g高中数学-高中数学课点评
第一章 单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分
钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(
本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1．设
a
，
b
，
c
分别是△
ABC
中∠
A
，∠
B
，∠
C
所对边的边长，则直线
x<
br>sin
A
＋
ay
＋
c
＝0
与
bx<
br>－
y
sin
B
＋sin
C
＝0的位置关系是( )
A．平行 B．重合
C．垂直
答案 C
sin
Ab
解析 ∵
k
1
＝－，
k
2＝，∴
k
1
k
2
＝－1，∴两直线垂直．故选C．
a
sin
B
2．在△
ABC
中，已知
a
－2
b
＋
c
＝0，3
a
＋
b
－2
c
＝
0，则sin
A
∶sin
B
∶sin
C
等于( )
A．2∶3∶4 B．3∶4∶5
C．4∶5∶8 D．3∶5∶7
答案 D
解析 因为
a
－2
b
＋
c
＝0，3
a＋
b
－2
c
＝0，
75
所以
c
＝<
br>a
，
b
＝
a
．
a
∶
b
∶<
br>c
＝3∶5∶7．
33
所以sin
A
∶sin
B<
br>∶sin
C
＝3∶5∶7．故选D．
3．△
ABC
的三边分
别为
a
，
b
，
c
，且
a
＝1，
B
＝45°，
S
△
ABC
＝2，则△
ABC
的外接圆
的直
径为( )
A．43 B．5 C．52 D．62
答案 C
1
解析 ∵
S
△
ABC
＝
ac
sinB
＝2，∴
c
＝42．
2
由余弦定理
b
＝<
br>a
＋
c
－2
ac
cos
B
＝25，
∴
b
＝5．
由正弦定理2
R
＝＝52(
R
为△
ABC
外接圆的半径)．故选C．
sin
B
4．已知关于<
br>x
的方程
x
－
x
cos
A
·cos
B
＋2sin＝0的两根之和等于两根之积的一半，则
2
△
ABC
一
定是( )
- 1 -
22
222
D．相交但不垂直
b
C
A．直角三角形
C．等腰三角形
答案 C
B．钝角三角形
D．等边三角形
解析
由题意知：cos
A
·cos
B
＝sin，
2
1－cos
C
1111
∴cos
A
·cos
B
＝＝－cos[
180°－(
A
＋
B
)]＝＋cos(
A
＋
B)，
22222
11
∴(cos
A
·cos
B
＋sin
A
·sin
B
)＝，
22
∴cos(
A
－
B
)＝1．
∴
A<
br>－
B
＝0，∴
A
＝
B
，∴△
ABC
为等腰三角形．故选C．
5．△
ABC
中，已知下列条件：①
b
＝
3，
c
＝4，
B
＝30°；②
a
＝5，
b
＝8，
A
＝30°；③
c
＝6，
b
＝33，
B＝60°；④
c
＝9，
b
＝12，
C
＝60°．其中满
足上述条件的三角形有两解的是( )
A．①② B．①④ C．①②③ D．③④
答案 A
解析
①
c
sin
B
<
b
<
c
，故有两解； <
br>②
b
sin
A
<
a
<
b
，故有两解
；
③
b
＝
c
sin
B
，有一解；
④
c
<
b
sin
C
，无解．
所以有两解的是①②．故选A．
6．在△
ABC
中，
a
，
b
，
c
分别为内角
A
，
B
，
C<
br>所对的边，若
a
＝1，sin
B
＝
则
b
的值
为( )
A．1 B．
答案 C
解析 在△
ABC
中，si
n
B
＝
π2π
∴
B
＝或，
33
π
当
B
＝时，△
ABC
为直角三角形， 3
∴
b
＝
a
·sin
B
＝
3
；
2
3
，0＜
B
＜π，
2
33
C．3或 D．±1
22
3π
，
C
＝，
26
2
C
2ππ
当
B
＝时，
A
＝
C
＝，
36
- 2 -
a
＝
c
＝1．由余弦定
理得
b
2
＝
a
2
＋
c
2
－2ac
cos
∴
b
＝3．故选C．
7．等腰△
ABC<
br>底角
B
的正弦与余弦的和为
A．30°或150° B．15°或75°
C．30° D．15°
答案 A
解析
由题意：sin
B
＋cos
B
＝
2π
＝3，
3
6
，则它的顶角是( )
2
61
．两边平方得sin
2
B
＝，设顶角为
A
，则
A
＝180°－2
B．
22
1
∴sin
A
＝sin(180°－2
B)＝sin2
B
＝，∴
A
＝30°或150°． 故选A．
2
3
→→→
8．若
G
是△
ABC
的重心，
a
，
b
，
c
分别是角
A
，
B
，C
的对边，且
aGA
＋
bGB
＋
cGC
＝0，
3
则角
A
＝( )
A．90°
答案 D
3
→→→→→→→→→
解析 由重心性质可知
GA
＋
GB<
br>＋
GC
＝0，故
GA
＝－
GB
－
GC
，代入
aGA
＋
bGB
＋
cGC
＝0中，
3即
B．60° C．45° D．30°
b
－
a
＝0，
?
