高中数学 正余弦定理解三角形 教师版

知识切片
我会解三角形
你会么？






【教师备案】 在初中的时候，我们就学过解直角三角形，解直角三角形是怎么回事呢？在直角三角形
中，除了告诉我们 直角外，还有5个要素，我们发现，如果解这个三角形，把要素都求
出来，必须要知道至少2个要素，当 然不能为2个角，换言之，解直角三角形就是知二
求三的过程.当然，在我们学习了任意角的三角函数之 后，我们的视野不能这么小，如果
给我们一个一般的三角形，那我们应该如何解这个三角形呢？我们应该 至少要知道几个
量？我们先来回顾一下初中边和角相关的东西，我们在初中学过尺规作图，而且学过三< br>角形全等的证明（
SSS，
，只要给出上述条件我们就能把三角形确定，
SAS ，ASA，AAS
）
也就是全等. 那么，为什么我们知道2条边1个夹角就能求出其他要素呢 ？而知道两条边
和一边的对角就无法证明三角形全等呢？三角形的边和角之间存在什么关系呢？尺规作< br>图毕竟是定性的感受，在高中阶段，我们可以给出一个严格的证明，就是今天我们要讲
的正余弦定 理.正余弦定理的本质就是构造边与角之间的关系，由角就可以求出边，由边
就可以求出角.下面我们就 先来介绍正弦定理.

1.1正弦定理与其在解三角形中的应用


b，c
表示：

在
△ABC
中的三个内角
A
，
B
，
C的对边分别用
a，
知识点睛


abc
．
??
sinAsinBsinC
【教师备案】

正弦定理的推导由三角形中的线段关系或者由三角形的外接圆可以直接得到，且

ab c
???2R
，其中
R
为
△ABC
的外接圆的半径．建议老 师用三角形的外
sinAsinBsinC
接圆给学生证明，因为板块
1.4
中讲三角形面积的时候还会用到三角形的外接圆，所以
不如这时给学生讲了
.
利用三角形中的线段关系证明正弦定理：

A
ab
①
在Rt△ABC
中（如图），有
?sinA，?sinB
，

cc
c
b
ababc
??c
，又因为
sinC?1
，所 以
??

因此
sinAsinBsinAsinBsinC
CBa
CD
?sinA
，
②
在锐角
△ABC
中（如 图），作
CD?AB
于点
D
，有
b
C
CD
a
b
?sinB
，即
CD?asinB
，因此

即
CD?bsinA
；
a
A
B
abac
c
D
??
bsinA?asinB
，即，同理可证，因
sinAsinBsinA sinC
abc
??

此
sinAsinBsinC
③在钝角
△ABC
中（如图），作
CD?AB
，交
AB
的 延长线于
C
CD
?sinA
，即
CD?bsinA
；点D
，则
b
b
a
CD
?sin
?
180 ?B
?
?sinB
，即
CD?asinB
，因此

A
a
c
BD
abac
??
bsinA?asinB
，即，同理可证，因
sinAsinBsinAsinC
abc
??

此
sinAsinBsinC
利用平面几何知识证明正弦定理：

如 图所示，设
O
为
△ABC
的外接圆的圆心，连
BO
并延长< br>C
交
O
于
A
?
，连
A
?
C
，则
A
?
?A

或
A
?
?π?A
，

A
'
BCa a
??2R
，同理可证，即
∴
sinA?sinA
?
?A
?
B2RsinA
O
AB
bcabc
?2R???? 2R

，故有
sinBsinCsinAsinBsinC
当
△AB C
是钝角三角形时，类似地得出上述结论
.
利用向量知识证明正弦定理：

①
当
△ABC
是锐角三角形时，过
A
点作单位向量
i
垂直于
AB
，

如图，
∵
AC?AB?BC
,
1．正弦定理：在三角形中，各边的 长和它所对的角的正弦的比相等，即
∴
i?AC?i?AB?BC?i?AB?i?BC?i? BC
，

∴
bcos
?
90?A
?
?ac os
?
90?B
?
，得
bsinA?asinB
，

i
??
C

A
B

ab
?

sinAsinB
②
当
△ABC
为钝角三角形时，类似地得出上述结论


2
．利用正弦定理解三角形

⑴解三角形：三角形的三个内角和它们的对边分 别叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其
他元素的过程叫做解三角形．
⑵利用正弦定理可解下列两类型的三角形：

①已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和另一角；

【教师备案】有了正弦定 理之后，我们可以简单的看出，任意的两个角与一边相当于
AAS
和
ASA
的
条件，可以确定所有的角，然后可以确定所有的边，因此，三角形也随之确定
.

