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2014-2015学年新课标A版高中数学必修5:第一章++解三角形+单元同步测试(含解析)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 10:16
tags:高中数学解三角形

高中数学课件word免费下载-高中数学理科提分方法

2020年10月6日发(作者:东口)


第一章测试
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共 12小题,每小题5分,共60分.在每小
题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC中,AB=5,BC=6,AC=8,则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形
C.钝角三角形
B.直角三角形
D.非钝角三角形
5
2
+6
2
-8
2
3
解析 最大边AC所 对角为B,则cosB==-
20
<0,
2×5×6
∴B为钝角.
答案 C
2.在△ABC中,已知a=1,b=3,A=30°,B为锐角,那么
A ,B,C的大小关系为( )
A.A>B>C
C.C>B>A
B.B>A>C
D.C>A>B
abbsinA3
解析 由正弦定理sinA

sinB
,∴sinB=
a

2
.
∵B为锐角,∴B=60°,则C=90°,故C>B>A.
答案 C
3.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于( )
A.42
C.46
B.43
32
D.
3

解析 由 A+B+C=180°,可求得A=45°,由正弦定理,得b


3

2
asinB
8×sin60°

sinA

sin45°
==46.
2
2
答案 C
→→
4.在△ABC中,AB=5,BC=7,AC=8,则BA·BC的值为( )
A.5
C.15
B.-5
D.-15
解析 在△ABC中,由余弦定理得
AB
2
+BC
2
-AC
2< br>25+49-64
1
cosB===
7
.
2AB·BC2×5×7
→→→→
1
∴BA·BC=|BA|·|BC|cosB=5×7×< br>7
=5.
答案 A
5.若三角形三边长之比是1:3:2,则其所对角之比是( )
A.1:2:3
C.1:2:3
B.1:3:2
D.2:3:2
解析 设三边长分 别为a,3a,2a,设最大角为A,则cosA=
a
2
+?3a?
2
-?2a?
2
=0,∴A=90°.
2·a·3a
?2a?
2< br>+?3a?
2
-a
2
3
设最小角为B,则cosB==
2

2·2a·3a
∴B=30°,∴C=60°.
因此三角之比为1:2:3.
答案 A
6.在△ABC中,若a=6,b=9,A=45°,则此三角形有( )
A.无解 B.一解


C.两解 D.解的个数不确定
2

2
babsinA3 2
解析 由
sinB

sinA
,得sinB=
a

6

4
> 1.
∴此三角形无解.
答案 A
7.已知△ABC的外接圆半径为R,且2R( sin
2
A-sin
2
C)=(2a-
b)sinB(其中a,b分 别为A,B的对边),那么角C的大小为( )
A.30°
C.60°
B.45°
D.90°
解析 根据正弦定理,原式可化为
c
? ?
a
b
??
2R
4R
2

4R
2
=(2a-b)·
2R

??
∴a
2
-c
2
=(2a-b)b,∴a
2
+b
2
-c
2
=2 ab,
a
2
+b
2
-c
2
2
∴cosC =
2ab

2
,∴C=45°.
答案 B
8.在△AB C中,已知sin
2
A+sin
2
B-sinAsinB=sin
2
C,且满足ab
=4,则该三角形的面积为( )
A.1
C.2
B.2
D.3
22
abc
解析 由
sinA

sinB

sinC
=2R,
又s in
2
A+sin
2
B-sinAsinB=sin
2
C,
可得a
2
+b
2
-ab=c
2
.
a2
+b
2
-c
2
13
∴cosC=
2ab
2
,∴C=60°,sinC=
2
.