?
3
→→→→
(
b
－
a
)
GB
＋
c
－
aGC
＝0，因为
GB
，
GC
不共线，则
?
3
3
c
－
a
＝
0，
?
?
3
?
b
＝
a
，
即
?
?
c
＝3
a
，
故
b2
＋
c
2
－
a
2
3
由余弦定理得co
s
A
＝＝．因为0<
A
<180°，所以
A
＝30°．故选
D．
2
bc
2
3－1
→→
9．在△
ABC
中，
B
＝60°，
C
＝45°，
BC
＝8，
D<
br>为
BC
上一点，且
BD
＝
BC
，则
AD的
2
长为( )
A．4(3－1) B．4(3＋1)
C．4(3－3) D．4(3＋3)
答案 C
解析 由题意知∠
BAC
＝75°，根据正弦定理，得
AB
＝
3－1
→
3－1
→
因为
BD
＝
BC
，所以
BD
＝
BC
．
22
又
BC
＝8，所以
BD
＝4(3－1)．
- 3 -
BC
sin45°
sin75°
＝8(3－1)，
在△
ABD
中，
AD
＝
AB
＋
BD< br>－2
AB
·
BD
·cos60°＝4(3－3)．故选C．
10．在△
ABC
中，
BA
·
BC
＝3，
S
△
ABC
∈
?
22
→→
?
333
?，
?
，则
B
的取值范围是( )
2
??
2
?
ππ
??
ππ
?
A．
?
，
?< br> B．
?
，
?
?
43
??
64
?
?
ππ
??
ππ
?
C．
?
，< br>?
D．
?
，
?
?
63
??
32
?
答案 C
解析 由题意知ac
·cos
B
＝3，所以
ac
＝
3
， cos
B
S
△
ABC
＝
ac
·sin
B
＝×
因为
S
△
ABC
∈
?
1
2
133
×sin
B
＝tan
B
．
2cos
B
2
?
333
??
3
?
，
?
， 所以tan
B
∈
?
，3
?
，
2
??2
?
3
?
?
ππ
?
所以
B
∈
?
，
?
．故选C．
?
63
?
11．在△
ABC
中，三内角
A
，
B
，
C
所对边分别 为
a
，
b
，
c
，若(
b
－
c)sin
B
＝2
c
sin
C
且
a
5< br>＝10，cos
A
＝，则△
ABC
面积等于( )
8
A．
39
B．39 C．313 D．3
2
答案 A
解析 由正弦定理，得(
b
－
c
)·
b
＝2
c
，得
b
－
bc
－2
c< br>＝0，得
b
＝2
c
或
b
＝－
c
(舍 )．
由
a
＝
b
＋
c
－2
bc
c os
A
，得
c
＝2，则
b
＝4．
539
由cos
A
＝知，sin
A
＝．
88222
222
S
△
ABC
＝
bc
sin
A
＝×4×2×
1
2
1
2
3939
＝．故选A．
82
12．锐角△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，若2si n
A
(
a
cos
C
＋
c
cos
A
)＝3
c
b
，则的取值范围是( )
b
?