②已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其它的边与角．
【教师备案】
1.
已知三角形的两边和一边的对角，由正弦定理可以求得另一边的对角的正 弦值，但是解
三角形时，因为在
(0,π)
内，互补的角的正弦值相等，所以求得另一 边所对的角的正
弦值之后，可能对应有一个角或两个角，因此无法确定三角形的形状，这就是为什么SSA
无法证明三角形全等的原因
.
2.
利用正弦定理证明三角形中“大边对大角”的结论：

?
π?
B?
?
0，
?
，正弦函数①当
△ABC
为锐 角三角形时，若
a?b
，则
sinA?sinB
，又
A，
?
2
?
在此区间内单调递增，故
A?B
；

②当△ABC
为钝角三角形时，若
A
为钝角，则由
A?B?π
得，< br>B?π?A
，

?
π
?
B?
?
0< br>，
?
，故由正弦函数的单调性知：
sinB?sin
?
π?A
?
?sinA
，从而由又
π
?A，
?
2
?
正弦定理知：
b?a
．

对直角三角形，此结论显然成立，故综上知，在任意三角形中，均有大边对大角．

3.
此时，到底取一个角还是取两个角，关键保持一个原则“大边对大角”
.
具体讨论如下：已知
a,b
和角
A
，

若
B
为钝角或直角，则
C
至多有一个解；

若
B
为锐角，得分情况讨论，如图：


C



b
a

a=bsinA , 一解
a>b , 一解


A
B


bsinA
c?4，B?60?
，求
C
．

无解的情况例如：
b?3，
bc
csinB4sin60?23
?
由
?sinC??? ?1
，

sinBsinC
b33
∴
C
无解，从而 满足此条件的三角形不存在．这就是
csinB?b
的情况．



【教师备案】在讲利用正弦定理解三角形时，对于边角互化和利用边角互化判断三角形形状的题型建议放到同步去讲，本板块只讲利用正弦定理解两种类型三角形，在讲完“已知两角和任一
边解三角形
”
后就可以让学生做例1；在讲“已知两边和其中一边的对角解三角形
”
时一 定
要注意三角形的多解问题，具体的多解见考点2的【教师备案】，讲完多解问题后就可以
让学 生做例2的铺垫以及例2.

得

经典精讲


考点1：已知两角和任一边解三角形
【例
1
】 已知两角和任一边解三角形

b，c
分别是
A、B、C
的对边，c?3
，
A?60?
，
C?45?
，
⑴
已知
△ABC
中，
a，
则
a?
_______.
⑵
在
△ABC
中，
B?30?
，
C?45?
，
c?1
，则
b?
_______
；三角形的外接圆半径
R?
_______.
⑶在
△ABC
中，已知
a?8
，< br>B?60
，
C?75
，则
b?
_______.
32
⑴
【解析】
2
22
⑵；
22
bc
??2R
，

已知
B?30
，< br>C?45
，
c?1
，由正弦定理得：
sinBsinC
csi nB1?sin3022
c11
所以
b?
，
2R?

??
???2
,
R?
sinCsin4522
sinCsin45
2
2
⑶
46

8b
由
B?60
，
C?75
，知
A?45
，再由正弦定理有
??b?46

sin45sin60

考点
2
：
已知两边和其中一边的对角解三角形

【铺垫】根据下列条件解三角形：

b?2
；③
A?30，a?6，c?10
；

b?1
；②
A?30，a?1，
①
A?60，a?3，
c?5
，其中有唯 一解的个数为（

）

④
A?150，a?10，
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4

C

【解析】
3
①
bsinA??3
，又
∵3?1
，
∴
有唯一解；
②
bsinA?2sin30?1
，
∴
有唯一解；
2
③
csinA?10sin30?5?6?10
，
∴
有两解；
④
有唯一解
.

【例
2
】 已知两边和一边对角解三角形

⑴
在
△ABC
中，已知
A? 45，a?2，b?2
，则
B?
_______.
b，c
分别是< br>A、B、C
的对边，
a?22，
⑵
已知
△ABC
中，
a，
b?23，A?45?
，

则
B?
_______.
B，C
的对边分别记为
a，，b c
，若
c?x，b?2，B?45?
，且这个

⑶已知
△A BC
，三个内角
A，
三角形有两解，求
x
的取值范围．
< br>⑷（目标班专用）（2010山东卷理数）在
△ABC
中，角
A、B、C
所对的边分别为
a、b、c
，
若
a?2
，
b?2
，
sinB?cosB?2
，则角
A
的大小为 ．

⑴
30

【解析】
ab
bsinA2?sin451?
，
∴
sinB???
，
∵b?a
，
∴B?A
，

sinAsinB
a22
∴B
为锐角，即
B?30

⑵
60
或
120

根据正弦定理得：

由正弦定理得，
sinB?
bsinA23sin453< br>??
，
∵
bsinA?a?b
，
∴
这个三角形有两组
a2
22
解，即
B?60
或
120
.
cb
2x
?
⑶

由正弦定理可得：，解得：
sin C?
，由于三角形有两解，又
B?45?
，

sinCsinB4
222x
则
45?C?135?
且
C?90
，则?sinC?1
，即
??1
，解得
2?x?22
．

224
【点评】 本题的⑶也可用以下方法解，当
csinB?b?c
，即< br>xsinB?2?x
时，对应两个
C
的值，方程
有两组解，解得
2?x?22
．

