高中数学第一章解三角形1-1-1正弦定理学案含解析新人教A版必修5

1.1.1 正 弦 定 理


正弦定理
[提出问题]
如图，在Rt△
ABC
中，
A
＝30°，斜边
c
＝ 2.

问题1：求△
ABC
的其他边和角．
提示：
B< br>＝60°，
C
＝90°，
a
＝1，
b
＝3.
问题2：试计算，，的值，三者有何关系？
sin
A
sin
B
sin
C
提示：
abc
b
3
c
＝2，＝＝2，＝2，三者的值相等．
sin
A
sin
B
sin 60°sin
C
a
问题3：对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？
提示：是．如图，∵sin
A
＝，
∴＝
c
.
sin
A
a
c
a
∵sin
B
＝，∴
∵sin
C
＝1，∴
b
c
＝
c
.
sin
B
＝＝.
sin
A
sin
B
sin
C
b
abc
问题4：在钝角△
ABC
中，
B
＝< br>C
＝30°，
b
＝3，试求其他边和角．
提示：如图，△
A CD
为直角三角形，
C
＝30°，
AC
＝3，

则
AD
＝
33
，
CD
＝，
22
BC
＝3·
AB
＝3，∠
BAC
＝120°.
问题5：问题4中所得数字满足问题3中的结论吗？
提示：满足．
问题6：若是锐角三角形，上述结论还成立吗？

提示：成立．
[导入新知]
1．正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝.
sin
A
sin
B
sin
C
2．解三角形
一般地， 把三角形的三个角
A
，
B
，
C
和它们的对边
a，
b
，
c
叫做三角形的元素，已知三
角形的几个元素，求其他元 素的过程叫做解三角形．
[化解疑难]
对正弦定理的理解
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)揭示规 律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，
它描述了三角形中边与角的一 种数量关系．
(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化.
abc

已知两角及一边解三角形
[例1] 在△
ABC
中，已知
a
＝8，
B
＝60°，
C
＝75°，求
A
，
b
，
c
.
[解]
A
＝180°－(
B
＋
C
)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
由
aa
sin
B
8×sin 60°
＝得
b
＝＝＝46，
sin
B
sin
A
sin
A
sin 45°
ca
sin
C
8×sin 75°
＝得
c
＝＝＝
sin
A
sin
C
sin
A
sin 45°
a
8×
2＋6
4
2
2
b
由＝4(3＋1)．
∴
A
＝45°，
b
＝46，
c
＝4(3＋1)．



[类题通法]
已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路
(1)由三角形的内角和定理求出第三个角；
(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．
注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特