32 3
?
?
1
?
A．
?
，2
?
B．
?
，
?
?
2
?
3
??
2
C．(1，2) D．
?
答案 A
解析 2sin
A
(
a
cos< br>C
＋
c
cos
A
)＝3
b
?2sin
A
·(sin
A
cos
C
＋sin
C
cosA
)＝3sin
B
?
- 4 -
?
3
?
，1
?
?
2
?
2sin
A
sin(
A
＋
C
)
＝
3sin
B
?2sin
A
sin
B
＝3sin
B<
br>?sin
A
＝
因为△
ABC
为锐角三角形，
π222
所以
A
＝，
a
＝
b
＋
c
－
bc
， ①
3
3
，
2
a
2
＋
c
2
＞
b
2
，
②
a
2
＋
b
2
＞
c
2
， ③
1
c
22
由①②③可得2
b
＞
bc
，2<
br>c
＞
bc
，所以＜＜2．故选A．
2
b
第Ⅱ卷
(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
ππ13．已知在△
ABC
中，
a
＋
b
＝3，
A<
br>＝，
B
＝，则
a
的值为________．
34
答案 33－32
解析 由正弦定理，得
b
＝
asin
B
66
＝
a
．由
a
＋
b
＝
a
＋
a
＝3，解得
a
＝33－32．
sin
A
33
31025
14．在△
ABC
中，
AB＝2，点
D
在边
BC
上，
BD
＝2
DC
，cos∠
DAC
＝，cos
C
＝，
105
则
A
C
＋
BC
＝________．
答案 3＋5
31025
解析 ∵cos∠
DAC
＝，cos
C
＝，
105
∴sin∠
DAC
＝
105
，sin
C
＝，
105
- 5 -
∴sin∠
ADC
＝sin(∠
DAC
＋∠
C
)
＝
102531052
×＋×＝．
1051052
由正弦定理，得
AC
sin∠
ADC
＝，得
AC
＝5
DC
．
sin∠
DAC
DC
又∵
BD
＝2
DC
，∴
BC
＝3
DC
．
在△
ABC
中，由余弦定理，得
AB
2
＝
AC<
br>2
＋
BC
2
－2
AC
·
BC
cos
C
25
222
＝5
DC
＋9
DC
－25
DC
·3
DC
·＝2
DC
．
5
由
AB
＝2，得
DC
＝1，从而
BC
＝3，
AC<
br>＝5．
即
AC
＋
BC
＝3＋5．
tan
A
15．在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C<
br>所对的边分别为
a
，
b
，
c
．已知
a
＝23，
C
＝45°，1＋
tan
B
2
c
＝，则
边
c
的值为________．
b
答案 22
tan
A
sin
A
cos
B
解析
在△
ABC
中，∵1＋＝1＋＝
tan
B
cos
A
sin
B
cos
A
sin
B
＋sin
A
cos
B
sin
A
＋
B
sin
C
2
c
＝＝＝．
cos
A
sin
B
cos
A
sin
B
cos
A
sin
Bb
由正弦定理得
c<
br>b
cos
A
＝
2
c
1
，∴cos
A
＝，∴
A
＝60°．
b
2
又∵
a
＝23，
C
＝45°．
由＝
得
sin
A
sin
C
ac
23
3
2
＝
c
，∴
c
＝22．
2
2
π
16．在
△
ABC
中，
a
，
b
，
c
分别为角
A
，
B
，
C
的对边，且
a
，
b
，
c
满足2
b
＝
a
＋
c
，
B＝，
4
则cos
A
－cos
C
＝________．
4
答案 ±2
解析
∵2
b
＝
a
＋
c
，
由正弦定理得2sin
B
＝sin
A
＋sin
C
，
π3π
又∵
B
＝，∴sin
A
＋sin
C
＝2，
A
＋
C
＝．
44
- 6 -
设cos
A
－cos
C
＝
x
， <
br>可得(sin
A
＋sin
C
)＋(cos
A
－cos
C
)＝2＋
x
，
3π
2222
即sin
A
＋2sin
A
sin
C
＋sin
C
＋cosA
－2cos
A
cos
C
＋cos
C
＝2－2
cos(
A
＋
C
)＝2－2cos
4
＝2＋
x．
3π
22
则(cos
A
－cos
C
)＝<
br>x
＝－2cos＝2，
4
4
∴cos
A
－cos
C
＝±2．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17
．(本小题满分10分)如图，△
ACD
是等边三角形，△
ABC
是等腰直角
三角形，
