即
y?23sin(
?
?)?3
，
6< br>3
?
2
?
??
5
?
??
得：
?
?
??
，∴当
?
??
，即
?
?
时，
y
max
?33
.
3
366662
11 ．已知在△ABC中，（1）若三边长a，b，c依次成等差数列，sinA：sinB=3：5，
求三个内角中最大角的度数；
（2）若
BA?BC?b
2
?
?
a?c
?
2
，求cosB．
解：（1）在△ABC中有sinA：sinB=3：5，
∴a：b=3：5，设a=3k，（k＞0）则b=5k，
∵a，b，c成等差数列，∴c=7k，
222
3k
?
?
?
5k
?
?
?
7k
??
∴最大角为C，有cosC ==﹣，∴C=120°
2?
?
3k
?
?
?
5k
?
（2）由
BA?BC
=b
2
﹣（a﹣c）
2 得：accosB=b
2
﹣（a﹣c）
2
，
即accosB =a
2
+c
2
﹣2accosB﹣（a
2
+c
2< br>﹣2ac），∴3cosB=2，∴cosB=．
12．在
?ABC
中，a,b,c
分别为角
A,B,C
所对的三边，
a
2
?( b?c)
2
?bc
，
(Ⅰ)求角
A
；
(Ⅱ)若
BC?23
，角
B
等于
x
，周长为
y
，求 函数
y?f(x)
的取值范围.
解：(Ⅰ)由
a
2
?(b ?c)
2
?bc
，得
a
2
?b
2
?c2
??bc
，
b
2
?c
2
?a
2< br>1
?
?cosA??
又
0?A?
?
，
A?

2bc2

3
(Ⅱ )
?
ACBC
BC23
?,
?AC??sinx??sinx?4s inx

?
sinxsinA
3
sin
3
2
同理：
AB?
BC2
?
?sinC?4sin(?x)

sinA3
?y?4sinx?4sin(
2
??
?x)?23?4 3sin(x?)?23

36

?A?
?
3

?0?x?
2
?

3

故
x?< br>??
5
?
?
1
?(,)
，
sin(x?)? (,1]
，
?y?(43,63]
.
666
62
13 ．在
?ABC
中，
(2a?c)cosB?bcosC

（1）求角B的大小;
（2）求
2cos
2
A?cos(A?C)
的取值范围.
解：(1）由已知得：
(2sinA?sinC)?sinBcosC
，
即
2sinAcosB?sin(B?C)
∴
cosB?
∴
B?
?

3
1
2
（2）由（1）得：
A?C?
2
?
，故
2co s
2
A?cos(A?C)?2cos
2
A?cos(2A?
32
?
)

3
1331
?(cos2A?1)?(?co s2A?sin2A)?sin2A?cos2A?1

2222
?sin(2A?)?1

6
?
又
0?A ?
2
?
??
3
?
∴
?2A??
3662
所以
2cos
2
A?cos
?
A?C
?
的取值范围是
(0,2]
.
14．在△
(Ⅰ)求；
面积的最大值.
中，内角
A、B、C
的对边分别为
a、b、c
,已知.
( Ⅱ)若
b?2
，求△
解：(Ⅰ)由已知及正弦定理得
sinA?sinBco sC?sinCsinB

又
A?
?
?(B?C )
，故
sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC

得
sinB?cosB
，又
B?
?
0,
?
?
，所以
B?
?
4
.
(Ⅱ) ⊿
ABC
的面积
S?
12
acsinB?ac

2 4
由已知及余弦定理得
4?a
2
?c
2
?2accos?
4

又
a
2
? c
2
?2ac
.故
ac?
4
2?2
，当且仅当a?c
时，等号成立.
因此⊿
ABC
的面积的最大值为
2?1
.
15．如图，在△
ABC
中，已知
?B?45
，D是BC边上一点， AD=10，AC=14，DC=6，求AB的
长.
A
B
D
C

10
2
?6
2
?14
2
1
??
, 解：在△
ABC
中，∵AD=10，AC=14，DC=6∴
cos?ADC?
2?10?62
∴
?ADC?120
, ∴
?ADB?60
∴在△
ABD
中，∵
?B?45
，
∴
ABAD
，
?
sin60sin45
∴
AB?10?2?
3
?56.< br>
2
?
6
16．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a， b，c，已知函数
f(x)?sin(2x?)
满足：对
于任意
x?R,f( x)≤f(A)
恒成立．
（1）求角A的大小；
（2）若
a?3
，求BC边上的中线AM长的取值范围．
解：（1）由题意，∵对于任意
x?R,f(x)≤f(A)
恒成立， ∴
f(x)?sin(2x?)
的最大值为
6
f(A)
，
?
当
f(x)
取得最大值时，
2x?
?
?
6
?2k
?
?
?
2
,k?Z
，即
x?k
?
?
?
3
,k?Z
，
∴
A?k
?
?,k?Z
，又∵A是三角形的内角，即
0?A?
?
，∴
A?
3
?
3
．
（2）∵AM是BC边上的中线，
∴在△ABM中，
AM
2
??2AM?
在△ACM中，
AM
2
??2 AM?
3
4
3
4
3
?cos?AMB?c
2
， ①
2
3
?cos?AMC?b
2
， ② 2
又∵
?AMB?
?
??AMC
，∴
cos?AMB? ?cos?AMC
，

b
2
?c
2
3
?
①＋②得
AM??
．由余弦定理
a
2
?b
2
?c
2
?2bccos?b
2
?c
2
?bc?3
，
24
3
2
b
2
?c
2
∵
0?b?c?3?bc≤，∴
3?b
2
?c
2
≤6
，
2
22
∴
?AM
2
≤
，即
3
4
9
433
?AM≤

