高中数学经典解题技巧和方法三角变换与解三角形

高中数学经典解题技巧：三角变换与解三角形
一、三角变换及求值
解题技巧： 1．在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时，常用到如下变形
（1）
1?sin
?
?(sin
?
?cos)
2
；
2 2
?
（2）角的变换
?
?
?
?(
?
??
)
；
（3）
asin
?
?bcos
?< br>?a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)< br>。
2．利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型：
（1）“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值；
（2）“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值；
（3）“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角。
??
??
m? (sinA,cosA),n?(1,?2)
m
例1：已知向量,且
?n?0

(Ⅰ)求tanA的值； (Ⅱ)求函数
f(x)?cos2x?tanAsinx(x?
R)的值域
解析：（Ⅰ）由题意得m·n=sinA-2cosA=0,
因为cosA≠0,所以tanA=2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得
13
f(x)?cos2x?2sinx?1?2sin
2
x?2sinx??2(sin x?)
2
?.
22

因为x
?
R,所以
sinx?
?
?1,1
?
sinx?
.当
13
2< br>时，f(x)有最大值
2
，
当sinx=-1时，f(x)有最小值-3
?
3
?
?3,
?
.
?
2
?
所以所求函数f(x)的值域是
?
二、正、余弦定理的应用
解题技巧：1 ．在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，
因此要时 刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角
形 的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”， 是使
问题获得解决的突破口。
2．在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一 定是锐角，也可能为钝角（或直角），这往往
造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦为正， 该角一定为锐角，且有惟一解，因此，在解三角形中，
若有求角问题，应尽量避免求正弦值。
例2：（2010·辽宁高考理科·Ｔ17）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且

2asinA?(2a?c)sinB?(2c?b)sinC.

（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求
sinB?sinC
的最大值.
【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。
【思路点拨】（I）根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角
（II）由（I）知角C＝60°-B代入sinB+sinC中，看作关于角B的函数，进而求出最值
【规范解答】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
2a?(2b?c)b?(2c?b)c

即
a?b?c?bc
由余弦定理得
a?b?c?2bccosA

故
cosA??
222222
2
1
，A=120°
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
sinB?sinC?sinB?sin(60??B)?
31
cosB?sinB

22
?sin(60??B)
故当B＝30°时，sinB+sinC取得最大值1。
【方法技巧】
(1)利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA，用b替 换sinB,用c替换sinC。sinA,sinB,sinC
的次数要相等，各项要同时替换，反之 ，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。
(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B+C＝60°
三、三角函数的实际应用
例3：（2010·江苏高考·Ｔ１7）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标
杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=
?< br>，∠ADE=
?
。
(1)该小组已测得一组
?
、
?
的值，算出了tan
?
=1.24，tan
?
=1.20，请据此算出H的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单< br>位：m），使
?
与
?
之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际 高度为
125m，试问d为多少时，
?
-
?
最大？
【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。
【思路点拨】（ 1）分别利用
H,
?
,
?
表示AB、AD、BD，然后利用AD—A B=DB求解；
（2）利用基本不等式求解.
【规范解答】（1）
H
?t an
?
?AD?
H
，同理：
AB?
H
，
B D?
h
。
tan
?
tan
?
ADtan
?
AD—AB=D B，故得
HHh
htan
?
4?1.24
，解得：
H???
??124
。
tan
?
tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?
1.24?1.20

因此，算出的电视塔的高度H是124m。
（2）由题设知
d?AB
，得< br>tan
?
?
HHhH?h
，
,tan
?
? ??
dADDBd
HH?h
?
tan
?
?tan
?
hdh
dd

