高三理科数学解三角形经典练习题

高三理数解三角形练习题
一、选择题
1. 已知2sinαtanα＝3，则cosα的值是( )
A. －7 B. － C. D.
242
π
cos?＋α?sin?－π－α?
2
2
.
已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为（ ）
11π9π
cos?－α?sin?＋α?
22
A. －1 B. C. -
44
＋α
?
，则sinαcosα等于(
3.
已知si n(3π－α)＝－2sin
?
2
??
π
33
D. 2
)

131
22221
A. － B. C. 或－ D. －
55555
π
?
π
4.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f
?
?
12
?
＝0，则ω的最小值
3
是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
π
5.将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶 函数的图象，则φ的
8
一个可能取值为( )
A.
3πππ
B. C. 0 D. －
444
6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A． B． C． D．
7.一等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么顶角的余弦值为（ ）
A．
5

18
B．
3

4
C．
3

2
D．
7

8
?
8.在
?ABC
中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且
c?42，B?45
,面积
S?2
,则
b
等于
（ ）
A．
113

2
B．5 C．
41
D．25
9.在
?ABC中，A,B,C
的对边分别为
a,b,c
,若
acosC,bcosB,ccosA
成等差数列则
B?

1

（ ）
A．
?

6
B．
?

4
C．
?

3
22
D．
2
?

3
222
10 .在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若
b?c?2b?4c?5
且a?b?c?bc
,
则△ABC的面积为（ ）
A．
3
B．
3

2
C．
2

2
D．
2

二、选择题

11．
在
?ABC
中,角A,B,C新对的边分别为a,b,c,若
acosB?bcosA?csi nC
,
b
2
?c
2
?a
2
?3bc,则角B=________.
12．
已知三角形的一边长为4,所对角为60°,则另两边长之积的最大值等于 .
13．
北京庆阅兵式上举行升旗仪式,如图,在坡度为15°的观礼
台上,某一列 座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上,在
该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为
60°和30°,且第一排和最后一排的距离为10
6
米,则
旗杆的高度为____ __米
14．
在
?ABC
中,
sinA,sinB,sinC依次成等比数列,则B的取值范围是_____________

三、解答题

15.已知函数
f(x)?Msin(
?
x?
?
)(M?0 ,|
?
|?
(Ⅰ)求 函 数
f(x)
的 解 析 式;
(Ⅱ)在△
ABC
中,角
A、B、C
的 对 边 分
?
2
)
的部分图象如图所示.
别是
a、b、c
, 若
(2a?c)cosB?bcosC,求f()
的 取 值 范 围.





A
2

2

16．已知
?ABC
的角
A
,
B
,
C
所对的边分别为
a
,
b
,
c
,且
acosB?3bsinA?c
.
(Ⅰ)求角
A
的大小;
(Ⅱ)若
a?1
,
AB? AC?3
,求
b?c
的值.














17．在△
ABC
中，已知
3sin2B?1?cos2B
．
A?
?
4
，求△
ABC
的面积．




















3

B
的值；
BC?2
， （Ⅰ）求角 （Ⅱ）若

18.
在
?ABC
中,角
A，B，C
所对的边分 别为
a，b，c，
满
足:
ccosB?bcosC?
4acosA< br>.
(Ⅰ)求
cosA
的值;
(Ⅱ)若
AB?AC?b? c
,求
?ABC
的面积
S
的最小值.














???
???
19．已知
m?(2cosx?23si nx,1),n?(cosx,?y)
,满足
m?n?0
. [来源:om]
(1)将
y
表示为
x
的函数
f(x)
,并求
f( x)
的最小正周期;
(2)已知
a,b,c
分别为
?ABC
的三个内角
A,B,C
对应的边长,若
f(x)?f()
对所有
A
2
x?R
恒成立,且
a?2
,求
b?c
的取值范围
