1∴S

ABC

2
absinC=3.
答案 D < br>sinB
9.在△ABC中,A=120°,AB=5,BC=7,则
sinC
的值为( )
8
A.
5

5
C.
3

解析 由余弦定理,得
AB
2< br>+AC
2
-BC
2
cosA=,解得AC=3.
2AB·A C
sinBAC3
由正弦定理
sinC

AB

5
.
答案 D
10.在三角形ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC的大
小为( )

A.
3


C.
4


B.
6

π
D.
3

5
B.
8

3
D.
5

AB2
+AC
2
-BC
2
5
2
+3
2-7
2
解析 由余弦定理,得cos∠BAC==
2AB·AC
2×5× 3
12π
=-
2
,∴∠BAC=
3
.
答案 A
11.有一长为1 km的斜坡,它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改
为10°,则坡底要加长( )
A.0.5 km B.1 km


C.1.5 km
3
D.
2
km
解析 如图,AC=AB·sin20°=sin20°,
AC
BC=AB·cos20°=cos 20°,DC=
tan10°
=2cos
2
10°,
∴DB=DC-BC=2cos
2
10°-cos20°=1.

答案 B
12.已知△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=c=6
+2,且A=75°,则b为( )
A.2
C.4-23
B.4+23
D.6-2
解析 在△ABC中,由余弦定理,得a
2=b
2
+c
2
-2bccosA,∵a
=c,∴0=b
2
-2bccosA=b
2
-2b(6+2)cos75°,而cos75°=cos (30°
2
?
31
?
1
+45°)=cos30°cos4 5°-sin30°sin45°=
2
?

?

4
(6-2),∴b
2
2
??
2
1
2
-2b(6+2 )cos75°=b
2
-2b(6+2)·(6-2)=b-2b=0,解得
4
b=2,或b=0(舍去).故选A.
答案 A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填
在题中横线上)
1 3.在△ABC中,A=60°,C=45°,b=4,则此三角形的最小
边是___________ _.


解析 由A+B+C=180°,得B=75°,∴c为最小边,由正弦
bsinC4sin45°
定理,知c=
sinB

sin75°
= 4(3-1).
答案 4(3-1)
14.在△ABC中,若b=2a,B=A+60°,则A=________.
解析 由B=A+60°,得
13
sinB=sin(A+60°)=
2
sinA +
2
cosA.
又由b=2a,知sinB=2sinA.
13
∴2sinA=
2
sinA+
2
cosA.
33

2
sinA=
2
cosA.
3
∵cosA≠0,∴tanA=
3
.
∵0°答案 30°
15.在△ABC中,A+ C=2B,BC=5,且△ABC的面积为103,
则B=________,AB=________ .
解析 由A+C=2B及A+B+C=180°,得B=60°.
1
又S=
2
AB·BC·sinB,
1
∴10 3=
2
AB×5×sin60°,∴AB=8.
答案 60° 8
16. 在△ABC中,已知(b+c):(c+a):(a+b)=8:9:10,则
sinA:sinB:s inC=________.


解析
b+c=8k,
?
?< br>设
?
c+a=9k,
?
?
a+b=10k,

可得a:b:c=11:9:7.
∴sinA:sinB:sinC=11:9:7.
答案 11:9:7
三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文
字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)在非等腰△ABC中,角A,B,C所对的边分别 为a,
b,c,且a
2
=b(b+c).
(1)求证:A=2B;
(2)若a=3b,试判断△ABC的形状.
解 (1)证明:在△ABC中,∵a
2
=b·(b+c)=b
2
+bc,由余弦定
a
2
+c2
-b
2
bc+c
2
b+c
asinA
理,得 cosB=
2ac

2ac

2a

2b

2sinB

∴sinA=2sinBcosB=sin2B.
则A=2B或A+2B=π.
若A+2B=π,又A+B+C=π,∴B=C.这与已知相矛盾,故A
=2B.
( 2)∵a=3b,由a
2
=b(b+c),得3b
2
=b
2
+bc,∴c=2b.
又a
2
+b
2
=4b
2
=c
2
.
故△ABC为直角三角形.
18.(12分)锐角三角形ABC中,边a,b是方程x
2
-23x+2=
0的两根,角A,B满足2sin(A+B)-3=0.求:
(1)角C的度数;
(2)边c的长度及△ABC的面积.


