高中数学学科成绩分析-思维导图高中数学经典例题
第一章 学业质量标准检测
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分
，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，a＝80，b＝100，A＝45°，则此三角形解的情况是( B )
A．一解
C．一解或两解
[解析]
∵bsinA＝100×
∴bsinA
2．已知△
ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a
2
＝b
2
＋c2
－bc，bc＝4，
则△ABC的面积为( C )
1
A．
2
C．3
B．1
D．2
2
＝502<80，
2
B．两解
D．无解
1
π
1
[解析] ∵a<
br>2
＝b
2
＋c
2
－bc，∴cosA＝，∴A＝，又bc＝4
，∴△ABC的面积为bcsinA
232
＝3，故选C．
3．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为10 km和20 km，灯塔A在观察站C
的北偏东15°方向上，灯塔B在观察站C的南偏西75°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为
( B
)
A．105 km
C．103 km
B．107 km
D．30 km
[解析] 在△ABC中，∠ACB＝15°＋90°＋(90°－75°)
＝120°.已知AC＝10km，BC＝
1
20km，由余弦定理得AB
2
＝AC
2
＋BC
2
－2AC·BC·cos120°＝10
2
＋20
2
－2×10×20×(－)＝
2
700，∴AB＝107.故选B
．
4．已知钝角三角形的三边长分别为2、3、x，则x的取值范围是( C )
A．1
C．1
?
3
?
222
，∴13
?
x>3＋2
当3为最大边时
?
?
1
?
3
2
>x
2
＋2
2
?
，∴1
5．已知关于x的方程x
2
－xcosA·cosB＋2sin
2
＝0的两根之和等于两根之积的一半，则
2
△ABC一定是( C )
A．直角三角形
C．等腰三角形
C
[解析]
由题意知：cosA·cosB＝sin
2
，
2
1－cosC
11
11
∴cosA·cosB＝＝－cos[180°－(A＋B)]＝＋cos(A＋B)，
22222
11
∴(cosA·cosB＋sinA·sinB)＝，∴cos(A－B)＝1
，
22
∴A－B＝0，∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形，故选C．
6．等腰△ABC底角B的正弦与余弦的和为
A．30°或150°
C．30°
[解析] 由题意：sinB＋cosB＝
6
，则它的顶角是( A )
2
B．钝角三角形
D．等边三角形
B．15°或75°
D．15°
61
.两边平方得sin2B＝，设顶角为A，则A＝180°－2B
．
22
1
∴sinA＝sin(180°－2B)＝sin2B＝，
2
∴A＝30°或150°.
7．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a
、b、c，已知8b＝5c，C＝2B，则cosC
＝( A )
7
A．
25
7
C．±
25
7
B．－
25
24
D．
25
bc4
[解析] 由＝及8b＝5c，
C＝2B得，5sin2B＝8sinB，∴cosB＝，∴cosC＝cos2B
sinBsinC5
7
＝2cos
2
B－1＝.
25
3
→→→
8．若G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且aGA＋bGB＋cGC
3<
/p>
＝0，则角A＝( D )
A．90°
C．45°
B．60°
D．30°
3
→→→→→→→→
[解析] 由重心性
质可知GA＋GB＋GC＝0，故GA＝－GB－GC，代入aGA＋bGB＋
3
→
c
GC＝0中，
3
→→
即(b－a)GB＋(c－a)GC＝0，
3
b－a＝0
?
?
→→
因为GB，GC不共线，则
?
3
c－a＝0，
?
?
3
?
b＝a，
b
2
＋c
2
－a
2
3
即
?
故co
sA＝＝，
2bc2
?
c＝3a，
因为0
＝6，b＝33，B＝60°；④c＝9，b＝12，C＝60°.其中满足上述条件的三角形有两解
的是( A )
A．①②
C．①②③
[解析]
①csinB
④c
10．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为
形的面积为( B
)
15
A．
4
213
C．
4
[解析]
∵三边不等，∴最大角大于60°，
设最大角为α，故α对的边长为a＋2.
∵sinα＝
3
，∴α＝120°，
2
153
B．
4
353
D．
4
3
，则这个三角
2
B．①④
D．③④
由余弦定理，得
(a＋2)
2
＝(a－2)
2
＋a
2
＋a(a－2)，
即a
2
＝5a，解得a＝5，∴三边长为3,5,7，
1153
S
△
ABC
＝×3×5×sin120°＝.