4

（1）已知2sinαtanα＝3，则cosα的值是( )
A. －7
3
C.
4
解析：由已知得2sin
2
α＝3cosα，
∴2cos
2
α＋3cosα－2＝0，
(cosα＋2)(2cosα－1)＝0，又∵cosα∈[－1,1]，∴cosα≠－2，
1
∴cosα＝，选D.
2
答案：D
π
cos?＋α? sin?－π－α?
2
（2）已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为________ ．
11π9π
cos?－α?sin?＋α?
22
－sinα·sinα< br>解析：原式＝＝tanα.
－sinα·cosα
33
根据三角函数的定义，得tanα＝－，所以原式＝－.
44
3
答案：－
4
π
?
（3）已知sin(3π －α)＝－2sin
?
?
2
＋α
?
，则sinαcosα等 于( )
2
A. －
5
22
C. 或－
55
2
B.
5
1
D. －
5
1
B. －
2
1
D.
2
π
?
解析：因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin
?
?
2
＋α
?
，
所以sinα＝－2cosα，所以tanα＝－2，
sinαcosαtanα2
所以sinαcosα＝
2
＝－.
2
＝
2
5
sin
α＋cosα
tan
α＋1
π
?
π
（4）已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝对称，且f
?
?
12
?
＝0，则ω的
3
最小值是 ( )
A. 1
C. 3
B. 2
D. 4
ππ
?
2π
－
＝π，≤π，ω≥2，故选B. 解析：设函数的周期 为T，则T的最大值为4×
?
?
312
?
ω

5

（5）将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π
8
个单位后，得到一个偶函数的图象，
则φ的一个可能取值为( )
A.
3π
B.
π
44

C. 0 D. －
π
4

解析：解法一：将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴 向左平移
π
8
个单位后得到f(x)＝
sin
?
?
2x＋
π
4
＋φ
?
?
的图象，若f(x)＝sin
?
?
2x＋
π
4
＋φ
?
?
为偶函数，则必 有
π
4
＋φ＝kπ＋
π
2
，k∈Z，当k
＝0时， φ＝
π
4
.
解法二：将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移
π
8
个单位后得到f(x)＝sin
?
?
2x＋
π
4
＋φ
?
?
的图象，其对称轴所在的直线满足2x＋
π4
＋φ＝kπ＋
π
2
，k∈Z，又∵f(x)＝sin
?
?
2x＋
π
4
＋φ
?
?
为偶
函数，∴y 轴为其中一条对称轴，即
π
4
＋φ＝kπ＋
π
2
，k∈Z， 故当k＝0时，φ＝
π
4
.
答案：B
（6）
边长为的三角形的最大角与最小角的和是
A． B． C． D．
5
2
?8
2
?7
2
1
【答案】
B【解析】 边7对角为
?
cos
?
=
,则由余弦定理可知
2?5?8< br>=
2
,所以
?
=60
?
,
所以最大角与最小 角的和为
120
?
,选 B．
（7）
一等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么顶角的余弦值为
A．
5
18
B．
3
4
C．
3
D．
7
2
8

【答案】
D
【解析】设底边长为
x
,则两腰长为
2x
,则顶角的余弦值
cos
?
?
(2x)
2
?(2x)
2
?x
2
2?2x?2x< br>?
7
8
.
选 D．
（8）
在
?ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且
c?42，B?45
?
,面积S?2
,则
b
等
于
A．
113
2
B．5 C．
41
D．25

6

）
）
）
（
（
（

【答案】
B【解析】 因为
c?42，B?45
?
,又面积
S?
1
2
?a csinB?
1
2
?42?
2
2
a?2
,
解得
a?1
,由余弦定理知
b
2
?a
2
?c
2
?2accosB
,所以
b
2
?1?32?2?42?
2
2
?25
,
所以
b?5
,选 B
（9）5 ．
在
?ABC中，A,B,C
的对边分别为
a,b,c
,若
a cosC,bcosB,ccosA
成等差数列
则
B?