π
⑷

6
π
由sinB?cosB?2
平方得
1?2sinBcosB?2
，即
sin 2B?1
，因为
0?B?π
，所以
B?
．
4
22
1
b?2
，所以在
△ABC
中，由正弦定理得：又因为
a? 2，
，解得
sinA?
．
?
sinAsinB
2
π
又
∵a?b
，所以
A?B
，所以
A?
．
6
【点评】 易错点：忽略
a?b?A?B
的隐藏条件．多解．


1.2余弦定理及其在解三角形中的应用


知识点睛


【教师备案】在正弦定理中，我们还有两种类型的全等没有讨论，SAS和SSS型，正弦定 理处理的是
对边对角的情形，仅仅用正弦定理是很难把三角形求解出来的，因此，我们需要一个新
的工具，能够把边的条件化成角，就是下面所介绍的余弦定理.
1．余弦定理：三角形任何一边的平 方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，
?
a
2
? b
2
?c
2
,
?
cosC?
222
2ab
?
c?a?b?2abcosC,
?
?
2
?
a2
?c
2
?b
2
22
即：
?
b?a? c?2accosB,
它的变形为：
?
cosB?,

2ac
?
2
?
22
a?b?c?2bccosA.
?
?< br>b
2
?c
2
?a
2
.
?
cosA?
2bc
?
<
教师备案
>
余弦定理的推导可以由三角形的向量运算直接得到，比如：

a?BC?(BA?AC )?(BA?AC)?BA?2BA?AC?AC
?c
2
?2bccos
?< br>π?A
?
?b
2
?c
2
?2bccosA?b
2
．

2
222

yA(bcosC , bsinC)
也可以通过坐标法及两点距离公式得到．

建立合适的坐标系，如图，

bsinC
?
，B
?
a，0
?
，C
?
0，0
?
，

得
A
?
bcosC，
从而有
AB?c?(bcosC?a)
2
?(bsinC)
2
，

222
b
整理得：
c?a?b?2abcosC
.
也可以通过三角形中的线段关系证明：

b
及
?C
（为了方 便起见，假设
?C
为最大的角）在
△ABC
中，已知边
a，
，求边
c
的长

证明：当
?C?90
时，那么
c< br>2
?a
2
?b
2


CB
x

当
?C?90
时，如图，无论?C
为锐角还是为钝角，都过
A
点做边
BC
的高，交
B C

（或延长线）于点
D
，这时高
AD
把
△AB C
分成两个直角三角形
ADB
和
ADC
，

则AD?bsinC
，
BD?a?bcosC
，在
Rt△ADB
中 ，运用勾股定理，得

c
2
?AD
2
?BD
2?b
2
sin
2
C?
?
a?bcosC
??a
2
?b
2
?2abcosC

2






A
c
b
A
c
b
B
a
C
D



2
．余弦定理及其变形常用来解决这样两类解三角形的问题：

①
已知两边和任意一个内角解三角形；

②
已知三角形的三边解三角形．

【教师备案】老师在讲完余弦定理后，可以 就
SSS
和
SAS
型的全等证明做个简单讲解，这样子整个讲
义的主 线就串在一起
.
然后，可以让学生做【铺垫】，【铺垫】是直接套公式的，做完【铺
垫 】就可以做例
3
，例
3
是灵活的运用余弦定理解三角形，在解题过程中需要转 化的；学
生在能够灵活运用余弦定理后，就可以讲考点
4
，用余弦定理判断三角形形状 ，在三角形
中，因为每个角都在
?
0，π
?
内，所以一个角的正弦不 能判断这个角是锐角还是钝角，但
是余弦就能很快的判定是锐角还是钝角，在三角形中，当
co s
?
?0
时，
?
为锐角；当
cos
?
?0
时，
?
为钝角；当
cos
?
?0
时，
?< br>为直角；考点
4
的【铺垫】是直接根据三角
形的三条边判断三角形形状的，老师 可以让学生先体会一下怎么样用余弦判定三角形形
状，例
4
是已知三角形形状，求边的 取值范围的，在解题过程中要注意用余弦定理和构
成三角形的条件
.

B
a
DC
经典精讲


考点
3
：
用余弦定理解三角形

【铺垫】
⑴
在
△ABC
中，
a?5
，
b?8
，
C?60?< br>，则
c?
_______
．

⑵
在
△ABC
中，
a
2
?b
2
?c
2
?bc
， 则
A
等于（

）．

A
．

60
B
．

45
C
．

120
D
．

30

⑴
7

【解析】
由余弦定理
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC?25?64?40?4 9
，
∴
c?7
．

⑵
C

b2
?c
2
?a
2
b
2
?c
2
?(b
2
?c
2
?bc)1
∵
cosA????

2bc2bc2
∵
0?A?180
，
∴
A?120
．


【例
3
】 余弦定理解三角形

⑴
在
△ABC
中，
a?5
，
b?8
，
c?7
，则
sinC?
_______
．

3
⑵在
△AB C
中，已知
sinA?
，
sinA?cosA?0
，
a?3 5
，
b?5
，则
c?
______.
5
13
b?8，cosC?
，则最大角的余弦是
( )
．

⑶在
△ABC
中，若
a?7，
14
1111
A
．
?
B
．
?
C
．
?
D
．
?