2
4
11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，若cosA＋sinA－
a＋b
＝0，则的值是( B )
c
A．1
C．3
[解析]
将cosA＋sinA－
B．2
D．2
2
＝0，整理得(cosA＋si
nA)(cosB＋sinB)＝2，即
cosB＋sinB
2
cosB＋sinB<
br>cosAcosB＋sinBcosA＋sinAcosB＋sinAsinB＝cos(A－B)＋si
n(A＋B)＝2，∴cos(A－B)＝1，sin(A
＋B)＝1，
π
∴A－B＝0，A＋B＝，
2
ππ
abc
即A＝B＝，
C＝.利用＝＝＝2R，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
42sinAs
inBsinC
22
＋
2
a＋b2RsinA＋2RsinBsinA＋si
nB
2
则＝＝＝＝2.(R为△ABC的外接圆半径)
c2RsinCsinC1<
br>12．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20n mile，<
br>随后货轮按北偏西30°的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度
为( B )
A．20(2＋6)n mileh
C．20(3＋6)n
mileh
[解析] 由题意可知
∠SMN＝15°＋30°＝45°，MS＝20，∠M
NS＝45°＋(90°－30°)＝105°，设货轮每小时航
1
行xn
mile，则MN＝x，
2
∴∠MSN＝180°－105°－45°＝30°，
B．20(6－2)n mileh
D．20(6－3)n mileh
1
x
2
20
由正弦定理，得＝，
sin30°sin105°
∵sin105°＝sin(60°＋45°)
＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝
∴x＝20(6－2)，故选B．
二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)
3
8
→→
8
13．在△ABC中，已知b＝1，sinC＝，bcosC＋ccosB＝
2，则AC·BC＝或－.
555
a
2
＋b
2
－c
2
a
2
＋c
2
－b
2
[解析]
由余弦定理的推论，得cosC＝，cosB＝.
2ab2ac
∵bcosC＋ccosB＝2，
a
2
＋b
2
－c
2
a
2
＋c
2
－b
2
∴＋
＝2，
2a2a
→
∴a＝2，即|BC|＝2.
3
∵sinC＝，0°
44
∴cosC＝，或cosC＝－.
55
→
又∵b＝1，即|AC|＝1，
8
→→
8
→→
∴AC·BC＝，或AC·BC＝－.
55
1
14．已知△ABC的周长为2＋1，且sinA＋sinB＝2sinC
．
若△ABC的面积为sinC，
6
则C＝60°.
[解析]
∵sinA＋sinB＝2sinC
．
∴a＋b＝2c.
又∵a＋b＋c＝2＋1，∴c＝1，a＋b＝2.
11
又S
△
ABC
＝absinC＝sinC
．
26
1
∴ab＝，
3
a
2
＋b
2
－c
2
?a＋b?
2
－2ab－c
2
1
∴cos
C＝＝＝，
2ab2ab2
∴C＝60°.
15．(2016·河北石家庄市一模
)已知△ABC中，AC＝4，BC＝27，∠BAC＝60°，AD⊥
BD
BC于D，则的值
为6.
CD
6＋2
，
4
[解析] 在△ABC中
，AC＝4，BC＝27，∠BAC＝60°，由余弦定理得cos60°＝
AB
2
＋
4
2
－?27?
2
1
＝，解得AB＝6(负值舍去)．因为Rt△A
BD与Rt△ACD有公共边AD，所
2AB·42
1272727BD
以6
2
－BD
2
＝4
2
－(27－BD)
2
，解得BD
＝，所以CD＝，所以CD＝.故＝6.
777CD
A
b＋c
16．在△A
BC中，cos
2
＝，则△ABC的形状为直角三角形.
22c
A
1＋cosAb＋c
1b
[解析]
∵cos
2
＝＝＝＋，
222c22c
b
∴cosA＝.
c
由余弦定理的推论，得
b
2
＋c
2
－a
2
cosA＝，
2bc
b
2
＋c
2
－a
2
b
∴＝，
2bcc
∴a
2
＋b
2
＝c
2
.
∴△ABC为直角三角形．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
1
7．(本题满分12分)(2016·北京理，15)在△ABC中，a
2
＋c
2＝b
2
＋2ac.
(1)求∠B的大小；
(2)求2cosA＋cosC的最大值．
a
2
＋c
2
－b
2
2ac2
[解析]
(1)由余弦定理及题设条件得cosB＝＝＝.
2ac2ac2
π
又0<∠B<π，所以
3π
(2)由(1)知∠A＋∠C＝，则
4
3π
222
2
－A
?
＝2cosA－cosA＋sinA＝cosA＋sinA2cosA＋co
sC＝2cosA＋cos
?
?
4
?
2222
π
A
－
?
.
＝cos
?
?
4
?
3π
因为0<∠A<，
4
π
所以当∠A＝时，2cosA＋cosC取得最大值1.
4
1
8．(本题满分12分)已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a︰b︰
c＝7
︰5︰3.
(1)求cosA的值；
(2)若△ABC的面积为453，求△ABC外接圆半径的大小．
[解析]
(1)因为a︰b︰c＝7︰5︰3，
所以可设a＝7k，b＝5k，c＝3k(k>0)，
由余弦定理得
b
2
＋c
2
－a
2
?5k
?
2
＋?3k?
2
－?7k?
2
1
cosA＝＝＝
－.
