辽宁高中数学竞赛预赛试题及答案-高中数学概率问题技巧
最新中小学试题试卷教案资料
(一)三角函数与解三角形
1.(2018·
浙江省教育绿色评价联盟月考)已知函数
f
(
x
)=sin
x
·(cos
x
+3sin
x
).
(1)求
f
(
x
)的最小正周期;
?
π
?
(2)若关于
x
的方程
f
(
x
)=
t<
br>在区间
?
0,
?
内有两个不相等的实数解,求实数
t
的取值范围.
2
??
解
(1)
f
(
x
)=sin
x
cos
x
+3sin
x
13
=sin
2
x
+(1-cos 2
x
)
22
133
=sin 2
x
-cos 2
x
+ <
br>222
π
?
3
?
=sin
?
2
x<
br>-
?
+.
3
?
2
?
所以
f
(
x
)的最小正周期
T
=
2π
=π.
2
2
π
?
π2π
??
π
?
(2)因为
x<
br>∈
?
0,
?
,所以2
x
-∈
?
-,
?
.
2
?
3
?
3
?
3
?
π
?
ππ
??
π2π
?
令
u
=
2
x
-,因为
y
=sin
u
在
?
-,<
br>?
上是增函数,在
?
,
?
上是减函数,
3
?
3
?
32
??
2
ππ5π
?
5π
??
5ππ
?
令
u
=2
x
-=,则
x<
br>=,所以
f
(
x
)在
?
0,
?
上是
增函数,在
?
,
?
上是减函数.
12
?
3212
??
122
?
?
π
?
由题意知,关于
x<
br>的方程
f
(
x
)=
t
在区间
?
0,
?
内有两个不相等的实数解,等价于
y
=
f
(
x<
br>)
2
??
?
π
?
与
y
=
t
的图象(图略)在区间
?
0,
?
内有两个不同的交点,
2
??
又因为
f
(0)=0,
f
?
所以
3≤
t
<1+
?
5π
?
=1+
3
,
f
?
2
?
12
?
?
π
?
=3, <
br>?
2
?
??
3
3
??
,即
t
的取值范围是
?
3,1+
?
.
2
2
??
π
??
2. (2018·湖州、衢州、丽水三地
市模拟)已知函数
f
(
x
)=3sin
?
2
x+
?
-2sin
x
cos
x
.
6
??
(1)求函数
f
(
x
)的最小正周期; <
br>?
ππ
?
(2)当
x
∈
?
-,
?<
br>时,求函数
f
(
x
)的最大值和最小值.
?
44
?
ππ
??
解
(1)
f
(
x
)=3
?
sin
2
x
cos +cos 2
x
sin
?
-sin
2
x
66
??
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=
π
?
31
?
cos 2
x
+sin
2
x
=sin
?
2
x
+
?
,
3
?
22
?
因此函数
f
(
x
)的最小正周期
T
=π.
ππππ5π
(2)因为-≤
x
≤,所以-≤2
x
+≤,
44636
π
?
1
?
所以-≤sin
?
2
x
+
?
≤1,
3
?
2
?
π因此当
x
=时,
f
(
x
)的最大值为1,
1
2
π1
当
x
=-时,
f
(
x
)的最小值为
-.
42
54
3.(2018·浙江省台州中学模拟)在△
ABC
中,cos
B
=-,cos
C
=.
135
(1)求sin
A
的值;
33
(2)设△
ABC
的面积
S
△
ABC
=,求
BC
的长.
2
512
解 (1)由cos
B
=-,得sin
B
=,
1313
43
由cos
C
=,得sin
C
=,
55
33
sin
A
=sin(
B
+
C
)=sin
B
cos
C
+cos
B
sin
C
=.
65
33133
(2)由
S
△
A
BC
=,得
AB
·
AC
·sin
A
=,
222
∴
AB
·
AC
=65.
又
AC
=
AB
·sin
B
20
=
AB
,
sin
C
13
13
AB
·sin
A
11
∴
AB
=,
BC
==.
2sin
C
2
4.在△
ABC
中,角
A
,
B
,
C
所对的边分别为
a
,
b
,
c
,且满
足23
a
sin
C
sin
B
=
a
sin
A
+
b
sin
B
-
c
sin
C
.
(1)求角
C
的大小;
(2)若
a
cos
??
π
-
B
?
=
b
cos(2
k
π+
A
)(
k
∈Z)且
a
=2,求△
ABC的面积.
?
?
2
?
22
解
(1)由23
a
sin
C
sin
B
=
a
sin
A
+
b
sin
B
-
c
sin
C
及正弦定理得,23
ab
sin
C
=
a
+
b
-
c
,
2
a
2
+
b
2
-
c
2
∴3sin
C
=,∴3sin
C
=cos
C
,
2
ab