5678
3
⑴
【解析】
2

1
3
，
sinC?
．

2
2
34
2
⑵
∵
sinA?cosA?0
，且
sinA?
，
∴cosA??1?sinA??
，又
∵
a?35
，
b?5
，
55
2
?
4
?
222
35?5
2
?c
2
?2?5?c?
?
?
?
，即
c< br>2
?8c?20?0
，解得
c?2
∴
a?b?c?2bcco sA
，
?
5
?
或
c??10
（舍），
∴< br>c?2

⑶ C

由
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
，
∴
c?3
，则
b?a?c
，

a
2
?c
2
?b
2
1
∴
最大角为
B
，
∴
cosB???

2ac7

由余弦定理
c
2
?a
2
?b< br>2
?2abcosC
，
∴
cosC?
??
考点
4
：
用余弦定理判断三角形形状

【教师备案】最大角定三角形的形状，由余弦定理易得，较小两边的平方和与最大边的平方的差可以
定最大角是锐角、直角或钝角．注意:三角形三边关系应满足的为:较小两边的和大于
第三边．

【铺垫】在
△ABC
中，已知
a?5
，
b?6
，
c?7
，则此三角形是一个 三角形．

锐角三角形

【解析】
a
2
?b
2
?c
2
1
??0
，
∴
角
C
为锐角，
∴
三角形为锐
∵c?b?a
,
∴
角
C
为最大角，∴cosC?
2ab5
角三角形


【例
4
】 判断三角形形状

4，x
为三边组成一个直角三角形，则
x
的值为

．
⑴
若以
3，
4，x
为三边组成一个锐角三角形，则< br>x
的取值范围为

．
⑵
若以
3，< br>4，x
为三边组成一个钝角三角形，则
x
的取值范围为

．
⑶
若以
3，
【追问】我们还可以考虑，当我们知道三角形两边 的情况下，求某一个角的取值范围，例如
下面这个问题：
已知
△ABC
中 ，
AB?1，BC?2
，则
?C
的取值范围是______________ __
⑷

（目标班专用）已知三角形的三边长为三个连续自然数
,
且最大角是钝角
.
求这个三角形三
边的长
.

【解析】 ⑴
5
或
7

3
2
?4
2
?x
2
或
3
2
?x
2
?4
2
．
⑵
?
7，5

?
?
1?x?7?
1?x?7
??
依题意有:
?
x?4
或
?< br>x≤4
解得
7?x?5
．
?
222
?
22 2
?
3?4?x
?
3?x?4
⑶
1，7∪
?
5，7
?

解法一：
??
?
1?x?7
?
1?x?7
?
?
依题意有:
?
x?4
或
?
x≤4
解得
5?x?7
或
1?x?7
．
?
222
?
222
?
3?x?4
?< br>3?4?x

解法二：

本题也可以由函数的图象来解决，如图，设圆的半径
OA?3
，

OB?4
，圆上任取一点与
O，B
两点构成三角形，从图形上看

出，当圆上的点在点
D
和点
E
上时，构成直角三角形；当点

在
DE
上时，构成锐角三角形；当点在
AD
和
EG
上时，构成

钝角三角形
.
由此可以很快得出答案
.
π
??
【追问】
?
0，
?

6
? ?
E
F
D
G
C
O
A
B
n?2n? N
?

⑷设三角形三边的长为：
n，n?1，
n
2
?(n?1)
2
?(n?2)
2
最大角为
?
，
∴< br>cos
?
?
，
2n(n?1)
n
2
?(n ?1)
2
?(n?2)
2
∵
?
是钝角，
∴
cos
?
?0
，
∴
?0
，
2n(n?1)
??
∵2n(n?1)?0
，
∴
n
2
?(n?1)
2
?(n?2)
2
?0

∵n?N
?
，
∴n?1
或
2
.
∴
n
2
?2n?3?0
，
∴
?1?n?3，
当
n? 1
时，
1，2，3
不能构成三角形的三边，故舍去.
当
n?2
时，
2，3，4
即为所求三边的长.

a?1，a?2
，其最大角不超过
120
，求
a
的取值范围
.
【拓展】⑴钝角三角形的三边分别是
a，
⑵在
△ABC
中，若三 条边是三条连续的正整数，且最大角是最小角的
2
倍，求
△ABC
的三条边长
.
a?1，a?2
，
∴
显然有
a?2?a?1? a?0
，设钝角三角形

【解析】 ⑴
∵
钝角三角形的三边分别是
a，
的最大的（内）角为
?
，依题意，得
90?
?
≤120
，

由
cos
?
?
a
2
?
?
a?1
?
?
?
a?2
?
2a
?
a?1
?
22
?
1a?3
?
a?3
??
a?1
?
a?3
?0
，

?
，可得
?≤
2a
?
a?1
?
2a
22a
?
3< br>?
解得
a?
?
，3
?

