高三数学解三角形,平面向量与三角形的综合练习

解三角形，平面向量与三角形的综合练习
一、填空题
，?2)
，则
tan2
?
的值为______________． 1．若角
?
的终边经过点
P(1
2．已知向量
a
与
b
的夹角为
120
，且
a?b?4
，那么
ab
的值 为________．
3．已知向量
a?(1,3)
，
b?(?2,0)
，则
a?b
=_____________________.
?
，其中
?
?0
，则
?
?

65
?
?
?
5．
a,b
的夹角为
120< br>，
a?1,b?3
，则
5a?b?

4．
f(x)?cos(
?
x?
?
)
最小正周期为
6． 若
AB?2,AC?2BC
，则
S
?ABC
的最大值
2sin
2
x?1
?
?
?
7．设
x??
0，
?
，则函数
y?
的最小值为 ．
sin2x
?
2
?
，，2)b?(2，3)
，若向量
?
a?b
与向量
c?(?4，?7)
共线，则
?
?
． 8．设向量
a?(1
b?2
且
a
与
b的夹角为9．若向量
a
，
b
满足
a?1，
10．若sin(
?
，则
a?b?
．
3
?
3
?
?
)?
，则
cos2
?
?
_____ ____。
25
11．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为
a
、b、c ，若
则
cosA?

?
3b?c
?
cosA?acosC
，

。
12已知
a
是平面内的单位向量，若向量
b
满足
b(a?b )?0
，则
|b|
的取值范围
是 。
13．. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知
a?3,b?3,c?30?,
则A
＝ .
14． 关于平面向量
a，b，c
．有下列三个命题：
，k)，b?(?2，6)
，
a∥b
，则
k??3
． ①若
ab=ac
，则
b?c
．②若
a?(1
③非零向量
a
和
b
满足
|a|?|b|?|a?b|
，则
a
与
a?b
的夹角为
60
．
其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）

三、解答题
1．已知函数
f(x)?co s(2x?
?
)?2sin(x?)sin(x?)

344
??
（Ⅰ）求函数
f(x)
的最小正周期和图象的对称轴方程

（Ⅱ）求函数
f(x)
在区间
[?











2．已知函数
f(x)?sin
（Ⅰ）求
?
的值；
2
,]
上的值域
122
??
?
x?3sin?
xsin
?
?
x?
?
（
?
?0）的最小正周期为
π
．
2
?
?
?
π
?
（Ⅱ）求函数
f(x)
在区间
?
0，
?
上的取值 范围．
3










3．已知向量
m?(sinA,cosA),n?(1,?2)
,且
m?n?0.

(Ⅰ)求tanA的值；
(Ⅱ)求函数
f(x)?cos2x?tanAsinx(x?
R)的值域.







4
．已知函数< br>f(x)=Asin(x+
?
)(A>0,0<
?
<
?
),x
?
R
的最大值是
1
，其图像经过点
M
?< br>?
2π
?
??
?
?
1
?
，
?
.
?
32
?

(1)

求
f(x)
的解析式；

(2)

已知α，β?
?
0，
?
，且
f(
α
)=
?
?
?
?
2
?
3
12
，
f(
β< br>)=
，求
f(
α
-
β
)
的值
.
5
13








5． 如图，
△ACD
是等边三角形，
△ABC
是等腰直角三角形，
∠ACB?90
，
BD
交
AC
于
E
，AB?2
．
（Ⅰ）求
cos∠CAE
的值；
（Ⅱ）求
AE
．
D
C
E


B
A









6．如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角
?< br>,
?
，它们的终边分别与
单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为
225
,

105
?
?
?
)
的值； （2）求
?
?2
?
的值。 （1）求
tan(
y
A

B


O
x






7．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B 及CD的中点P处，已知AB=20km，
BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形AB CD的区域上（含边界），且A、B
与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、B O、OP，设排污管道的

总长为ykm。
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；
②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关 系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度
最短。
P
D
C


O



A B






8．（江西17）已知
tan
?
??
（1）求
tan(
?
?
?
)
的值；
（2）求函数
f(x)?2sin(x?
?
)?cos(x?
?
)< br>的最大值．



















1
5
，
cos
?
?,
?
,?
?(0,
?
)

3
5
解三角形，平面向量与三角形的综合答案

一、填空题
4

?8
2 7 10
22

3
2
3

7

?
7
?
3
[0，1

]

②
25

3

6
三、解答题
1解：（1）
f(x)?cos(2x?)?2sin(x?)sin(x?)

344
???

?
13
cos 2x?sin2x?(sinx?cosx)(sinx?cosx)

22
13cos2x?sin2x?sin
2
x?cos
2
x

22
13
cos2x?sin2x?cos2x

22

?

?

?sin(x2?

∴周期T?
（2）
?
6

)
2
?
?
?

2
x?[?
??
5
?
,],?2x??[?,]

122636
?
6
)
在区间
[?,]
上单调递增， 在区间
[,]
上单调递减，
32
123
??
因为
f(x)?sin(2x?
所以 当
x?
??
??
?
3
时，
f(x)
取最大 值 1
又
f(?
?
12
)??
?
3
?
13
?f()?
，
∴
当
x??
时，
f( x)
取最小值
?