2
222
∠
ACB
＝90°，
BD交
AC
于
E
，
AB
＝2．
(1)求cos∠
CBE
的值；
(2)求
AE
．
解 (1)∵∠
BCD
＝90°＋60°＝150°，
CB
＝
AC
＝
CD
，
∴∠
CBE
＝15°．
∴co
s∠
CBE
＝cos15°＝cos(45°－30°)＝
(2)在△
ABE
中，
AB
＝2，
由正弦定理，得
sin
＝
45°
－15°sin
1
2×
2
6＋2
．
4
AE
2
，
90°＋15°
2sin30°
故
AE
＝＝＝6－2．
sin75°
6＋2
4
- 7 -
cos
A
cos
B
18．(本小题满分12分)在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别是
a
，
b，
c
，且＋
ab
＝
sin
C
．
c<
br>(1)证明：sin
A
sin
B
＝sin
C
； 6
222
(2)若
b
＋
c
－
a
＝bc
，求tan
B
．
5
abc
cos
Acos
B
sin
C
解 (1)证明：由正弦定理＝＝，可知原式可以化为
＋＝＝1，
sin
A
sin
B
sin
C
sinA
sin
B
sin
C
因为
A
和
B为三角形内角，所以sin
A
sin
B
≠0，
则两边同时乘以
sin
A
sin
B
，可得sin
B
cos
A
＋sin
A
cos
B
＝sin
A
sin
B
，
由和角公式可知，sin
B
cos
A
＋sin
Acos
B
＝sin(
A
＋
B
)＝sin(π－
C
)＝sin
C
，原式得证．
6
b
＋
c
－
a
3
(2)因为
b
＋
c
－
a
＝
bc
，根据余弦定理可知，cos
A
＝＝．
52
bc5
222
222
因为
A
为三角形内角，
A
∈(
0，π)，sin
A
>0，则sin
A
＝
3
?
2<
br>4cos
A
3
?
1－
??
＝，即＝，由
si
n
A
4
?
5
?
5
cos
A
cos
B
sin
C
cos
B
11
(1)可知＋＝＝1，所
以＝＝，所以tan
B
＝4．
sin
A
sin
B
sin
C
sin
B
tan
B
4
19．(本小题满分
12分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要
求在考点周围1
km内不能收到手机信号．检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 3
km
有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12 kmh的速度沿公路行<
br>驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？
解 如右图所示，考点为
A
，检查开始处为
B
，设公路上
C
，
D
两点到考点的距离为1 km．
在△
ABC
中，AB
＝3≈1．732，
AC
＝1，∠
ABC
＝30°，
- 8 -
由正弦定理，得sin∠
ACB
＝
A
B
sin30°3
＝，
AC
2
∴∠
ACB
＝12
0°(∠
ACB
＝60°不符合题意)，
∴∠
BAC
＝30°，∴
BC
＝
AC
＝1． 在△
ACD
中，
AC
＝
AD
，∠
ACD
＝60°，
∴△
ACD
为等边三角形，∴
CD
＝1．
∵
BC
×60＝5，
12
∴在
BC
上需要5
min，
CD
上需要5 min．
∴最长需要5
min检查员开始收不到信号，并至少持续5 min该考点才算合格．
20．(本小题满分12分)
已知△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分
别为
a
，
b
，
c
，
a
＋
b
＝
λab
．
5π
(1)若
λ
＝6，
B
＝，求sin
A
；
6
(2)若
λ
＝4，
AB边上的高为
3
c
，求
C
．
6
22
5π
22
解
(1)由已知
B
＝，
a
＋
b
＝6
ab
，
6
综合正弦定理得4sin
A
－26sin
A
＋1＝0．
于是sin
A
＝
6±2
，
4
2
π16－
2
∵0＜
A
＜，∴sin
A
＜，∴sin
A
＝．
624
13
2
(2)由题意可知
S
△
ABC
＝
ab
sin
C
＝
c
，
212
13<
br>22
得
ab
sin
C
＝(
a
＋
b<
br>－2
ab
cos
C
)
212
＝
3
(4
ab
－2
ab
cos
C
)，
12
?
