(完整)人教版高中数学必修五解三角形单元检测卷.doc

高中数学必修五解三角形单元测试题
5 分，共

50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是


一、选择题 ( 本大题共 10 个小题，每小题
符合题目要求的 )

1.
在△ ABC 中，角 A， B， C 的对应边分别为

a， b， c，若
a
2
C． 或

A．

B．

5
c
2
b
2


3ac
，则角

B

的值为（

D． 或
2
）











6


3


2.
在


ABC
中，若

cos A cos B sin

，则
ABC
是

(

2
C


6

6 3




3



）


2

A．等边三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形

D．直角三角形

60
0

，塔基的俯角为
45
0

，那么这座塔吊的高是 （
3.
在一幢 10 米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为
A
．
3
)
10(1
B．
10(1
C．
5(
6 3)

2 )
D．
2(
6 2 )




）
3

4.
在△ ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c. 若 acosA＝ bsinB，则 sinAcosA＋ cos2B＝ (

A．－
2

1
B

．
1
2
)





C

5.
在锐角



ABC
中，若
C
2B
，则

的范围（


c



．－ 1




D







． 1













）

b
B．



A．
2, 3 3,2

C．

0,2
D．
2, 2




6.
在△ ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为
a， b， c，若
a
）

为 (


2
，b=2， sinB+cosB=
2



，则角 A 的大小



A．

B．



C．


D．


2
A．

3
B．

4









6









7.
如图，在△ ABC 中， D 是边 AC 上的点，且
AB＝ AD
,
2AB＝
3BD ， BC＝ 2BD ，则 sinC 的值为 (


3





3
)






































3 6

C．
6
3

D．
6
6

8.
在
ABC
中，已知

B


A.


2
B .



60
0

且
b
3
4
3
，则
ABC
外接圆的面积是（



）



C.








D.




2

9.
在△ ABC 中，角 A， B， C 所对的边长分别为

A． a>b


a， b， c.若∠ C＝ 120 °， c＝ 2a，则 (
B． a< b

D． a 与 b 的大小关系不能确定

)














C． a＝ b

10. 若△
ABC
的三个内角满足
sin A :sin B :sin C
5:11:13
，则△
ABC
(
）

A．一定是锐角三角形

B

．一定是直角三角形

C．一定是钝角三角形

D

．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
二、填空题 ( 本大题共 5 个小题，每小题
5
分，共 25
分，把正确答案填在题中横线上
)

11. 满足条件 AB=2， AC=
2
BC 的三角形

12. 在锐角△ ABC 中， BC=1, B=2A, 则

AC
ABC 的面积的最大值是

．

的值等于 _______ ， AC 的取值范围为 _______.


cosA

13. 在△ ABC 中，已知 BC=4, AC=3, 且 cos( A- B)=




17






, 则 cosC=_______.



18

1

14. 已知△ ABC 的面积是 30 ，内角 A，B，C 所对边分别为

a，b，c，cosA=
12
, 若 c- b=1, 则 a 的值是 _______.
15. 在△ ABC 中，已知 ( b＋ c) ∶ ( c＋ a) ∶ ( a＋ b) ＝ 4∶ 5∶ 6，给出下列结论：

①由已知条件，这个三角形被唯一确定；②△
ABC 一定是钝角三角形；

③ sinA∶ sinB∶ sinC＝ 7∶ 5∶ 3；④若 b＋ c＝ 8，则△ ABC 的面积是

13
15

3
.



2

其中正确结论的序号是
______.

三、解答题 ( 本大题共 6 个小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
)
16. 甲船在 A 处、乙船在甲船正南方向距甲船 20 海里的 B 处，乙船以每小时 10 海里的速度向正北方向行
8 海里的速度由 A 处向南偏西 60
o
方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船
驶，而甲船同时以每小时
相距最近？






































17.

