江苏高中数学教材电子-高中数学物理不及格学工科
专题16 解三角形问题-
【母题原题1】【2018新课标1,文16】△
,
的内角
,则△
的对边分别为,已知
的面积为________.
【答案】
【解析】
【分析】
.
首先利用正弦定理将题中的式子
化为
利用余弦定理,结合题中的条件,可以得到
进一步求得
【详解】
,利用三角形面积公式求得结果.
,化简求得
,可以断定A为锐角,从而求得
,
,
【点睛】
本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用,属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式:(1)
;(2),同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外,
等特殊角的三角函数值,以便在在解与三角
形、三角函数有关的问题时,还需要记住
解题中直接应用.
【母题原题2】【
2017新课标1,文11】△ABC的内角A
、
B
、
C的对边分别为a、
b
、
c.已知
,a=2,c=
A. B.
C. D.
,则C=
【答案】B
【解析】
∵a>c,
∴C=,
故选:B.
点睛:本题主要考查正弦定理及余弦定
理的应用以及三角形面积公式,属于难题.在解与三角形有
关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要
依据.
解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可
用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说
,当条件中同时出现 及 、 时,
往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数
交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正
弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. <
br>【母题原题3】【2016新课标1,文4】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知<
br>a?5
,
c?2
,
cosA?
2
,则b=
3
(A)
2
(B)
3
(C)2 (D)3
【答案】D
【解析】试题分析:由余弦定理得
【考点】余弦定理
【名师点
睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过
解方程求b.
运算失误是础题失分的主要原因,请考生切记!
【命题意图】
1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题
S?
【命题规律】
1.===2
R
,其中
R
是三角形外接圆的半径.
sin
A
sin
B
sin
C
,解得(舍去),选
D.
1
absinC
.
2
abc
由正弦定理可以变形:(1)
a
∶
b
∶
c
=
sin
A
∶
sin
B
∶
sin
C
;(2)
a
=2
Rsin
A
,
b
=2
Rsin
B
,
c
=2
Rsin
C
.
2
.余弦定理:
a
=
b
+
c
-2
bccos
A
,
b
=
a
+
c
-2
accos
B
,
c
=
a
+
b
-2
abcos
C
.
222222222
b
2
+<
br>c
2
-
a
2
a
2
+
c
2<
br>-
b
2
a
2
+
b
2
-
c<
br>2
变形:
cos
A
=,
cos
B
=,
cos
C
=.
2
bc
2
ac
2
ab
3.在△
ABC
中,已知
a
,
b
和
A
解三角形时,解的情况
A
为锐角
A
为钝角或直角
图形
关系式
a
=
bsinA
bsinA
<
a
<
b
a
≥
b
a
>
b
a
<
bsinA a
≤
b
解的
个数
无解
一解
两解
一解
一解
无解
4.三角形常用的面积公式
1111
abc
(1)
S
=
a
·
h
a(
h
a
表示
a
边上的高).(2)
S
=
absinC
=
acsinB
=
bcsinA
=.
22
224
R
1
(3)
S
=
r
(
a
+
b
+
c
)(
r
为内切圆半径).
2
【方法总结】1.三角形中常见的结论
(1)
A
+
B
+
C
=π. (2)在△
ABC中,
A
>
B
?
a
>
b
?
si
nA
>
sinB
?
cosA
<
cosB
.
(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
(4)三角形内的诱导公式:<
br>sin
(
A
+
B
)=
sin
C<
br>;
cos
(
A
+
B
)=-
cos
C
;
A
+
BCA
+
BC
tan
(
A
+
B
)=-
tan
C
;
s
in
=
cos
;
cos
=
sin
.
22
22
(6)在△
ABC
中,
A
,
B
,
C<
br>成等差数列的充要条件是
B
=60° .
(7)△
ABC
为
正三角形的充要条件是
A
,
B
,
C
成等差数列且
a
,
b
,
c
成等比数列.
2.判定三角形形状的两种常用途径
(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.
(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断.
1.【辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试】在
.若
A.
B. C.
【答案】A
【解析】∵
∴根据正弦定理可得
∵
∴
∵
∴
,即为锐角
,即
,即
,且
D.
,则( )
中,内角的对边分别为
∴
故选A
2.【广西钦州市2018届高三第三次质量检测】在
值为( )
A.
B.
【答案】D
C. 或 D. 或
中,,,,则的
点睛:本题主要考查了正弦定理解三角形,着重考查了推理与运算能力,试题比较基础,属于基
础题.
3.【长春市普通高中2018-2019届高三质量监测(一)】在
、,若
A.
B.
,则角为
C. D.
中,内角、、的对边分别为、
【答案】A
【解析】
【分析】
由利用正弦定理、结合诱导公式可得
.
【详解】
,从而可得
【点睛】
题主要考查正弦定理在解三角形中的
应用,属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具,其常见
用法有以下三种:(1)知道两边和一边的
对角,求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与锐角);
(2)知道两角与一个角的对边,求另一个角的
对边;(3)证明化简过程中边角互化;(4)求三
角形外接圆半径
4.【山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷(五)】在
若
A.
B. C. D.
,则
中,,
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意,由向量线性运算法则可得
由正弦定理分析s
inB?
(b﹣)+2a?+3c?
+2sinA?
=,即b?
=,即可得P
为△ABC的重心,则有
=可得b?+2a?+3c?
++=,
+3sinC?=,由
向量减法法则可得
,(2a﹣b)+3c?+=,由平面向量基本定理可得
解可得a=b=3c
,由余弦定理计算可得答案.
