辽宁高中数学竞赛预赛试题及答案-高中数学概率问题技巧
最新中小学试题试卷教案资料
(一)三角函数与解三角形
1．(2018·
浙江省教育绿色评价联盟月考)已知函数
f
(
x
)＝sin
x
·(cos
x
＋3sin
x
)．
(1)求
f
(
x
)的最小正周期；
?
π
?
(2)若关于
x
的方程
f
(
x
)＝
t<
br>在区间
?
0，
?
内有两个不相等的实数解，求实数
t
的取值范围．
2
??
解
(1)
f
(
x
)＝sin
x
cos
x
＋3sin
x
13
＝sin
2
x
＋(1－cos 2
x
)
22
133
＝sin 2
x
－cos 2
x
＋ <
br>222
π
?
3
?
＝sin
?
2
x<
br>－
?
＋.
3
?
2
?
所以
f
(
x
)的最小正周期
T
＝
2π
＝π.
2
2
π
?
π2π
??
π
?
(2)因为
x<
br>∈
?
0，
?
，所以2
x
－∈
?
－，
?
.
2
?
3
?
3
?
3
?
π
?
ππ
??
π2π
?
令
u
＝
2
x
－，因为
y
＝sin
u
在
?
－，<
br>?
上是增函数，在
?
，
?
上是减函数，
3
?
3
?
32
??
2
ππ5π
?
5π
??
5ππ
?
令
u
＝2
x
－＝，则
x<
br>＝，所以
f
(
x
)在
?
0，
?
上是
增函数，在
?
，
?
上是减函数．
12
?
3212
??
122
?
?
π
?
由题意知，关于
x<
br>的方程
f
(
x
)＝
t
在区间
?
0，
?
内有两个不相等的实数解，等价于
y
＝
f
(
x<
br>)
2
??
?
π
?
与
y
＝
t
的图象(图略)在区间
?
0，
?
内有两个不同的交点，
2
??
又因为
f
(0)＝0，
f
?
所以
3≤
t
<1＋
?
5π
?
＝1＋
3
，
f
?
2
?
12
?
?
π
?
＝3， <
br>?
2
?
??
3
3
??
，即
t
的取值范围是
?
3，1＋
?
.
2
2
??
π
??
2. (2018·湖州、衢州、丽水三地
市模拟)已知函数
f
(
x
)＝3sin
?
2
x＋
?
－2sin
x
cos
x
.
6
??
(1)求函数
f
(
x
)的最小正周期； <
br>?
ππ
?
(2)当
x
∈
?
－，
?<
br>时，求函数
f
(
x
)的最大值和最小值．
?
44
?
ππ
??
解
(1)
f
(
x
)＝3
?
sin
2
x
cos ＋cos 2
x
sin
?
－sin
2
x
66
??
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＝
π
?
31
?
cos 2
x
＋sin
2
x
＝sin
?
2
x
＋
?
，
3
?
22
?
因此函数
f
(
x
)的最小正周期
T
＝π.
ππππ5π
(2)因为－≤
x
≤，所以－≤2
x
＋≤，
44636
π
?
1
?
所以－≤sin
?
2
x
＋
?
≤1，
3
?
2
?
π因此当
x
＝时，
f
(
x
)的最大值为1，
1
2
π1
当
x
＝－时，
f
(
x
)的最小值为
－.
42
54
3．(2018·浙江省台州中学模拟)在△
ABC
中，cos
B
＝－，cos
C
＝.
135
(1)求sin
A
的值；
33
(2)设△
ABC
的面积
S
△
ABC
＝，求
BC
的长．
2
512
解 (1)由cos
B
＝－，得sin
B
＝，
1313
43
由cos
C
＝，得sin
C
＝，
55
33
sin
A
＝sin(
B
＋
C
)＝sin
B
cos
C
＋cos
B
sin
C
＝.
65
33133
(2)由
S
△
A
BC
＝，得
AB
·
AC
·sin
A
＝，
222
∴
AB
·
AC
＝65.
又
AC
＝
AB
·sin
B
20
＝
AB
，
sin
C
13
13
AB
·sin
A
11
∴
AB
＝，
BC
＝＝.
2sin
C
2
4．在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，且满
足23
a
sin
C
sin
B
＝
a
sin
A
＋
b
sin
B
－
c
sin
C
.
(1)求角
C
的大小；
(2)若
a
cos
??
π
－
B
?
＝
b
cos(2
k
π＋
A
)(
k
∈Z)且
a
＝2，求△
ABC的面积．
?
?
2
?
22
解
(1)由23
a
sin
C
sin
B
＝
a
sin
A
＋
b
sin
B
－
c
sin
C
及正弦定理得，23
ab
sin
C
＝
a
＋
b
－
c
，
2
a
2
＋
b
2
－
c
2
∴3sin
C
＝，∴3sin
C
＝cos
C
，
2
ab