3
解 (1)由2sin(A+B)-3=0,得sin(A+B)=
2
.
∵△ABC为锐角三角形,∴A+B=120°,∴∠C=60°.
(2)∵a,b是方程x
2
-23x+2=0的两个根,
∴a+b=23,ab=2.
∴c
2
=a
2
+b
2
-2abcosC=(a+b)
2
-3ab=12-6=6.
∴c=6.
1133
S

ABC

2
absinC=
2
×2×
2

2
.

19.(12分)如右图,某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°,
距离为126 nmile,在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°,距离为
83 nmile,货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在北偏东
120°,求:
(1)A处与D处的距离;
(2)灯塔C与D处的距离.
解 (1)在△ABD中,∠ADB=60°,B=45°,AB=12 6,由
2
126×
2
ABsinB
正弦定理,得AD===24(nmile).
sin∠ADB
3
2


(2)在△ADC中,由余弦定理,得
CD
2
=AD
2
+AC
2
-2AD·AC·cos 30°.
解得CD=83(nmile).
∴A处与D处的距离为24 nmile,灯塔C与D处的距离为83
nmile.
20.(12分)已知△ABC的角 A,B,C所对的边分别是a,b,c,
设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=( b-2,a-2).
(1)若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形;
π
(2)若m⊥p,边长c=2,角C=
3
,求△ABC的面积.
解 (1)证明:∵m∥n,∴asinA=bsinB.
ab
由正弦定得知,si nA=
2R
,sinB=
2R
(其中R为△ABC外接圆的
ab半径),代入上式,得a·
2R
=b·
2R
,∴a=b.故△ABC为 等腰三角形.
(2)∵m⊥p,∴m·p=0,∴a(b-2)+b(a-2)=0,∴a+b=ab.
由余弦定理c
2
=a
2
+b
2
-2abcosC得
4=(a+b)
2
-3ab,即(ab)
2
-3ab-4=0.
解得ab=4,ab=-1(舍去).
11
π
∴△ABC的面积S=
2
absinC=
2
×4×sin
3
=3.
π
21.(12分)在△ABC中,已知内角A=
3
,边BC=23,设内角
B=x,周 长为y.
(1)求函数y=f(x)的解析式和定义域;
(2)求y的最大值.
π
解 (1)△ABC的内角和A+B+C=π,由A=
3
,B>0,C>0 ,得



03
.应用正弦定理,得
BC23
AC=
sinA
·sinB=
π
·sinx=4sinx.
sin
3
?

?
BC
?
AB=
sin A
sinC=4sin
3
-x
?
.
??
∵y=AB+BC+CA,

??

??
∴y=4sinx+4sin
?
3
-x
?
+23
?
03
?
.
????
31
(2)y=4(sinx +
2
cosx+
2
sinx)+23
π
=43sin(x+
6
)+23.
ππ5π

6
6
<
6

πππ
∴当x+
6

2
,即x=
3
时,y取得最大 值63.
22.(12分)△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,tanC
s inA+sinB
=,sin(B-A)=cosC.
cosA+cosB
(1)求A,C;
(2)若S

ABC
=3+3,求a,c.
sinA+sinB
解 (1)因为tanC=,
cosA+cosB
si nC
sinA+sinB

cosC
=,
cosA+cosB所以sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB,
即sinC cosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB,得sin(C-A)=
sin( B-C).


所以C-A=B-C,或C-A=π-(B-C)(不成立),
π2π
即2C=A+B,得C=
3
,所以B+A=
3
.
1
又因为sin(B-A)=cosC=
2

π5π
则B-A=
6
,或B-A=
6
(舍去).
π5π
得A=
4
,B=
12
.
ππ
所以A=
4
,C=
3
.
6+2
1< br>(2)S

ABC

2
acsinB=
8
a c=3+3,
acac

sinA

sinC
,即=.
23
22
得a=22,c=23.

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