专题05三角函数与解三角形-高考数学(理)热点题型含解析

每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄 作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦 将有感于斯文。

专题05三角函数与解三角形-高考数学（理）热点题型含解析



热点一 解三角形

高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦 定理的综合应用为主.其命题规律可
以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定 理以及三角函
数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学
生 利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变
换的基础上融合正弦定理 、余弦定理，在知识的交汇处命题.

【例1】(满分12分)△ABC的内角A，B，C的对 边分别为a，b，c.已知△ABC的
面积为.

(1)求sin Bsin C；

(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长.

教材探源 本题第(1)问源于教材必修5P20B组1且相似度极高，本题第(2)问在
第( 1)问的基础上进行拓展，考查正弦定理、余弦定理的应用.

由正弦定理得sin2A＝sin Bsin Csin2A，4分 (得分点3)

因为sin A≠0，所以sin Bsin C＝.5分 (得分点4)

(2)由(1)得sin Bsin C＝，cos Bcos C＝.

因为A＋B＋C＝π，

所以cos A＝cos(π－B－C)＝－cos(B＋C)

＝sin Bsin C－cos Bcos C＝，7分 (得分点5)

又A∈(0，π)，所以A＝，sin A＝，cos A＝，8分 (得分点6)

由余弦定理得a2＝b2＋c2－bc＝9， ①9分 (得分点7)

世有伯乐，然后有千里马。千里马常有，而伯乐不常有。故虽有名马，祇辱于奴 隶人之手，骈死于槽枥之间，不以千里称也。策之不以其道，食之不能尽其材，鸣之而不能通其意，执策而临之， 曰：天下无马！呜呼！其真无马邪？其真不知马也！

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每览 昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄作。后之视今，亦犹 今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦将有感于斯文。
由正弦定理得b＝·sin B，c＝·sin C，

所以bc＝·sin Bsin C＝8， ②10分 (得分点8)

由①②得：b＋c＝，11分 (得分点9)

所以a＋b＋c＝3＋，即△ABC周长为3＋.12分 (得分点10)

得分要点

?得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为 赢”.在第(1)问中，写出面积公
式，用正弦定理求出结果.第(2)问中，诱导公式→恒等变换→余 弦定理→正弦定
理→得出结果.

?得关键分：(1)面积公式，(2)诱导公式，( 3)恒等变换，(4)正弦定理，(5)余
弦定理都是不可少的过程，有则给分，无则没分.

?得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点5)，(得分
点6)，( 得分点9)，(得分点10).

【类题通法】利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤

第一步：找条件：寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向.

第二步：定工具：根 据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角
之间的转化.

第三步：求结果：根据前两步分析，代入求值得出结果.

第四步：再反思：转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性.

【对点训练】 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A
＝0，a＝2，b＝2.

(1)求c；

(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.

世有伯乐，然后有 千里马。千里马常有，而伯乐不常有。故虽有名马，祇辱于奴隶人之手，骈死于槽枥之间，不以千里称也。策之不 以其道，食之不能尽其材，鸣之而不能通其意，执策而临之，曰：天下无马！呜呼！其真无马邪？其真不知马也！

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