?
2
?
⑵设最小内角为
?
，三边长为
n?1，n，n?1
，根据正弦定 理得：
n?1n?1
，
?
sin
?
sin2
?< br>22
n?1
n
2
?
?
n?1
?
?< br>?
n?1
?
n?1
∴n?1?
，
∴cos
?
?
，根据余弦定理得：
cos
?
?
，

2
?
n?1
?
2n
?
n?1
?
2cos?
n
2
?
?
n?1
?
?
?
n ?1
?
n?1
5，6

∴?
，解得
n?5
，从而得
△ABC
的三条边分别为
4，
2
?
n?1
?
2n
?
n?1
?
22

1.3正余弦定理在解三角形中的灵活应用


1.正弦定理灵活应用：
①
a?2RsinA
，
b?2RsinB
，
c?2RsinC
(
其中
R
为
△ABC
的外接圆的半径
)
；

abc
②
sinA?
，
sinB?
，
sinC?< br>；

2R2R2R
③
a:b:c?sinA:sinB:sinC
．

2.
正余弦定理的综合应用

已知条件

应用定理

一般解法

一边和两角

正弦定理

由
A ?B?C?π
，求角
A
；由正弦定理求出
b
与
c
．

C
）

（如
a，B，
两边和夹角

余弦定理

由余弦定理求第三边
c
；由正弦定理求出小边所对的角< br>b，C
）

（如
a，
正弦定理
(
此角一定是锐角
)
；再由
A?B?C?π
，求剩下的角
.
余弦定理

b，c
）

由余弦定理求出最大角，然后正弦计算剩余两角．

三边（
a，
正弦定理

两边和其中一边的对角

正 弦定理由正弦定理求出角
B
；由
A?B?C?π
，求出角
C
；再利
b，A
）

（如
a，
余弦定理

用正弦定理或余弦定理求
c
．

【教师备案】本板块主要讲正余弦定 理在解三角形中的灵活应用，尤其是正弦定理的灵活运用，根据
正弦定理可以得到三角形的边与角之间的 关系，可以把角全部换成边，也可以把边全部
换成角，【铺垫】就是根据正弦定理把边用角表示，例5是 先要根据正弦定理把边角化掉
再根据余弦定理解三角形，此类题型不属于边角互化题型，是正弦定理的灵 活运用，边
角互化的题型是比如“
a?2bsinA
”类型的，对于这类题我们放到同 步去讲；在讲完正余
弦定理的灵活运用后就可以让学生体会一下正余弦定理在平面几何中的应用，因为在 同
步的时候不会讲此类题型，所以在预习的时候可以给学生介绍一下，具体见例6和目标
班学案 2，而对于三角形中
sin
?
A?B
?
?sinC
的应用建 议放到同步去讲.
知识点睛


【铺垫】在
△ABC
中 ，若
A:B:C?1:2:3
，则
a:b:c?
______.
C?90
，
∴a:b:c?sinA:sinB:sinC?1:3:2
【解析】 由已知得
A?30，B?60，

【例
5
】 正余弦定理的综合运用

⑴
在
△ABC
中，若
sinA:s inB:sinC?3:2:4
，则
cosC
的值为（

）

1122
A
．
?
B
．
C
．
?
D
．

4433
222
⑵
在
△ABC
中， 若
sinA?sinB?sinC
，则角
C
为（

）

A
．锐角
B
．钝角
C
．直角
D
．不确定

abc
【追问】在
△ABC
中，若，则
△ABC
是（ ）
??
cosAcosBcosC
A
.直角三角形
B
.等边三角形

C
.钝角三角形
D
.等腰直角三角形
⑶
（
2010
天津理
7
）

C
的 对边分别为
a，b，c
，在
△ABC
中，内角
A，B，
若< br>a
2
?b
2
?3bc
，
sinC?23sinB，
则
A?
（

）

A
．
30
B
．
60
C
．
120
D
．
150

经典精讲

⑴
A

【解析】
根据正弦定理
sinA?
abc

，
sinB?
，
sinC?
，
∴sinA:sinB:sinC?a:b:c? 3:2:4
，
2R2R2R
3
2
?2
2
?4
2
1
∴cosC???

2?3?24
⑵
B

a
2
?b
2
?c
2
222222

∵sinA?sinB?sinC
，
∴
根据正弦定理得
a?b?c< br>，
∴cosC??0
，
∴
角
2ab
C
为钝角

【追问】
B

⑶
A

由
sin C?23sinB
，根据正弦定理，得
c?23b
.
所以
a
2
?b
2
?3bc?6b
2
，即
a
2
?7 b
2
.
b
2
?c
2?a
2
3
.
所以
A?30?
.
由余弦定理得
cosA??
2bc2

【例
6
】 正余弦定理在平面几何中的应用

⑴

在平行四边形
ABCD
中，
AB?3
，
BC?5
，
AC?6
，求
BD< br>
7
⑵

在
△ABC
中，已知
AB?4，
AC?7
，
BC
边上的中线
AD?
，那么
B C?

