高中数学竞赛冬令营总分-高中数学必修第一节三整理
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第3课时 三角形中的几何计算
课后篇巩固探究
A组
1
.
在△
ABC
中,
AB=
2,
BC=
5,△
ABC
的面积为4,则co
s∠
ABC
等于()
A.B.
±
C.
-
D.
±
解析由
S=AB
·
BC
·sin∠
ABC
,得4
=×
2
×
5sin∠
ABC
,解得
sin∠
ABC=
,从而cos∠
ABC=±.
答案B
2
.
某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的一
块三角形空地上种植草皮以美化环境
.
已知
这种草皮的价格为
a<
br>元
m
2
,则购买这种草皮需要()
A.450a
元B.225
a
元C.150
a
元D.300
a元
2
解析由已知可求得草皮的面积为
S=×
20
×
30
sin 150°
=
150(m),则购买草皮的费用为150
a
元
.
答案C
3
.
在△
ABC
中
,
a
,
b
,
c
分别为角
A
,
B<
br>,
C
的对边,若2
b=a+c
,
B=
30°,△ABC
的面积为,则
b
等于()
解析由
A.1
+
B.C.D.2
+
ac
sin 3
0°
=
,得
ac=
6
.
由余弦定理,得
b
2
=a
2
+c
2
-
2
ac
cos
30°
=
(
a+c
)
2
-
2<
br>ac-ac=
4
b
2
-
12
-
6,得
b=+
1
.
答案A
4
.
在△
ABC
中,若
AC=BC
,
C=
,
S
△
ABC
=
sin
A
,则
S
△
ABC
=()
2
A.B.C.D.2
解析因为
AB=BC+
3
BC-
2
×BC×BC×
222
=BC
2
,所以
A=C=
,所以
S
△
ABC
=
sin2
A=
,故选A
.
答案A
5
.<
br>若△
ABC
的周长等于20,面积是10,
B=
60°,则边
AC
的长是()
A.5B.6C.7D.8
解析在△
ABC
中,设
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,<
br>b
,
c
,已知
B=
60°,由题意,得
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解得
b=
7,故边
AC
的长为7
.
1
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答案C
6<
br>.
已知△
ABC
的三边分别为
a
,
b
,c
,且面积
S=
,则角
C=.
解析在△
A
BC
中,
S
△
ABC
=
,
而
S
△
ABC
=ab
sin
C
,
∴ab
sin
C.
222
由余弦定理,得
c=a+b-
2
ab
cos
C
,
∴
cos
C=
sin
C
,
∴C=
45°
.
答案45°
7.
已知三角形的面积为,其外接圆面积为π,则这个三角形的三边之积等于
.
解析设三角形的外接圆半径为
R
,则由π
R=
π,得
R=<
br>1
.
由
S=ab
sin
C=
2
,故
abc=
1
.
答案1
8
.
在△
ABC
中,角
A
,
B
,
C
所对的边分别为
a
,
b
,c
,求证:
=c.
证明由余弦定理的推论得cos
B=
,
cos
A=
,代入等式右边,得
右边
=c
=
=
左边,
故原式得证
.
9
.
如图,在△
ABC
中,
BC=
5,
AC=
4,co
s∠
CAD=
,且
AD=BD
,求△
ABC
的面积
.
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2
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解设
CD=
x
,则
AD=BD=
5
-x.
在△
CAD
中,由余
弦定理,得
cos∠
CAD=
,解得
x=
1
.
∴CD=
1,
AD=BD=
4
.
在△
CAD
中,由正弦定理,得,
则sin
C==
4
.
10
.
∴S
△
AB
C
=AC
·
BC
·sin
C=×
4
×
5
×
,故△
ABC
的面积为
.
导学号04994016若△<
br>ABC
的三边长分别为
a
,
b
,
c
,面积为
S
,且
S=c
2
-
(
a-b
)
2
,
a+b=
2,求面积
S
的最大值
.
2
2222222
解
S=c-
(
a-b
)
=c-a
-b+
2
ab=
2
ab-
(
a+b-c
)
.
由余弦定理,得
a
2
+b
2
-c
2<
br>=
2
ab
cos
C
,
22
∴c
-
(
a-b
)
=
2
ab
(1
-
c
os
C
),
即
S=
2
ab
(1
-
cos
C
)
.
∵S=ab
sin
C
,
∴
sin
C=
4(1
-
cos
C
)
.
222
又sin
C+
cosC=
1,
∴
17cos
C-
32cos
C+
15
=
0,
解得cos
C=
或cos
C=
1(舍去)
.
∴
sin
C=
,
∴S=ab
sin
C=a
(2
-a
)
=-
(
a-
1)
+
2
.
∵a+b=
2,
∴
0
B组
∴
当
a=
1,
b=
1
时,
S
max
=.
1
.
在钝角三角形
ABC
中,内角
A
,
B
,
C
所对的边分别为
a
,
b
,
c
,已知
a=
7,
c=
5,sin
C=
,则
△
ABC
的面积等于()
A.10B.C.D.
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