π
?
从而有3sin
C
＋cos
C
＝2即sin<
br>?
C
＋
?
＝1．
6
??
又
ππ7
ππ
＜
C
＋＜，∴
C
＝．
6663
21．(本小
题满分12分)已知锐角三角形
ABC
中，角
A
，
B
，C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，
且t
an
A
＝
3
cb
．
c
＋
b
2<
br>－
a
22
(1)求角
A
的大小；
(2)当
a
＝3时，求
c
＋
b
的最大值，并判断此时△
ABC
的形状．
- 9 -
22
sin
A
3
cb
3
解
(1)由已知及余弦定理，得＝，sin
A
＝，
cos
A
2
cb
cos
A
2
因为
A
为锐角，所以
A
＝60°．
(2)解法一：由正弦定理，得
bc
3
＝＝＝＝2，
sin
A
sin
B
sin
C
3
2
a
所以
b
＝2sin
B
，
c
＝2sin
C
＝2sin(120°－
B
)．
c
2
＋
b
2＝4[sin
2
B
＋sin
2
(120°－
B
)]
1－cos2
B
1－cos240°－2
B
＝4＋
22
＝4－cos2
B
＋3sin2
B
＝4＋2sin(2
B
－30°)．
?
?
0°<
B
<90°，
由
?
?
0°<120°－
B
<90°
，
?
得30°<
B
<90°，所以30°<2
B
－30°<150°．
22
当sin(2
B
－30°)＝1，即
B
＝60°时，(
c
＋
b
)
max
＝6，
此时
C
＝60°，△
ABC
为等边三角形．
解法二：由余
弦定理得(3)＝
b
＋
c
－2
bc
cos60°＝
b
＋
c
－
bc
＝3．
∵
bc
≤
2
22222
b
2
＋
c
2
2
2
(
当且仅当
b
＝
c
时取等号)，
≤3，即
b
＋c
≤6(当且仅当
b
＝
c
时等号)．
22
∴
b
＋
c
－
22
b
2
＋
c
2
2
故
c
＋
b
的最大值为6，此时△
ABC
为等边三角形．
22．(本小题满分12分)在海岸
A
处，发现北偏东
45°方向，距
A
处(3－1) n mile的
B
处有一艘走私船，在A
处北偏西75°的方向，距离
A
处2 n
mile的
C
处的缉私船奉命以103
- 10 -
n
mileh的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mileh的速度从
B
处向北偏东
30°方
向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
解 设缉私船用
t
小时在
D
处追上走私船．在△
ABC
中，由余弦定理，得
BC<
br>2
＝
AB
2
＋
AC
2
－2
AB·
AC
·cos∠
CAB
＝(3－1)
2
＋2
2
－2×(3－1)×2×cos120°＝6，∴
BC
＝6．
在△
BCD
中，由正弦定理，得
sin∠
ABC
＝
AC
2
BC
sin∠
BAC
＝
2
，
∴∠
ABC
＝45°，∴
BC
与正北方向垂直．
∴∠
CBD
＝120°．在△
BCD
中，由正弦定理，得
CDBD
sin∠
CBD
＝
sin∠
BCD
， <
br>∴
103
t
10
t
sin120°
＝
sin
∠
BCD
，
∴sin∠
BCD
＝
1
2
，
∴∠
BCD
＝30°．
故缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船．
- 11 -