高中数学：第1章 解三角形 §1.1-§1.1.2

ruize
§1.1.2 余弦定理


1.在△ABC 中，已知a
2
＋b
2
＝c
2
＋2ab，则C等于
A.30° B.45° C.150° D.135°
解析 在△ABC中，由于已知a
2
＋b
2
＝c
2
＋2ab， < br>a
2
＋b
2
－c
2
2ab
2
则由余 弦定理可得cos C＝＝＝，
2ab2ab2
所以C＝45°，故选B.
★答案★ B
2.在△ABC中，a＝4，b＝4，C＝30°，则c
2
等于
A.32－163
C.16












B.32＋163
D.48

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解析 由余弦定理得
c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos C＝4
2
＋4
2
－2×4×4×
★答案★ A
3.边长为5，7，8的三角形中，最大角与最小角之和为
A.90° B.120° C.135° D.150°
3
＝32－163.
2
解析 设边长为5，7，8的对角分别为A，B，C，
则A＜B＜C.
5
2
＋8
2
－7
2
1
由题意cos B＝＝.
2×5×8
2
1
所以cos(A＋C)＝－cos B＝－，所以A＋C＝120°.
2
★答案★ B
C
5
4．(2 018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝
25
A．42 B.30 C.29 D．25
2
CC
53
5
??
2
解析 因为cos＝，所以cos C＝2cos－1＝2×－1＝－.于是，在△ABC中，
2525
?
5
?
3
－
?
＝32，由余弦定理得AB
2＝AC
2
＋BC
2
－2AC×BC×cos C＝5
2
＋1
2
－2×5×1×
?
所以AB
?
5
?
＝42.故选A.
★答案★ A
57
5.在△ABC中，若a＝b，c＝b，则角C＝________.
33
解析 由余弦定理可知
a
2
＋b
2
－c2
2ab
25
2
49
b＋b
2
－b
2
99
1
＝＝－.
52
2×b
2
3
2π
.
3
cos C＝
又∵C∈(0，π)，∴C＝
★答案★
2π

3

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[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝7，则C＝
A.150° B.120° C.60° D.30°
a
2
＋b
2
－c
2
9＋25－49
1
解析 cos C＝＝＝－，
2ab2
2×3×5
所以C＝120°.
★答案★ B < br>2.已知△ABC三边满足a
2
＋b
2
＝c
2
－3a b，则此三角形的最大角为
A.60° B.90° C.120° D.150°
a
2
＋b
2
－c
2
c
2< br>－3ab－c
2
3
解析 由余弦定理得cos C＝＝＝－，
2ab2ab2
∵0°＜C＜180°，∴C＝150°，
故三角形的最大角是150°.
★答案★ D
3.若△ABC的内角A，B，C所 对边a，b，c满足(a＋b)
2
－c
2
＝4，且C＝60°，则ab
的值为
4
A.
3
B.8－43 C.1
2
D.
3
解析 由(a＋b)
2
－c
2
＝4得a
2
＋b
2
－c
2
＝4－2ab，而a
2< br>＋b
2
－c
2
＝2abcos C，且C＝60°，
4则a
2
＋b
2
－c
2
＝ab，所以ab＝.
3
★答案★ A

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4.若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段
A.能组成直角三角形
C.能组成钝角三角形








B.能组成锐角三角形
D.不能组成三角形
解析 最长线段 为7，且5＋6＞7，因此能构成三角形.∵5
2
＋6
2
－7
2＝12＞0，由余弦定
理，长为7的边所对的角为锐角，即最大角为锐角，则该三角形一定为锐角三 角形.
★答案★ B
5.在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B等于
A.1 B.2 C.2 D.4
a
2
＋ b
2
－c
2
a
2
＋c
2
－b
2< br>2a
2
解析 bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a＝2.
2ab2ac2a
★答案★ C
sin B
6.(能力提升)在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为
sin C
8
A.
5