2bc2
2×5k×3k
1
(2)由(1)知cosA＝－，
2
因为A是△ABC的内角，所以sinA＝1－cos
2
A＝
由(1)知
b＝5k，c＝3k，
1
因为△ABC的面积为453，所以bcsinA＝453，
2
13
即×5k×3k×＝453，解得k＝23.
22
由正弦定理得2R＝
7k143
＝＝28，
sinA
3
2
3
.
2
解得R＝14，所以△ABC外接圆半径的大小为14.
19．(本题满分12分
)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要
求在考点周围1km内不能收到手机信
号．检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约3km有
一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手
机接通电话，以12kmh的速度沿公路行驶，
最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续
多长时间该考点才算合格？
[解析]
如图所示，考点为A，检查开始处为B，设公路上C，D两点到考点的距离为
1km.
在△ABC中，AB＝3≈1.732，AC＝1，∠ABC＝30°，
由正弦定理，得sin∠ACB＝
ABsin30°3
＝，
AC2
∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，
∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1.
在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1.
∵
BC
×60＝5，
12
∴在BC上需要5min，CD上需要5min.
∴最长需要5min检查员开始收不到信号，并至少持续5min该考点才算合格． <
br>20．(本题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已
1
→→
知BA·BC＝2，cosB＝，b＝3，求：
3
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
→→
[解析] (1)由BA·BC＝2得c·acosB＝2.
1
又cosB＝，所以ac＝6.
3
由余弦定理得a
2
＋
c
2
＝b
2
＋2accosB
．
1
又b＝3，所以a
2
＋c
2
＝9＋2×6×＝13. <
br>3
?
?
ac＝6，
解
?
22
得a＝2，c＝
3或a＝3，c＝2.
?
a＋c＝13，
?
因为a>c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，
sinB＝1－cos
2
B＝
122
1－??
2
＝.
33
c22242
由正弦定理，得sinC＝sinB＝×＝.
b339
因为a＝b>c，所以C为锐角，
因此cosC＝1－sin
2<
br>C＝
42
2
7
1－??＝.
99
17224223
于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝×＋×＝.
393927<
br>21．(本题满分12分)已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
3cb
且tanA＝
22
.
c＋b－a
2
(1)求角A的大小；
(2)当a＝3时，求c
2<
br>＋b
2
的最大值，并判断此时△ABC的形状．
sinA3cb3
[
解析](1)由已知及余弦定理，得＝，sinA＝，因为A为锐角，所以A＝
cosA2cbcosA
2
60°.
(2)解法1：由正弦定理，得
abc3
＝＝＝＝2，
sinAsinBsinC
3
2
所以b＝2sinB，c＝2sinC＝2sin(
120°－B)．
c
2
＋b
2
＝4[sin
2
B
＋sin
2
(120°－B)]
1－cos2B1－cos?240°－2B?
＝4[＋]
22
＝4－cos2B＋3sin2B
＝4＋2sin(2B－30°)．
?
0°
?
由，得30°
?
0°
?
当
sin(2B－30°)＝1，即B＝60°时，(c
2
＋b
2
)
m
ax
＝6，
此时C＝60°，△ABC为等边三角形．
解法2：由余弦定理得(3
)
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos60°＝b
2<
br>＋c
2
－bc＝3.
b
2
＋c
2
∵bc≤(当且仅当b＝c时取等号)，
2<
br>∴b
2
＋c
2
－
b
2
＋c
2
≤3，即b
2
＋c
2
≤6(当且仅当b＝c时等号)．
2
故c
2
＋b
2
的最大值为6，此时△ABC为等边三角形．
22．(本题满分14分)如图所示，A、B两个小岛相距21n
mile，B岛在A岛的正南方，
现在甲船从A岛出发，以9n
mileh的速度向B岛行驶，而乙船同时以6n mileh的速度离开
B岛向南偏东60°方向行驶
，问行驶多少时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离.
[解析]
设行驶t小时后，甲船行驶了9tn mile到达C处，乙船行驶了6tn mile到达D
处．
7
当9t<21，即t<时，C在线段AB上，此时BC＝21－9t，
3
在△BCD中，BC＝21－9t，BD＝6t，∠CBD＝180°－60°＝120°，
由余弦定理，得CD
2
＝BC
2
＋BD
2
－2BC
·BD·cos120°
1
＝(21－9t)
2
＋(6t)
2－2×(21－9t)·6t·(－)
2
＝63t
2
－252t＋44
1＝63(t－2)
2
＋189.
∴当t＝2时，CD取得最小值189＝321.
77
当t＝时，C与B重合，此时CD＝6×＝14>321.
33
7当t>时，BC＝9t－21，则CD
2
＝(9t－21)
2
＋(6t)
2
－2×(9t－21)×6t×cos60°＝63t
2
－252t
3
＋441
＝63(t－2)
2
＋189>189.
综上可知，t＝2时，CD取最小值321 n
mile，故行驶2h后，甲、乙两船相距最近为
321 n mile.