．

2
466
⑶

（目标班专用）
,
cos?ABC?
在
△ABC
中，已知
AB?
，
AC
边上的中线
BD?5
，
36
求
sinA
的值

【解析】 ⑴如图，在
△ABC
中，
AC
2
?AB
2
?BC
2
?2AB?BCcosB
，< br>
A
D
即
6
2
?3
2
?5
2
?2?3?5cosB

①

在
△ABD中，
BD
2
?AB
2
?AD
2
?2AB?AD cosA
，

B
即
BD
2
?3
2
?5
2
?2?3?5cosA

②

C
22 22
①
+
②得：
6?BD?23?5
，即
BD?42

【点评】由本题可以得出平行四边形定理：平行四边形的对角线平方之和等于四条边长平方之和


⑵

解法一：如图：设
BD?x
，则
BC?2x
，
DC?x
，

∵
?ADB?π??ADC
,∴cos?ADB??cos?ADC
，由余弦定
??
?
7
??
7
?
x?
??
?4
2
x
2
???
?7
2
9
?
2
??
2
?
理，得，解得
x?
，
∴BC?9

??
77
22?x?2?x?
22
2
22
A
7
2
4
B
x
7
Dx
C
2222
解法二：由平行四边形定理得：< br>BC?24?7?7?81
，
??
∴BC?9

⑶

如图：设
E
为
BC
的中点，连接
DE
，则
DE∥AB
，且

126
，设
BE?x
，在
△BD E
中利用余弦定理可得：

DE?AB?
23
BD
2
?BE
2
?ED
2
?2BE?EDcos?BED
，
< br>6
∵cos?BED?cos
?
π??DEC
?
?cos?
π??ABC
?
??cos?ABC??
6

A46
3
5
D
7
8266
∴5?x??2??x
，解得
x?1
或
x??
（舍），

3
336
28
222
故
BC?2
，从而
AC?AB?BC?2AB?BCc os?ABC?
，即

3
2
B
x
E
C

AC?
221
,
3
221
2
3070
?
3
，
∴sinA?

又
∵sin?ABC?
，故< br>sinA
30
614
6


1.4三角形的面积


知识点睛


【教师备 案】因为三角形的面积和正余弦定理关系不是特别紧密，而且到本讲结束，三角形的面积公
式已经全部讲 完，所以把三角形的面积单独做一个板块，老师可以把所有的三角形面积
公式给学生讲一下.
11111abc
面积公式：
S?ah
a
?
?
a?b?c< br>?
r?absinC?bcsinA?acsinB?
．
222224R其中
r
为
△ABC
内切圆半径，
R
为外接圆半径. < br>11
【教师备案】在求三角形的面积时，学生印象最深的就是
ah
a
， 那这个时候老师就可以根据
ah
a
推导
22
其它公式，并且老师可以 在这里把三角形的面积公式全部给学生整理一下，但是本讲重
1
点是介绍
S?absi nC
类型的三角形面积公式，如果学生的程度很好，老师可以介绍一
2
下“海伦公式” 和圆内接四边形面积公式.
a?b?c
【选讲】海伦公式：
S?p
?
p?a
??
p?b
??
p?c
?
，其中
p?.
C
2
?
a?b?c
?

111
【推导】
S?absinC?ab1?cos
2
C?ab1 ?
A
B
c
22
2224ab
2
11
?4a
2
b
2
?
?
a
2
?b
2
?c
2
?
?2ab?a
2
?b
2
?c
2< br>??
2ab?a
2
?b
2
?c
2
??
44
1
?
1
22
?a?b
?
?c
2??
c
2
?
?
a?b
?
?
?a?b? c
??
a?b?c
??
a?c?b
??
b?c?a
?

?
???
4
?
4
?
1
令p?
?
a?b?c
?
，则
S?p
?
p?a??
p?b
??
p?c
?

2
222
2
b
a

圆内接四边形面积：
S ?
22
?
p?a
??
p?b
??
p?c
? ?
p?d
?
，其中
p?
22
a?b?c?d
. < br>2
a
2
?b
2
?c
2
?d
2
【推导】由
a?b?2abcos
?
?c?d?2cdcos
?
π ?
?
?
，可得
cos
?
?

2ab?2cd

sin
?
?1?cos
2
?
?
?
2ab?2cd
?
2
?
?
a
2
?b
2
?c
2
?d
2
?
2< br>2ab?2cd

D
a
d
B
π-θ
c
A
C
θ
b

=
?
b?c ?d?a
??
a?c?d?b
??
a?b?d?c
??
a? b?c?d
?
2ab?2cd

S?
=
11
absin
?
?cdsin
?
π?
?
?
?
?
?
ab?cd
?
sin?

?
22
1
4
?
b?c?d?a
? ?
a?c?d?b
??
a?b?d?c
??
a?b?c?d
?
?
a?b?c?d
??
a?b?c?d
??
a?b?c? d
??
a?b?c?d
?

?
?
?a
??
?b
??
?c
??
?d
?