A．
?
B．
?
?
64
C．
?
3
D．
2
3

【答案】
C【解析 】因为
acosC,bcosB,ccosA
成等差数列,所以
acosC?cco? Asb2cB
,根据正弦定理可得
sinAcosC?sinCcosA?2sinBcosB
,即
sin(A?C)?2sinBcosB
,即
sinB?2sinBco sB
1
,所以
cosB?
2
,即
B?
?
3
,选 C．

（10）6 ．
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是
a
,
b
,
c
,若
b
2
?c
2
?2b?4c?5
且
a
2
?b
2
?c
2
?bc
,则△ABC的面积为
A．
3
B．
3
2
C．
2
2
D．
2

【答案】
B
11．
在
?ABC
中,角A,B,C新对的边 分别为a,b,c,若
acosB?bcosA?csinC
,
b
2
?c
2
?a
2
?3bc
,则角B=________.
?
由
b
2
?c
2
?a
2
?3bc
得
cosA?
b
2
?c
2
?a
2
【答案】
60
3bc3
2bc
?
2bc
?
2
,所以
A?30
?
.由正弦定理得
sinAcosB?sinBcosA?sinC sinC
,即
sin(A?B)?sinCsinC?sinC
,解得
sin C?1
,所以
C?90
?
,所以
B?60
?
.
12
已知三角形的一边长为4,所对角为60°,则另两边长之积的最大值等于.
【答案】
16
【解析】设另两边为
a,b
,则由余弦定理可知< br>4
2
?a
2
?b
2
?2abcos60
?< br>,即
16?a
2
?b
2
?ab
,又
16?a
2
?b
2
?ab?2ab?ab?ab
,所以
ab?16< br>,当且仅当

7

）
）
（
（

a?b?4
时取等号,所以最大值为16.
13
200 9年北京庆阅兵式上举行升旗仪式,如图,在坡度为15°的观礼台上,某一列座位与旗
杆在同一个垂直 于地面的平面上,在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别
为60°和30°,且第一排和最 后一排的距离为10
6
米,则旗杆的高度为______米.

【答案】
30
【解析】设旗杆的高度为
x
米,如图,可知
?ABC?180
?
?60
?
?15
0
?105
0
?CAB?30
?
?15
0
?45
?
,所
,
以
???
?ACB?180
?
?105?45?30
, 根据正弦定理可知
BCAB
?
sin45
?
sin30
?< br>x?203?
,即
BC?203
sin60
?
?
,所 以
xx
?
BC
203
,所以
3
?30
2< br>米.
14．
在
?ABC
中,
sinA,sinB,sin C
依次成等比数列,则B的取值范围是_____________
【答案】
(0,
?
3
]
【解析】因为
sinA ,sinB,sinC
依次成等比数列,所以
2
sinAsiCn?siBn
,即
ac?b
2
,所以
2
c
a
2
?
B?o
2a
c
2
?
s
c
?
b
2
2
?
a
2
a1?
?
c2
,
c2
a?
?
所
2a
c
以
c
2
a
a
2
?c
2
12ac11
?
?
cosB? ????
,所以
0?B?
,即
B
的取值范围是
(0,].
3
3
2ac22ac22
15.已知函数
f(x)?Ms in(
?
x?
?
)(M?0,|
?
|?
?
2
)
的部分图象如图所示.

(Ⅰ)
求 函 数
f(x)
的 解 析 式;

A、B、C
的 对
A别是
a、b、c
,若
(2a?c)cosB?bcosC,求f()
的 取 值 范 围.
2
(Ⅱ)在△中,角
ABC
边 分

8

【答案】
(本小题满分
13
分)
解:(Ⅰ)由图像知
M ?1
,
f(x)
的最小正周期
T?4(
将点
(
5< br>??
?)?
?
,故
?
?2

126?
?
?
,1)
代入
f(x)
的解析式得
sin (?
?
)?1
,又
|
?
|?

6
2
3
?
?
故
?
?
所以
f(x)?sin(2x?)

6
6
(Ⅱ)由
( 2a?c)cosB?bcosC
得
2sinA?sinC)cosB?sinBcosC
所以
2sinAcosB?sin(B?C)?sinA

因为
sinA?0
所以
cosB?
?
12
?

B?

A?C?

3
2
3
A
?
2
?
??
5
?
f()?sin(A?)

0?A?

?A??