12
2222
3
,]
上的值域为
[?,1]

122
2
所以 函数
f(x)
在区间
[?
??
2. 解：（Ⅰ）
f(x)?1?cos2
?
x3
?sin2
?
x

22< br>?
311
π
?
1
?
sin2
?
x? cos2
?
x?
?sin
?
2
?
x?
?< br>?
．
222
6
?
2
?
因为函数
f (x)
的最小正周期为
π
，且
?
?0
，
所以
2π
?
π
，解得
?
?1
．
2
?

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
f(x)?sin
?
2x?< br>?
?
2π
π
?
1
0
≤
x
≤
．因为，
?
?
3
6
?
2
所以
?
ππ7π
1π
?
≤
2x?
≤
，所以
?≤
sin
?
2x?
??
≤
1
．
66 6
26
??
因此
0
≤
sin
?
2x??
?
π
?
13
?
3
?
f(x)
，即的取值范围为
?
≤
0，
?
．
?
?
6
?
22
?
2
?
3. 解： （Ⅰ）由题意得m
·
n=sinA-2cosA=0,因为cosA≠0,所以tanA=2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得
13
f(x)?cos2x?2sinx?1?2 sin
2
x?2sinx??2(sinx?)
2
?.

2 2
3
1
因为x
?
R,所以
sinx?
?
? 1,1
?
. 当
sinx?
时，f(x)有最大值，
2
2
当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，
所以所求函数f(x)的值域是
?
?3,
?
.

2
?
?
3
?
?
4.
解：（
1
）依题 意知
A=1
f
?

?
??
4
?
?
?
??
?
?
1
? sin?
?
?
??
?
?

；
< br>，又
???
332
333
????
?
3
?< br>?
?
5
?
?

即

?
?

62

因此

f
?
x
?
?sin
?
x?

（< br>2
）
?
?
?
?
?
?cosx

；

2
?
?
?

f
?
?
?
?cos
312

，
f
?
?
?
?cos
?
?

513

且

45
?
?
?
?
,
?
?
?
0,
?

?

sin
?
?

，
sin
?
?

513
?
2
?< br>3124556
f
?
?
?
?
?
?cos?
?
?
?
?
?cos
?
cos
??sin
?
sin
?
?????
51351365

5. 解：（Ⅰ）因为
∠BCD?90?60?150
，
CB?AC?CD
，
所以
∠CBE?15
． 所以
cos∠CBE?cos(45?30)?
6?2
．
4
（Ⅱ） 在
△ABE
中，
AB?2
，由正弦定理
AE2
?
．
sin(45?15)sin(90?15)

故
AE?
2si n30
?
cos15
2?
1
2
6?2
4
? 6?2
． 12分
6.【解析】：本小题考查三角函数的基本概念、三角函数
的基本关系式、两角和的正切、二倍角的正切公式，
考查运算求解能力。
225

,cos
?
?
105
725
< br>?
、
?
为锐角，
?sin
?
?,sin
?< br>?
105
1
?tan
?
?7,tan
?
?< br>
2
1
7?
tan
?
?tan
?
2
??3
（1）
tan(
?
?
?
)??
1 ?tan
?
?tan
?
1?7?
1
2
由条件得< br>cos
?
?
（2）
4
1
7?
2tan
?
3
??1

2
?
4
?tan(
??2
?
)?
tan
?
?tan2
?
?tan2
?
??
2
1?tan
?
1?(
1
)
2
31?tan
?
?tan2
?
1?7?
4
2< br>3
3
?
3
?
?
?
?2
?
?
?
、
?
为锐角，
?0?
?
?2
?
?

24
2?
7. 【解析】：本小题考查函数的概念、
解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、
抽象概括能力和解决实际问题的能力。 < br>（1）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ(rad)，则
OA?
故
OB?
AQ10
?
，
cos?BAOcos
?
10

cos
?
1010
??10?10tan
?

co s
?
cos
?
又
OP?10?10tan
?
，所以
y?OA?OB?OP?
所求函数关系式为
y?
20?10sin
?
?10
cos
?
(0?
?
?
?
4
)

②若OP=x(km)，则OQ=10-x，所以
OA?OB?
所求函数 关系式为
y?x?2x
2
?20x?200
(10?x)
2
?10
2
?x
2
?20x?200

(0?x?10)

?10cos
?
cos
?
?( 20?10sin
?
)(?sin
?
)10(2sin
?
? 1)
?
（2）选择函数模型①，
y'?

22
cos
?
cos
?
1
??
令
y'?0
得
sin
?
?

0?
?
??
?
?
246
?
??
当
?
?(0,)
时
y'?0，y是θ的减函数；当
?
?(,)
时
y'?0
，y是θ的增函数 ；
664

所以当
?
?
?
6
20? 10?
时，
y
min
?
3
2
1
2
?10?103?10

此时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边
103
km处。
3
8. 解：（1）由
cos
?
?
525

,
?
?(0,
?
)
得
tan
?
? 2
，
sin
?
?
55
1
??2
tan?
?tan
?
于是
tan(
?
?
?
)
=
?
3
?1
.
2
1? tan
?
tan
?
1?
3
（2）因为
tan
?
??,
?
?(0,
?
)
所以
sin
?
?
1
3
13
,cos
?
??

1010
f(x)??
355525
sinx?cosx?cosx?sin x
??5sinx

5555
f(x)
的最大值为
5
.