【详解】
:根据题意,如图,在△ABC中,设D为BC的中点,
有+=2,
【考点】
向量、三角形重心性质、余弦定理.
【点睛】
本题考查余弦定理和正弦定理的应用,涉及平面向量基本定理,关键是明确a、b、c的具体关系.
5.【辽宁省沈阳市东北育才学校2018届高三第八次模拟考试】设
的边分别为
A.
1 B.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的三
角形的边所满足的条件,结合余弦定理,求得,结合三角形内角
,如果
C. 2
D. 4
,且,那么
的三个内角所对
外接圆的半径为
的取值范围,求得
【详解】
因为
化为,
,再结合正弦定理,从而求得结果.
,所以,
所以,又因为,所以,
由正弦定理可得
【点睛】
,所以,故选A.
该题考查的是有关解三角形问
题,涉及到的知识点有余弦定理,正弦定理,在解题的过程中,需
要对题的条件进行认真分析,求得结果
.
6.【福建省莆田第九中学2018届高三高考模拟】在
,则( )
中,角的对边分别为,若,
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理,意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.
7.【东北师范大学附属中学2018届高三第五次模拟考试】在中,则
A.
【答案】A
【解析】
【分析】
B. C.
D.
由题意结合正弦定理首先求得b的值,然后利用余弦定理求解c的值即可.
【详解】
由正弦定理
且
可得,
,
由余弦定理可得:
【点睛】
.
在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系.题中若出现
边的
一次式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题时,注意角的限制范围.
8.【河南省巩义市市直高中2018
届高三下学期模拟考试】已知,是双曲线
的左、右焦点,过的直线与双曲线的左支交于点,与右支交于点
,若
则( )
C. D.
,,
A.
B.
【答案】C
【解析】分析:先利用双曲线的定义求出
的定
,再利用余
弦定理求出
义
,再利用双曲线
判
.
<
br>点睛:处理椭圆或双曲线上的点到焦点的距离时,往往利用椭圆或双曲线的定义合理转化,如本
题
中两次利用双曲线的定义,第一次是求得
判定三角形的形状.
9.【安徽省安庆市第一中
学2018届高三热身考试】已知锐角的三个内角的对边分别为
,第二次是结合、
,若
A.
【答案】D
,则
B.
的值范围是(
)
C. D.
∴,解得,
∴
∴
即
,
.
的值范围是.
点睛:三角形中的
最值问题,一般利用正、余弦定理将变化为角,转化为三角函数的最值问题求
解,解题过程中要注意角的
取值范围,如在本题中要通过“锐角三角形”这一条件得到角A的取值
范围.
10.【山东省烟台市2018届高三高考适应性练习(二)】在
若
A. 1
B.
【答案】D
,
C.
,则的值为( )
D.
中,内角所对的边分别为,
点睛:在解有关三角形的题目时
,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用,要
抓住能够利用某个定理的信息.一般地,
如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余
弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时
,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,
则要考虑两个定理都有可能用到.
11.【山东省潍坊市2017-2018学年高二5月份统一检测】
,且
A.
B. C.
【答案】B
【解析】
,则为( )
D.
的内角,,的对边分别为,,
点睛:本题主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,属基础题.
12.【安徽省皖中名校联盟2019届高三10月联考】在
,
A.
,
B.
,,则
C. 4 D.
中,内角
( )
的对边分别为
【答案】B
【解析】
【分析】
首先求得外接圆半径,然后结合合分比的性质求解
【详解】
由三角形面积公式可得:
结合余弦定理可得:
,即,解得:
,则
,
的值即可.
由正弦定理有:
结合合分比定理可得:
本题选择B选项.
【点睛】
.
,
本题主要考查正弦定理、余弦定理及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13.【甘肃省师大附中2018-2019学年上学期高三期中模拟】在锐角
取值范围是(
)
A. B. C. D.
中,,则的
【答案】B
【解析】
【分析】
结合余弦函数的图像与性质可得
【点睛】
本题考查正弦定量、二角和的正弦公式、二部角公式及余弦函数的图像与
性质,综合性较强,考
查了学生的转化能力,数学运算能力,逻辑推理能力及创新能力,属于中档题。
14.【山东、湖北部分重点中学2018届高三高考冲刺模拟考试(二)】我国古代著名的数学家刘<
br>徽著有《海岛算经》.内有一篇:“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.
从前表却行百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?”
(参考译文:假设测量海岛,立两根标杆,高均为
5步,前后相距1000步,令前后两根标杆和岛在
....
同一直线上,从前标杆退行123
步, 人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛
峰,从后标杆退行127步,
人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰,问岛高多少?
岛与前标杆相
距多远?)(丈、步为古时计量单位,三丈=5步).则海岛高度为( )
A. 1055步 B. 1255步 C. 1550步 D. 2255步
【答案】B
。答案选B
【解析】
如图,设岛高步,与前标杆相距步,则有
步,故选B.
15.【安徽省江南十校20
18届高三冲刺联考(二模)】在
,,且是和的等差中项,
A.
C.
【答案】B
【解析】分析:由
B.
D.
,,则
解得步,即海岛高度为
中,角,,所对的边分别为,
周长的
取值范围是( )
得B角是钝角,由等差中项定义得A为60°,再根据正弦定理把周
长
用三角函数表示后可求得范围.
点睛:本题考查解三角形的应用,解题时只要把三角形周长
利用正弦定理用三角函数表示出来,
结合三角函数的恒等变换可求得取值范围.解题易错的是向量
是B角,要特别注意向量夹角的定义.
的夹角是B角的外角,而不