tan(
?
?
?
)???< br>2
?
1?tan
?
?tan
?
1?
H
?
H?h
d?H(H?h)
d?
H(H?h)
ddd
d?
H(H?h)
（当且仅当
d?
?2H(H?h)
，
d
H(H?h)?125?121?555
时，取等号）
故当
d?555
时 ，
tan(
?
?
?
)
最大。
因为
0?< br>?
?
?
?
?
2
，则
0?
?
?
?
?
?
2
，由
y?tanx
的单调性可知：当< br>d?555
时，
?
-
?
最大。
故所求的
d
是
555
m。
例4．（2010·福建高考文科·Ｔ2）计算
1?2sin22.5
的结果等于（ ）
20
A.
233
1
B. C. D.
2
32
2
【命题立意】本题考查利用余弦的倍角公式的逆用，即降幂公 式，并进行三角的化简求值。
【思路点拨】 直接套用倍角公式的逆用公式，即降幂公式即可。 【规范解答】选B，
1?2sin
2
?
22.5
?
?c os
?
45
?
?
00
2
。
2
【方法技巧】对于三角公式的学习，要注意灵活掌握其变形公式，才能进行灵活的恒等变换。如倍角公式：
，即为
sin2x?2sinx?cosx
，
cos2x?1?2sin
2
x?2cos
2
x?1?cos
2
x?sin
2
x
的逆用公式为“降幂公式”
1
1?cos2x1?cos2x
，在三角函数的 恒等变形中，降幂公式的起着
,cos
2
x?
sinx?cosx?sin2 x
，
sin
2
x?
22
2
重要的作用。
例5（．2010
?
海南宁夏高考
?
理科T16）在
?A BC
中，D为边BC上一点，BD=
的面积为
3?3
，则
?BAC< br>= .
【命题立意】本题主要考查了余弦定理及其推论的综合应用.
【思路点拨】利用三角形中的余弦定理极其推论。列出边与角满足的关系式求解.
【规范解答 】设
BD?x
，则
CD?2x
，由
?ADC
的面积为
3?3
可知
1
DC,
?ADB
=120°，AD=2，若
?ADC
2
1
CD
g
AD
g
sin60
o
?3?3
，可得
x?3?1
，由余弦定理可知
2
AB< br>2
?AD
2
?BD
2
?2ADgBDcos?ADB
?6
，所以
AB?6

AC
2
?AD
2
? DC
2
?2ADgDCcos?ADC
?24?123
，所以
AC? 6(3?1)

AB
2
?AC
2
?BC2
由
cos?BAC?
，及
AB?6,AC?6(3?1),BC?3( 3?1)

2AB
g
AC
可求得
?BAC?60

【答案】60°

【方法技巧】熟练三角形中隐含的角的关系，利用余弦定理或正弦定理找边与角的关系，列出等式求解.
例6．（2010·天津高考理科·Ｔ7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若
a?b?3bc
，
22
o
sinC?23sinB
，则A= ( )
（A）
30
（B）
60
（C）
120
（D）
150

【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。
【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。
【规范解答】选A，根据正弦定理及
s inC?23sinB
得：
c?23b

0000
b
2?c
2
?a
2
c
2
?(a
2
?c2
)c
2
?3bc3
QcosA????
，
2bc2 bc2bc2
Q0
0
A?180
0
,?A?30
0
。
【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角。
2
例7．（2010·天津高考理科·Ｔ１7）已知函数
f(x)?23sinxcosx? 2cosx?1(x?R)

（Ⅰ）求函数
f(x)
的最小正周期及在区间< br>?
0,
?
?
?
上的最大值和最小值；
?
?
2
?
（Ⅱ）若
f(x
0
)?
6
?
??
?
,x
0
?
?
,
?
，求
co s2x
0
的值。
5
?
42
?
【命题立意】本小题 主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦公式、函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的性质、同角三
角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能 力。
【思路点拨】化成一个角的三角函数的形式；变角
2x
0
?
?
2x
0
?
2
【规范解答】（1）由
f(x)?23sin xcosx?2cosx?1
，得
?
?
?
?
?
?
?
，
6
?
6
f(x)?3(2sinxcosx)?(2cos
2
x?1)?3si n2x?cos2x?2sin(2x?)

6
2
?
?
?
所以函数
f(x)
的最小正 周期为
T?
2
因为
f(x)?2sin
?
2x?
?
?
?
?
?
6
?
?
在区间
?
0,
?
?
??
??
?
,
?
上为减函数， 又 上为增函数，在区间
??
?
6
??
62
?

?
?
?
f(0)?1,f
??
?2,
?
6
?
?
?
??
?
?
f
??
??1
，所以函数
f(x)
在区间
?
0,
?
上的最大值为 2，最小值为-1
?
2
??
2
?
?
?
（ Ⅱ）由（1）可知
f(x
0
)?2sin
?
2x
0
?
?
?
?
6
?

又因为
f(x
0
)?
?
?
3
6
?
，所以
sin
?
2x
0
?
?
?

6
?
55
?
由
x
0
?
?
?
?
2?
7
?
?
?
?
?
?
4
???
?
??
,
?
，得
2x
0
???
,
?
从而
cos
?
2x
0
?
?
??1?sin
2
?
2x
0
?
?
??

6
?
36
?
6
?
6
?
5
?
42
?
??
?
?
?
?
所以< br>cos2x
0
?cos
?
?
2x
0
?


?
?
?
?
?
?
??
??
3?43
??
??cos2x?cos?sin2x?
??
0
??
0
?
sin?
?
6
?
6
?< br>6
?
66
?
610

??