在△ ABC 中，角 A、 B 、 C 的对边是 a、 b、 c，已知

(1) 求 cosA 的值；
2 3
(2) 若 a＝ 1， cosB＋ cosC＝
3
，求边 c 的值．





































3acosA＝ ccosB ＋ bcosC
2

3π
5
18. 在△ ABC 中，角 A， B ， C 所对的边分别为
a， b， c，且 C＝
4
， sin A＝
5
．
(1)
求 sinB 的值；


(2)
若 c－ a＝ 5－ 10，求△ ABC 的面积．




























19. 已知△ ABC 的角 A, B, C 所对的边分别为 a，

(1) 求角 A 的大小；
(2) 若 a＝ 1，求△ ABC 的周长 l 的取值范围 .






























































b， c，且 acosC＋
1
c＝ b.
2
3

20. 如图，在
ABC
中，点
D
在
BC
边上，
AD
33
，
sin BAD
5
，
cos ADC
3
．
(1 ）求
sin ABD

的值；

(2 ）求

BD
的长．



































21. 在△ ABC 中，角 A, B, C 的对边分别是
a， b， c，已知
(1 ）求
cos A
的值；

(2 ）若
a 1,cosB cosC
3
，求边

c 的值 .


2





















































2a cosA c cosB b cosC.
4
13



5

解三角形单元综合测试
2

一、选择题 ( 本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的 )

1.
在△ ABC中，角 A， B， C的对应边分别为
a， b， c，若
a


A．



B．

C． 或

5
6


c
2
b
2






3ac
，则角

B

的值为（
D． 或
2
）








6

3


6

3




3






【答案】 A

2.
在
ABC
中，若

cos A cos B




sin
，则
ABC
是

(
2


2
C

）





A．等边三角形
【答案】 D

B．等腰三角形 C．锐角三角形

D．直角三角形
00
60
，塔基的俯角为
45
，那么这座塔吊的高是 （
10 米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为
3.
在一幢
A
．
3
)
10(1
B．
10(13)
C．
5(
6
D．
2(
62 ) 2 )



）
【答案】 B

在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别
a
，
b
，
c
.

若
a
cos
A
＝
b
sin
B
，则

sin
A
cos
A
＋

cos2
B
＝

(
4.
为
1

1


3






















)







A．－
2
B

．
2

C

，则 的范围（
．－ 1





D









． 1








【答案】 D

5.
在锐角




ABC
中，若
C 2B

c

）

b
B．

A．
2, 3

3,2

C．

0,2

D．

2, 2


【答案】 D

6.
在△ ABC中，角 A， B， C所对的边分别为
a
，

b，

c，若

a

为 (

）




2



， b=2， sinB+cosB=





2
，则角

A

的大小



A．


B．

C．




D．
2

3

4

6

【答案】 D
7. 如图，在△
ABC
中，
D
是边
AC
上的点，且
AB
＝
AD,
2
AB
＝

3
BD
，
BC
＝

2
BD
，

则 sin
C
的值为 (
3

A．
3
6
C．
3
【答案】 D




)


















3
B．
6

D．
6







6
8. 在
ABC
中，已知
B
A B

60
0
且
b
3


3
，则
ABC
外接圆的面积是（
C




）


D


2
2
【答案】 C


4



9.在△ ABC 中，角 A， B， C 所对的边长分别为
A．
a
>
b

C．
a
＝
b


a， b， c.若∠ C＝ 120 °， c＝ 2a，则 ()
B．
a
<
b

D．
a
与
b
的大小关系不能确定

5

【答案】 A
10.

若△
ABC
的三个内角满足
sin A :sin B :sin C 5:11:13
，则△
ABC
(
）
A．一定是锐角三角形

B．一定是直角三角形

C．一定是钝角三角形

D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形


【答案】 C

二、填空题 ( 本大题共 5
个小题，每小题
5 分，共 25 分，把正确答案填在题中横线上
．
2 2


11.
满足条件 AB=2， AC=
2
BC

的三角形
ABC的面积的最大值是

12.
在锐角△ ABC中， BC=1,B=2A, 则

)
AC
的值等于 __2 _____
， AC 的取值范围为 _______.(
2, 3
)

1



cosA

13.
在△ ABC中，已知 BC=4,AC=3,且 cos(A-B)=

17
, 则 cosC=_______.