5
B.
8

5
C.
3

3
D.
5
AB
2
＋AC
2
－BC
2
解析 由余弦定理得cos A＝，解得AC＝3或AC＝－8(舍去).由正弦定
2AB·AC
sin BAC
3
理得＝＝.
sin C
AB
5
★答案★ D
二、填空题(每小题5分，共15分)
1
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分 别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，
3
则c等于________.
1
解析 cos C＝－cos(A＋B)＝－，
3
1
－
?
＝17， 所以c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos C＝3
2
＋2
2
－2×3×2×
?
?
3
?
所以c＝ 17.
★答案★ 17
8.在△ABC中，若三个内角A，B，C满足sin
2< br>A＝sin
2
B＋3sin Bsin C＋sin
2
C，则角A
等于________.
解析 由条件及正弦定理得a
2
＝b
2
＋3bc＋c
2
，

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b
2
＋c
2
－a
2< br>33
即＝－，由余弦定理得cos A＝－，
2bc22
又∵A∈(0，π)，∴A＝
★答案★


sin 2A
9.(能力提升)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.
sin C
b
2
＋c
2
－a
2
5
2
＋6
2
－4
2
3
解析 在△ABC中，cos A＝＝＝，
2bc
2×5×6
4
3
2×4×
4
sin 2A2sin Acos A
2a·cos A
由正弦定理可知＝＝＝＝1.
c
sin Csin C6
★答案★ 1
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10.(11分)已知△ABC的三个内角A，B ，C的对边分别为a，b，c，满足a＋c＝2b，且
2cos 2B－8cos B＋5＝0，求角B的大小，并判断△ABC的形状.
解析 因为2cos 2B－8cos B＋5＝0，
所以4cos
2
B－8cos B＋3＝0，
13
所以cos B＝或cos B＝(舍去).
22
因为B∈(0°，180°)，所以B＝60°，
a
2
＋c< br>2
－b
2
1
所以由余弦定理得cos B＝＝，
2ac2
又因为a＋c＝2b，
所以a
2
＋c
2
－
5π

6
5π
.
6
?
a＋c
?
＝ac， ?
2
?
2
所以4a
2
＋4c
2
－(a
2
＋c
2
＋2ac)＝4ac，
所以3a
2
＋3c
2
－6ac＝0，
所以(a－c)
2
＝0，
所以a＝c，所以△ABC为等边三角形.
11.(12分)在△ABC中，a＝3，b＝26，B＝2A.
(1)求cos A的值；
(2)求c的值.

ruize
解析 (1)由正弦定理得
所以
ab
＝，
sin Asin B
326326
＝，＝，
sin Asin 2Asin A2sin Acos A
6
.
3
即cos A＝
(2)由余弦定理得a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos A，
所以3
2
＝(26)
2
＋c
2
－2×26c×
6
，
3
即c
2
－8c＋15＝0，解得c＝5或c＝3.
当c＝3时，因为a＝3，
所以a＝c，即A＝C，
1
又因为B＝2A，故A＝C＝B，
2
又因为A＋C＋B＝π，
故2B＝π，即B＝
π
，所以b＝a
2
＋c
2
＝32，这与 b＝26矛盾，
2
故c＝3不合题意舍去.因此c＝5.
12.(12分)在△A BC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知
(1)求
sin C
的值；
sin A
cos A－2cos C2c－a
＝.
b
cos B
1
(2)若cos B＝，△ABC的周长为5，求b的长.
4
解析 (1)由正弦定理可设
则
abc
＝＝＝k，
sin Asin Bsin C
2c－a2ksin C－ksin A2sin C－sin A
＝＝，
b
ksin Bsin B
cos A－2cos C2sin C－sin A
所以＝，
cos Bsin B
即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，
化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C).
又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A，
sin C
因此＝2.
sin A
(2)由
sin C
1
＝2，得c＝2a.由余弦定理及cos B＝，
sin A4
1得b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos B＝a
2
＋4a
2
－4a
2
×＝4a
2
，
4
所以b＝2a.

ruize
又a＋b＋c＝5，所以a＝1，因此b＝2.