26666
3
1A
?
?f()?sin(A?)?1

226

16．
已知
?ABC
的角
A
,< br>B
,
C
所对的边分别为
a
,
b
,
c
,
且
acosB?3bsinA?c
.
(Ⅰ)求角
A
的大小;
(Ⅱ)若
a?1
,
AB? AC?3
,求
b?c
的值.

【答案】
解:(Ⅰ)由题< br>sinAcosB?3sinBsinA?sin(A?B)
,
可得
3si nBsinA?cosAsinB
,所以
tanA?
(Ⅱ)由
AB?AC?3
得
cbcos
又
?
3
,即
A?

6
3
?
6
?3
,即
cb?23
··· ① ·······9分
,从而
a?1
1?b
2
?c
2
?2bccos
?
6
,··· ··② ············12分

9

由①②可得(b?c)
2
?7?43
,所以
b?c?2?3

．
在△
ABC
中，已知
3sin2B?1?cos2B
．
（Ⅰ）求角
B
的值；
（Ⅱ）若
BC?2
，
A?
?
4
，求△
ABC
的面积．
【答案】
（Ⅰ）解法一：因为
3sin2B?1?cos2B
，
所以
23sinBcosB?2sin
2
B
．
因为
0?B??
， 所以
sinB?0
，
从而
tanB?3
，
所以
B?
π
3
．
解法二： 依题意得
3sin2B?cos2B?1
，
所以
2sin(2B?
?
6
)?1
，
即
sin(2B?
?1
6
)?
2
．
因为
0?B??
， 所以
?
6
?2B?
?13?
6
?
6
，
所以
2B?
?
6
?
5?
6
．
所以
B?
π
3
．
（Ⅱ）解法一：因为
A?
?
π
4
，
B?
3
，
根据正弦定理得
AC
sinB
?
BC
sinA
，
所以
AC?
BC?sinB
sinA
?6
．
因为
C???A?B?
5?
12
，
所以
sinC?sin
5?
12
?sin(
?
4
?
?
6
)?
6?2
4
，
所以 △
ABC
的面积
S?
1
2
AC?BCsinC?
3 ?3
2
．
10

………………3分
………………5分
………………6分
………………3分
………………5分
………………6分
………………7分
………………8分
………………9分
11分
………………13分

17








………………

?
π
，
B?
，
43
ACBC
?
根据正弦定理得 ， ………………7分
sinBsinA
BC?sinB
?6
． ………………8分 所以
AC?
sinA
解法二：因为
A?
根据余弦定理得
AC?AB?BC?2AB?BC?cosB
， ………………9分
化简为
AB?2AB?2?0
，解得
AB?1?3
． ………………11分
所以 △
ABC
的面积
S?
18．
在
2
222
13?3．


………………13分
AB? BCsinB?
22
A，B，C
所对的边分别为
a，b，c，
满?ABC
中,角
足:
ccosB?bcosC?
4acosA
.
(Ⅰ)求
cosA
的值;
(Ⅱ)若
AB?AC?b?c
,求
?ABC
的面积
S
的最小值.

【答案】
解:(Ⅰ) 由题意得:
sinCcosB?sinBcosC?4sinAcosA

sin(B?C)?4sinAcosA

sinA?4sinAcosA

?sinA?0

?cosA?
(Ⅱ) 因为
AB?AC?bccosA?
所以
1
┈┈6分
4
1
bc

4
1
bc?b?c?2bc

4
bc?64
,又
sinA?
15

4
1115
S?bcsinA??64??815

224
当且仅当
b?c
时,
S
min
?815
┈┈┈┈┈┈┈┈ ┈┈┈┈

???
???
19．
已知
m?(2cos x?23sinx,1),n?(cosx,?y)
,满足
m?n?0
. [来源:]
(1)将
y
表示为
x
的函数
f(x)
,并求
f(x)
的最小正周期;
(2)已知
a,b,c
分别为
?ABC
的三个内角
A,B,C
对应的边长,若
f(x)?f()
对所有
A
2
11

x?R
恒成立,且
a?2
,求
b?c
的取值范围

【答案】





12