高中数学选修4 5电子课本-高中数学励志短语
第一章 解三角形
教学目标： 批
知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容注
及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问
题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其
对角的关系，引导学生通
过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，
并进行定理基本应用的实践操作。
情感
态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；
培养学生合情推理探索数学规
律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定
理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍
联系与辩证统一。
教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
教学用具：三角板、多媒体
教学方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对
角的关系，引导
学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，
并进行定理基本应用的实践操作。
教学过程：
Ⅰ.课题导入
如图1．1-1，固定
?
ABC的边C
B及
?
B，使边AC绕着顶点C转动。 A
思考：
?
C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角
?
C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C
B
Ⅱ.讲授新课[探索研究]
(图
1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，
角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt
?
ABC中，设BC=a,AC=b,A
B=c,
根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有
a
b
c
又sin
C
?1?
,
?sin
A
，
?si
n
B
，
c
c
c
A
则
a
sin<
br>A
?
b
sin
B
?
c
sin
C?
c
b c
?
从而在直角三角形ABC中，
B
a
sin
A
b
sin
B
?
c
sin
C
C a
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当
?<
br>ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角
三角函数的定义，有CD=
a
sin
B
?
b
sin
A
,则
C
同理可得
a
从而
a
sin
A
?
b
sin
B
，
c
sin
C
?
?
b
sin
B
?<
br>， b
a
sin
A
b
sin
B
c
sin
C
A c
B
(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以
考虑
用向量来研究这个问题。
uruuur
（证法二）：过点A作
j
?
AC
，
C
uuuruur
由向量的加法可得
AB
?
AC
?
CB
uruururuuuruur
则
j
?
AB
?
j
?(
AC
?
CB
)
A
B
uur
uruururuuururuur
ur
∴j
?
AB
?
j
?
AC
?
j
?
CB
j
ruuurruuur
0
jABcos
?
90?A
?
?0?jCBcos
?
90
0
?C
?
∴
csinA?asinC
，即
ac
?
sinA
sinC
ruuur
bc
?
同理，过点C作
j?BC
，可得
sinBsinC
从而
sinC
类似可推出，当
?
ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后
自
己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同
一正数，即存在正数k使
a
?
k
sin
A
，
b
?
k
sin
B
，
c
?
k
si
n
C
；
（2）
a
sin
A
?b
sin
B
?
c
sin
C
等价于
a<
br>sin
A
?
b
sin
B
，
c
sin
C
?
b
sin
B
，
sin
A
sin
C
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知
三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如
a
?
a
?
c
b
sin
A
；
sin
B
②已知三角形的任意两边与其中一边
的对角可以求其他角的正弦值，如
sin
A
?sin
B
。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]
例1．在
?ABC
中，已知
A?32.0
0
，
B?81.8
0
，
a?42.9
cm，解三角
形。
解：根据三角形内角和定理，
a
b
C?180
0
?(A?B)
?1
80
0
?(32.0
0
?81.8
0
)
?66.2
0
；
根据正弦定理，
asinB42.9sin81.8
0
b???80.1(cm)
；
sinA
sin32.0
0
根据正弦定理，
asinC42.9sin66.2
0
c???74.1(cm).
sinA
sin32.0
0
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在
?ABC
中，已知
a?20
cm，
b?
28
cm，
A?40
0
，解三角形（角度精
确到
1
0
，边长精确到1cm）。
解：根据正弦定理，
bsinA28sin40
0
sinB???0.8999.
<
br>a20
因为
0
0
＜
B
＜
180
0<
br>，所以
B?64
0
，或
B?116
0
.
⑴ 当
B?64
0
时，
C?180
0?(A?B)?180
0
?(40
0
?64
0
)?76
0
，
asinC20sin76
0
c???30(cm).
sinA
sin40
0
⑵ 当
B?116
0
时，
C?180
0
?(A?B)?180
0
?(400
?116
0
)?24
0
，
asinC20sin24
0
c???13(cm).
sinA
sin40
0
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能
有两解的情形。
Ⅲ.课堂练习
第4页练习第1（1）、2（1）题。
[补充练习
]已知
?
ABC中，
sin
A
:sin
B
:sin
C
?1:2:3
，求
a
:
b
:
c
（答案：1：2：3）
教学后记：