18

14.
已知△ ABC的面积是
30，内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，cosA=

12
6

, 若 c-b=1, 则 a 的值是 __5_____.

13

15. 在△ ABC中，已知 (b ＋ c) ∶ (c ＋ a) ∶ (a ＋ b) ＝ 4∶ 5∶ 6，给出下列结论：

①由已知条件，这个三角形被唯一确定；②△

ABC一定是钝角三角形；

③ sinA ∶ sinB ∶ sinC ＝ 7∶ 5∶ 3；④若 b＋ c＝ 8，则△ ABC的面积是

15 3
2

.

其中正确结论的序号是
___ ②③ ____.

三、解答题 ( 本大题共 6 个小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
)

16. 甲船在 A 处、乙船在甲船正南方向距甲船 20 海里的 B 处，乙船以每小时 10 海里的速度向正北方向行
8 海里的速度由 A 处向南偏西 60o 方向行驶， 问经过多少小时后，
甲、乙两船 驶，而甲船同时以每小时
相距最近？

【答案】
设经过 x小时后 ,甲船和乙船分别到达

C , D 两点







则 AC
8x, AD
CD
2
(8x)

AB BD
2

20 10 x

(20 10x)
















AC
2
AD
2
2 AC AD cos 60
2 8x
2

(20 10x)

1
2



70
)
2
4800

61 61

当 CD
2
取得最小值时 , CD 取得最小值 .
244 x
2
560x 400 244(x

当 x


70
时
, CD

取得最小值

,
61
答：此时 , 甲、乙两船相距最近

17.

在△
ABC
中，角
A
、
B
、
C
的对边是
a
、
b
、
c
，已知

3
a
cos
A
＝
c
cos
B
＋
b
cos
C

(1) 求 cos
A
的值；

2 3
(2) 若
a
＝

1，

cos
B
＋

cos
C
＝

3

，求边
c
的值．




【答案】 (1) 由余弦定理
b
2
＝
a
2
＋
c
2
－

2
ac
cos
B
，
2
2
＝
2
＋
－ 2
cos

c a b ab C







1



有
c
cos
B
＋
b
cos
C
＝
a
，代入已知条件得
3
a
cos
A
＝
a
，即 cos
A
＝
3

1
2 2 1 2 2


cos ＋
＝
(2) 由 cos ＝ 得 sin , 则 cos ＝－ cos( ＋ ) ＝－ sin ，
A
3
A
3
B A C C
3
C
3


6

2 3
代入 cos
B
＋ cos
C
＝

3

得 cos
C
＋

2sin
C
＝ 3，从而得 sin(
C
＋
φ
) ＝ 1，

3

其中 sin
φ
＝
3
， cos
φ
＝
3


6

π

3π

π

6

5
a
sin
C

3
(0<
φ
<
2
) 则
C
＋
φ
＝
2
，于是 sin
C
＝
3
，由正弦定理得

c
＝

sin

A
＝

2

．
18. 在△
ABC
中，角

A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，且
C
＝

4

，

sin
A
＝

5

．

(1) 求 sin
B
的值；

(2) 若
c
－
a
＝

5－

10，求△
ABC
的面积．


3π

5

2
2 5
510

π
【答案】 (1) 因为
C
＝
4
， sin
A
＝
5
，所以 cos
A
＝ 1－ sin

A
＝
5
π π

π

2 2 5 2

所以 sin
B
＝ sin
C
，由已知得
B
＝

4

－
A
.


