高中数学 第二章 解三角形复习课 北师大版必修5

复习课 解三角形

课时目标 1.掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能解 决一些简单的三角形度量问题.2.
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计 算有关的实际问
题．



一、选择题
1．在△ABC中，A＝60°，a＝43，b＝42，则B等于( )
A
．45°或135°
B
．135°
C
．45°
D
．以上答案都不对
2．在△ABC中，已知
cos
A
cos
B>
sin
A
sin
B，则△ABC是( )
A
．锐角三角形
B
．直角三角形
C
．钝角三角形
D
．等腰三角形
3．已知△ABC中，
sin
A∶
sin
B∶
sin
C＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是( )
A
．(2，＋∞)
B
．(－∞，0)
?
1
??
1
?
C.
?
－，0
?

D
.
?
，＋∞
?

?
2
??2
?
4.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a
km< br>，灯塔A在观察
站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距 离为( )

A
．a
km

B
.3a
km

C
.2a
km

D
．2a
km

5．在△ABC中，A＝60°，AC＝16，面积为2203，那么BC的长度为( )
A
．25
B
．51
C
．493
D
．49
22
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a－b＝3bc，
sin
C＝23
sin


1

B，则A等于( )
A
．30°
B
．60°
C
．120°
D
．150°

二、填空题
7．三角形两条边长分别为3
cm,
5
cm
，其夹角的余弦值是方程5x
2
－7x－6 ＝0的根，则
2
此三角形的面积是________
cm
.
a8．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S
△ABC
＝3，则＝___________ ___.
sin
A
9．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有 两解，则x的取值范围是
______________．
10．一艘船以20
km

h
的速度向正北航行，船在A处看见灯塔B在船的东北方向，1
h
后船在C处看见灯塔B在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC等
____ __
km
.

三、解答题
11．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且
sin
A＝2
sin
B
cos
C，试确定△ABC
的形状．







12．在△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角．
(1)求最大角的余弦值；
(2)求以此最大角为内角，夹此角的两边之和为4的平行四边形的最大面积．










能力提升 < br>1
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
cos
2C＝－.
4
(1)求
sin
C的值；
(2)当a＝2,2
sin
A＝
sin
C时，求b及c的长．









2

14．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠ BDA＝60°，∠BCD
＝135°，求BC的长．

















1．在解三角形时，常常将正弦定理、余弦定理结合在一起用，要注意 恰当的选取定理，
简化运算过程．
2．应用正、余弦定理解应用题时，要注意先画出平面几何 图形或立体图形，再转化为
解三角形问题求解，即先建立数学模型，再求解．


复习课 解三角形
答案

作业设计
sin
A2
1．
C
[
sin
B＝b·＝，且ba2
2．
C
[
cos
A
cos
B>
sin
A
sin
B?
cos
(A＋B)>0，∴A＋B<90°，∴C>90°，C为钝角．]
3．
D
[由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk(m>0)，
?
?
a＋b>c
∵
?
?
?
a＋c>b
?
?
m2k＋1>2mk
即
?
?
?
3mk>mk＋1

1
，∴k>.]
2
22
4．
B
[利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120 °，在△ABC中，由余弦定理得AB＝AC
?
1
?
2222
＋BC －2AC·BC
cos
120°＝2a－2a×
?
－
?
＝3a，∴AB＝3a.]
?
2
?
113
22
5．
D
[S
△ABC
＝AC·AB·
sin
60°＝×16×AB×＝2203， ∴AB＝55.∴BC＝AB＋
222
1
222
AC－2AB·AC
cos
60°＝55＋16－2×16×55×＝2 401.∴BC＝49.]
2
6．
A
[由
sin
C＝23
sin
B，根据正弦定理，得

2222222
c＝23b，把它代入a－b＝3bc得a －b＝6b，即a＝7b.由余弦定理，得
cos
A＝

3

b
2
＋c
2
－a
2
b
2
＋12 b
2
－7b
2
6b
2
3
2bc
＝
2b·23b
＝
43b
2
＝
2
.又∵0°7．6
解析 由5x
2
－7x－6＝0，解得x
3
1
＝－
5
，x
2
＝2.
∵x
2
＝2>1，不合题意．
∴设夹角为θ，则
cos
θ＝－
3
5
，得
sin
θ＝
4
5
，∴S ＝
14
2
2
×3×5×
5
＝6 (
cm
)．
8.
239
3
.
解析 由S＝
11
2
bc
sin
A＝
2
×1×c×
3
2
＝3，
∴c＝4.
∴a＝b
2
＋c
2
－2bc
cos
A＝1
2
＋4
2
－2×1×4
cos
60°＝13.
∴
a
sin
A
＝
13
sin
60°
＝
239
3
.
9．2解析 因为三角形有两解，所以a
sin
B2
2
x<210．202

解析 如图所示，
BCAC
sin
45°
＝
sin
30°

∴BC＝
AC
sin
30°
×
sin
45°＝
20
1
×
2
2
＝202 (
km
)．
2
11．解 由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
得b
2
＋2bc＋c
2
－a
2
＝3bc，
即a
2
＝b
2
＋c
2
－bc，
222
∴
cos
A＝
b＋c－a
2bc
＝
bc1
2bc
＝
2
，
∴A＝
π
3
.
222222
又
sin
A＝2
sin
B
cos
C．∴a＝2b·
a＋b－ca＋b－c
2ab
＝
a
，
∴b
2
＝c
2
，b＝c，∴△ABC为等边三角形．
12．解 (1)设这三个数为n，n＋1，n＋2，最大角为θ，
则
cos
θ＝
n
2
＋n＋1
2
－n＋2
2
2·n·n＋1
<0，
化简得：n
2
－2n－3<0?－1∵n∈N
＋
且
n
＋(
n
＋1)>
n
＋2，∴
n
＝2 .
4

4＋9－161
∴cos
θ
＝＝－.
2×2×34
(2)设此平行四边形的一边长为
a，则夹
θ
角的另一边长为4－
a
，
平行四边形的面积为：
1515
22
S
＝
a
(4－
a
)·sin
θ
＝(4
a
－
a
)＝[－(
a
－2)＋4 ]≤15.
44
当且仅当
a
＝2时，
S
max
＝15.
110
2
13．解 (1)∵cos 2
C
＝1－2sin
C
＝－，0<
C
<π，∴sin
C
＝.
44
(2)当
a
＝2,2sin
A
＝sin
C
时，由正弦定理＝，得
c
＝4.
sin
A
sin
C
1
2
由cos 2
C
＝2cos
C
－1＝－及0<
C
<π，
4
6
.
4
222
由余弦定理
c
＝
a
＋
b
－2
ab
cos
C
，
2
得
b
±6
b
－12＝0(
b
>0)，
解得
b
＝6或26，
得cos
C
＝±
∴
?
ac
?
b
＝6，
?
c
＝4

或
?
?
b
＝26，
?
c
＝4.


222
14．解 设
BD
＝
x
，在△
A BD
中，由余弦定理有
AB
＝
AD
＋
BD
－2AD
·
BD
·cos∠
ADB
，
2222
即14＝
x
＋10－20
x
cos 60°，∴< br>x
－10
x
－96＝0，∴
x
＝16(
x
＝ －6舍去)，即
BD
＝16.
在△
BCD
中，由正弦定理＝，
sin∠
CDB
sin∠
BCD
BCBD
16sin 30°
∴
BC
＝＝82.
sin 135°


5