22
17．设
?ABC
的内角
A
，
B
，
C
，所对的边长分别为
a
，
b< br>，
c
,
m?
?
cosA,cosC
?
，n?
?
3c?2b,3a
，且
m?n
．
?
（1）求角
A
的大小；
（2）若
a?b
，且< br>BC
边上的中线
AM
的长为
7
,求边
a
的值 ．
解：（1）∵
m?n?0
，∴
(2b?3c)cosA?3acosC< br>，
∴
(2sinB?3sinC)cosA?3sinAcosC
， 4分
2sinBcosA?3sinAcosC?3sinCcosA?3sin(A?C)
，
则
2sinBcosA?3sinB
， 6分∴
cosA?
（2 ）由（1）知
A?
设
AC?x
，则
MC?
3
?，∴
A?
；
2
6
?
6
，又∵
a?b
，∴
C?
2
?
，
3
1
x
，
AM?7
，在
?AMC
中，由余弦定理得：
2
A C
2
?MC
2
?2AC?MCcosC?AM
2
，
xx2
?
即
x
2
?()
2
?2x?cos?(7)
2
，
223
解得
x?2
，即
a?2
．
18．在
?ABC
中，
m?(2a?c,cosC),n?(b,cosB)
且
m
∥
n

（1）求角B的大小；
（2）若
b? 1
，当
?ABC
面积取最大时，求
?ABC
内切圆的半径．
解：（1）因为
m
∥
n
，所以
（2a?c）cosB?bcosC ?0
，
?
(2sinA?sinC)cosB?sinBcosC
，
即
2sinAcosB?sin(B?C)
，
?cosB?
1
?< br>?B?

23

（2）由（1）得
?B?
?
3
，又
b?1
，
?ABC
中 < br>2
b
2
?a
2
?c
2
?2accosB得
b
2
?a
2
?c
2
?ac
即
1?3ac?
?
a?c
?
，
又因为
?
a?c< br>?
2
?4ac
．得
1?3ac?4ac
即
ac?1< br>．所以
S
?ABC
?
当且仅当
a?c?1
时
S
?ABC
最大值为
133
acsinB?ac?

244
1
33
．此时由
S
?ABC
?
?
a?b? c
?
r
，
r?
．
2
46
1
19 ．设
?ABC
的内角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c,
且
bcosC?a?c
．
2
（Ⅰ）求角
B
的大小； < br>（Ⅱ）若
b?1
，求
?ABC
的周长
l
的取值范围．
1
解：（Ⅰ）∵
bcosC?a?c
，
2
a
2< br>?b
2
?c
2
1
?a?c
， ∴由余弦定理，得b.
2ab2
∴
a
2
?b
2
?c
2< br>?2a
2
?ac
， ∴
a
2
?c
2
?b
2
?ac
，
∴
2accosB?ac
，则
cosB?
?
1
， ∵
B?(0,
?
)
，∴
B?
．
3
2< br>（Ⅱ）
l?a?b?c?a?c?1,由(1)知a
2
?c
2
?1?ac
，
3
∴
(a?c)
2
?1?3ac
∴
(a?c)
2
?1?3ac?1?(a?c)
2
∴
(a? c)
2
?4
．∴
a?c?2
．
4
又∵
a ?c?b?1
，∴△ABC的周长
l?a?b?c?(2,3]
．
20．如 图，在
?ABC
中，点
D
在
BC
边上，
?CAD?
?
4
,AC?
72
,cos?ADB??
.
210

（1）求
sin?C
的值；
（2）若
BD?5
，求
?ABD
的面积.

解：（1）因为
cos?ADB??
又因为
?CAD?
272
，所以
sin?ADB?
.
1010
?
4
，所以
?C? ?ADB?
?
4
.
?
?
??
722224
?
所以
sin?C?sin
?
?ADB?
?
?sin?A DB?cos?cos?ADB?sin?????
.
4
?
4410210 25
?
（2）在
?ACD
中，由
ADAC
，
?< br>sin?Csin?ADC
74
?
AC?sin?C
25
?? 22
. 得
AD?
sin?ADC
710
10
所以
S
?ABD
?
1172
AD?BD?sin?ADB??22?5??7.
2210
?
A?B
?
21．在△ABC中，角A，B，C所 对的边分别为
a
，b，c，且
2sin
2
??
?cos2C ?1
，
a
＝1，
2
??
b＝2．
（1）求∠C和边c；
（2）若
BM?4BC
,
BN?3BA,且点P为△BMN内切圆上一点，求
PA?PB?PC
的最
值．
?< br>A?B
?
解：（1）因为
2sin
2
??
?cos2 C?1
，
2
??
222
?
A?B
?
co s2C?1?2sin
2
??
?cos(A?B)??cosC
2
? ?
所以，
2
所以
2cosC?cosC?1?0
，所以
c osC??1
或
cosC?
1
2
，
又因为
C?( 0,
?
)
，所以
cosC?
1
?
C?
2< br>，所以
3
．由余弦定理可得，
c?a
2
?b
2
?2abcosC?3
．
建立坐标系，由（1）A
?
3,0,B
?
0,0
?
,C(0,1)
，由
BM?4BC
,
B N?3BA
知
22
?
M(0,4),N
?
3,0
?
，△BMN的内切圆方程为：
?
x?1
?
?
?
y ?1
?
?1
，设
P(x,y)
，则令

?< br>x?1?cos
?
,
?
?
?
0,2
?
?

?
?
y?1?sin
?
PA?PB?PC?x?3? y
2
?x
2
?y
2
?x
2
?
?< br>y?1
?
222
??
2
2
?3x
2
?3y
2
?23x?2y?4?11?23?4sin
?
?6?23cos< br>
?
??
?11?23?64?243sin
?
?
?
?
?
?11?23?64?243