(2) 由 (1) 知 ＝

4

－
A
＝

sin
4
cos
A
－ cos
4
sin
A
＝
2
×
5
3
π
2
，所以 sin

－
2
×
5
＝
10
．



4
a
sin
A
C

＝


且 sin ＝
10
．
B

2 10





10







由正弦定理得
c
＝
sin

C
＝
1 1

所以
S
＝

2
ac
sin
B
＝

2
×

10

×

5×
5

．又因为
c
－
a
＝

5－

10
＝
10 5
2
．
10 ，所以
c
＝5，
a
＝ 10．








△ ABC

19. 已知△ ABC的角 A,B,C 所对的边分别为

a， b， c ，且 acosC＋ c＝ b.

1


2

(1) 求角 A 的大小；
(2) 若 a＝ 1，求△ ABC的周长
l
的取值范围 .
【答案】 (1) 由 acosC＋
c＝ b 和正弦定理得，
1
sinAcosC ＋ sinC ＝ sinB ，又 sinB ＝ sin(A ＋ C)＝ sinAcosC ＋ cosAsinC ，∴ sinC ＝ cosAsinC ，
1
2
1
2

∵ sinC ≠ 0，∴ cosA＝
，∵ 0＜ A＜π，∴ A＝
(2) 由正弦定理得， b＝


1
2
.
asinB
sinA
(sinB
2


＝

sinB
， c＝
2
3

asinC
则
l
＝

a＋

b＋

c＝

1＋


2
3

＋ sinC) ＝ 1＋

2
sinA
＝

sinC ，
3










2
［ sinB ＋ sin(A ＋ B) ］




＝ 1＋ 2(

3
2
sinB ＋ cosB) ＝ 1＋ 2sin(B
＋
1
3

3

).

2

3

∵ A＝
，∴ B∈ (0 ，
2

6
，
) ，∴ B＋ ∈ (

5
6



) ，∴ sin(B
＋
) ∈ (
， 1］，




1
3

20. 如图，在

6 6

6

2
5
13
，
∴△ ABC的周长
l
的取值范围为
(2,3
］ .

ABC
中，点
D
在
BC
边上，
AD 33
，

sin

BAD

3
5
．
cos ADC





(1 ）求
sin ABD
的值；
(2 ）求
BD
的长．
7

【答案】（ 1）因为
cos

ADC



3
5
，








所以








4
．
5

因为
sin
BAD
1 sin
2
5
，所以
cos
BAD

13

因为
ABD

ADC

BAD
，


sin
ADC
2
cos
1

ADC
BAD

12
．
13

所以
sin

ABD sin ADC

BAD

33
sin ADC cos BAD cos ADC sin

BAD
4 12 3 5


．



65

BD
(2 ）在△
ABD
中，由正弦定理，得

sin BAD


5 13 5

13







AD
，

sin ABD








所以
BD


AD

sin

sin ABD



33
BAD




5

13

25
．

33

65








21. 在△ ABC中，角 A,B,C
的对边分别是
(1 ）求
cos A
的值；

(2 ）若
a 1,cosB

a， b， c，已知
2acosA




c cosB b cosC.








cosC

3
，求边 c 的值 .
2

【答案】（ 1）由
2a cosA




c cosB
b cosC
及正弦定理得

2sin A cos A sin C cos B
sin B cosC,
即

2 sin Acos A sin B
C .
C

又
B
A,
所以有

2sin A cos A
sin






A ,
即
2 sin Acos A
sin A.


而
sin A

0
，所以

cos A
1
.


2

(2 ）由
cos A

1
及 0＜A＜ ，得 A＝
.
因此
B
C
2

3

cosC

A

2
.
3




由
cos B

3
,
得

cosB cos

2

B
即
cos B

1

2
cos B

3
3

3
，即得
sin B
2

3
,

2

3
.
6
6


sin B




2 2

由
A

,
知
B

3

6

，或
B.


,


5

2
2
.
3
.
于是
B








6
6



,
或
B
6
3












所以
B

6
6

2

若
B
,
则
C

若
B






,

.
在直角△

ABC中，
sin
2

3

在直角△ ABC中，
tan

1
，解得
c
1
c

2
3
;
3



,
解得
c


3
.
3


2

3 c

8