2222
????????
?
?
p?a
??
p?b
??
p?c
??
p?d
?
【教师备案】老师 在讲完三角形的面积后就可以让学生做【铺垫】，【铺垫】是直接利用公式求三角形
面积的，例7不能够 直接利用公式求三角形面积，需要先看在面积公式中缺少哪些变量，
然后再根据题中的已知条件利用正余 弦定理求出所需要的变量，最后再利用面积公式就
可以了.第三题放了一道关于圆内接四边形面积的题目 ，供老师选择使用；例8是已知三
角形面积解三角形，在解题过程中会用到正余弦定理，对于求面积的最 大值的问题建议
放到同步，因为在求最大值的问题时大多数要用到均值定理，学生这时候还没学，所以< br>建议以后再讲.
经典精讲


33
，求
△ABC
的面积.
14
【铺垫】 在
△ ABC
中，若
AB?5
，
BC?7
,
sinB?
【 解析】
∵
AB?5
，
BC?7
,
sinB?
∴S
△ABC
33
，

14
1133153

?AB?BC?sinB??5?7??
22144

【例
7
】 求面积

bc
，
b?43，
⑴
已知
△ABC
，

c?4，B?60?
，三个内角
A,B,C
的对边分别记为
a，，
求
S
△ABC
．
bc
，若
a?2，b?3，c?4
，求
S
△ABC
．
⑵
已知
△ABC
，三个内角
A,B,C
的对边分别记为
a，，
⑶（目标班专用）已知：四边形
ABCD
内接于圆
O
，四边 长依次为
2,7,6,9
，求圆直径
.
⑴
分析
:
三角形的已知条件为常见的
SSA
型．根据条件有两种思路求三角形的面积
:
【解析】
11
S
?ABC
?bc?sinA?ac?sinB
．

22
所以欲求三角形面积需要先求
A
或先求
a
．

csinB4sin60
?
1
bc
??
，

?
方法一
:
由正弦定理知，
sinC?
b2
sinBsi nC
43
因为
C
是三角形的一个内角，故
C?30
?
或
150
?
，

又
B?60
?
，故
C?30
?
．

1
A?180
?
?60
?
?30
?
?90
?
，从而
S
?ABC
?bc?83
．

2
222
a?c?b
方法二
:
由余弦定理得
cosB?
，即
a
2
?4a?32?0
．
?
a?4
??
a ?8
?
?0
．因为
2ac
1
a?0
，所以
a?8
．
S
?ABC
?ac?sinB?83
．

2
⑵
要求面积，先求一个角，已知三边，可以用余弦定理求一角：

a
2
?c
2
?b
2
4?16?911
cosB? ??
，

2ac1616

∴
s inB?1?cos
2
B?
∴
S
?ABC
⑶


85
.
315
，

16
113153
?acsinB??2?4??15
．

22164
b，c
，且面积
S
△ABC
?
【铺垫】已知△ABC
的三边长分别为
a，
1
2
b?c
2
? a
2
?
，则
A
等于（

）

?
4
A
．
45
B
．
30
C
．
120
D
．
15

【解析】
A

1111
S
△ABC
?
?
b
2
?c
2
?a
2
?
??2bccosA?bccosA，又
∵S
△ABC
?bcsinA
，
∴sinA?cosA，
4422
∴A?45


【例
8
】 已知三角形面积解三角形

C
的对边分别为
a，b，c
，
2 sin
2
C?3cosC
，
c?7
，又
△ABC
的 面
△ABC
中，角
A，B，
33
，

2
求
⑴
角
C
的大小；
⑵
a?b
的值

积为
⑴
由已知得
21?cos
2
C?3cosC
，
∴cosC?
【解析】
??
1
或
cosC??2
（舍），

2
∴
在
△ABC
中，
C?60

1331 33
⑵
∵S
△ABC
?absinC?
，
∴absin60 ?
，
∴ab?6
，

2222
又
∵c
2< br>?a
2
?b
2
?2abcosC
，
∴
??< br>7
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
，
∴a
2
?b
2
?ab?7
，
∴a
2
?b
2
?13
，

∴a?b?a
2
?b
2
?2ab?25?5





实战演练

c?3，?C?
【演练
1
】 （
2010
北京卷文理
10
）在
△ABC
中，若
b?1，
1

【解析】
2π
，则
a?________

3
a
2
?b
2
?c
2
方法一
:
由余弦定理
cosC?
得，

a
2
?a?2?0< br>．
∵
a?0
，
∴
a?1
．

2ab
bc1
π
5
?
方法二
:
由正弦定 理得，
sinB?
，
B?
或
π
，又因为
b?c，即
B?C
，

sinBsinC266
π
2ππ< br>所以
B?
，
∴
A?
π
?
π
??．
∴
a?b?1
．

6366

值为（

）．


C
的对边分别为
a，b，c
，若
a
2
?c
2
?b
2
tan B?3ac
，则角
B
的【演练
2
】 在
△ABC
中，角
A，B，
??

A
．

D
【解析】
πππ
5π
π
2π
B
．
C
．或
D
．

或

636633
2 22
由余弦定理
a
2
?c
2
?b
2
?2a ccosB
及
a?c?btanB?3ac
得，

sinB?
??
3
．

2
所以
B?
π
2π
或．

33

【演练3】 在
△ABC
中，已知
sin
2
B?sin2
C?sin
2
A?3sinAsinC
，则角
B
的大 小为（ ）
A
．
150?
B
．
30?
C
．
120?
D
．
60?

A
【解析】
由
sin
2
B?sin
2
C?sin
2
A?3sinAsinC
及正弦 定理可得
b
2
?c
2
?a
2
?3ac
< br>a
2
?c
2
?b
2
3
即得
cosB ?
，
∴
B?150?
．

??
2ac2

C
所对的边分别是
a，b，c
，
tanA?
【演练
4
】 在
△ABC
中，角
A，B，
1
310
，cosB?
，

2
10
若
△ABC
最长的边为
1
，则最短边的长为（

）．

2535455
A
．
D
．


B
．
C
．
5555
D
【解析】
310
由
cosB?
知
B
为锐角，

10
1tanA?tanB
??1
①
，
∴
tan B?
，故
tanC?tan
?
π?A?B
?
??tan?
A?B
?
??
31?tanA?tanB
由
①
知
?C?135?
，故
c
边最长，即
c?1
，又
tanA?tanB
，故
b
边最短，

bc
102
?
∵
sinB?
，
sinC?
，由正弦定理，

s inBsinC
102
∴
b?
csinB55
，即最短边的长为．< br>
?
sinC55


（
2011
西城一模文
15
）

【演练
5
】
设
△ABC
的内角
A
，B
，
C
所对的边长分别为
a
，
b
，
c
，且
cosB?
4
，
b?2
．

5
⑴ 当
A?30?
时，求
a
的值；
⑵ 当
△ABC
的面积为
3
时，求
a?c
的值．
43
【解析】 ⑴ 因为
cosB?
，所以
sinB?
，
55
aba105
由正弦定理，可得
??
，所以
a?
．
sinAsinBsin30?33
13
⑵ 因为
△ABC
的面积
S?acsinB
，
sinB?
，
25
3
所以
ac?3
，
ac?10
．
10
由余弦定理
b
2
?a
2
?c
2
?2accosB
，
8
得
4? a
2
?c
2
?ac?a
2
?c
2
?16< br>，即
a
2
?c
2
?20
．
5
所以
(a?c)
2
?2ac?20
，
(a?c)
2
?40
，
所以，
a?c?210
．

概念要点回顾

1.正弦定理公式 ；余弦定理公式
a
2
?b
2
?
= .
2.三角形面积公式
S?
.





盲人数学家——欧拉
1783年9月18日，法国人蒙 高尔费兄弟举行了第二次热气球升空试验。当天下午，在俄国圣彼得
堡，一位盲老人邀请好友聚餐，庆祝 他计算的气球升空公式得到证明。饭后，他躲开众人又去计算天
王星运行轨道，突然他手中的烟斗跌落地 上，老人合拢了双眼，再也没有醒来。这位为人类科学事业
奋斗到最后一息的盲人，就是欧洲著名数学家 ，瑞士人欧拉(1707—1783)。
欧拉诞生在瑞士名城巴塞尔，从小着迷数学。他13岁就 进了巴塞尔大学，功课门门优秀。17岁时，
他成为这所大学有史以来最年轻的硕士。18岁开始发表论 文，19岁时写的论船桅的论文获巴黎科学院
奖金。
1727年，欧拉应聘到俄国圣彼得 堡科学院工作，1733年26岁时升为副教授和数学部负责人。由
于工作繁忙，生活条件不良，他28 岁时右眼失明。1741—1766年，欧拉应柏林科学院的邀请，为普鲁
士王国工作了25年。176 6年，俄国女皇叶卡捷琳娜二世亲自出面恳请欧拉重返彼得堡。欧拉的工作条
件虽然大为改善，但工作强 度超出了他的体力，劳累过度使他的左眼也失明了。接着又遭火灾，大部
分藏书和手稿化为灰烬。但欧拉 并没有屈服，他说：“如果命运是块顽石，我就化作大锤，将它砸得
粉碎!”大火过后，欧拉又与衰老和 黑暗拼博了17年，他通过与助手们的讨论，以及口授等方式，完
成了大量科学论文和著作，直至生命的 最后一刻。
欧拉在数学、物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面都取得了辉煌的成就。在数学的各 个领域，
常常见到以欧拉名字命名的公式、定理和重要常数。在数学课本上Σ(求和号)、sin、co s(三角函数符
号)等都是他创立并推广的。哥德巴赫猜想也是在他与哥德巴赫的通信中提出来的。欧拉 还首先完成了
月球绕地球运动的精确理论，创立了分析力学、刚体力学等力学学科，深化了望远镜、显微 镜的设计
计算理论。
欧拉一生能取得伟大的成就原因在于：惊人的记忆力；聚精会神，从 不受喧闹的干扰，镇静自若，
孜孜不倦。