数学-高中必修五-解三角形-2019经典题目

解三角形
1.1正弦定理和余弦定理
1.1.1正弦定理

【典型题剖析】
考察点1：利用正弦定理解三角形
例1
在
V
ABC中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.
【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正
弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。
QA:B:C?1:2:3,而A?B?C ?
?
.
解：
?A?
?
6
,B?
?
3
,C?
?
2
,

?a:b:?sinA:sinB:si nC?sin
?
6
:sin
?
3
:sin
?
2
?
13
::1?1:3:2.
22
【解题策略】要牢记正弦定理 极其变形形式，要做到灵活应用。
例2在ABC中，已知c=
2
+
6
，C=30°，求a+b的取值范围。
【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b表示为某个角的三角函数，然后再求解。
解：∵C=30°，c=2
+
6
，∴由正弦定理得：
abc2?6
???,

sinAsinBsinCsin30?
∴ a=2(
2
+
6
)sinA,b=2(
2
+
6
)sinB=2(
2
+6
)sin（150°-A）.
∴a+b=2(
2
+
6
)[sinA+sin(150°-A)]= 2(
2
+
6
)·2sin75°·cos(75°-A)=
?
2?6
cos(75°-A)
?
2
① 当75°-A =0°，即A=75°时，a+b取得最大值
?
2?6
=8+4
3
；
?
2
② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A＜150°，∴0°＜A＜150°,
∴-75°＜75°-A＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1，
∴＞
?
2?6
cos75°=
?
2
?
2 ?6
×
?
2
6?2
=
2
+
6
.
4
综合①②可得a+b的取值范围为(
2
+
6
,8+43
>
考察点2：利用正弦定理判断三角形形状
例3
在△ABC中，
a
·tanB=
b
·tanA，判断三角形ABC的形状。
22< /p>

【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC的形状。
解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB得：
?
2RsinA?
2
?
sinBsinA
2
,
?
?
2RsinB
?
?
cosBcosA
?sinAcosA?sinBcosB ,

即
sin2A?sin2B
，
?2A?2B或2A?2B??
，
?A?B或A?B?
?
2
.
∴
VABC
为等腰三角形或直角三角形。
【解题策略】“在△ABC中，由
sin2A?sin2B
得∠A=∠B”是常犯的错误，应认真体会上述
解答过程中“ ∠A=∠B或∠A+∠B=
例4
在△ABC中，如果
lga?lgc?lgsinB ??lg2
，并且B为锐角，试判断此三角形的形状。
【点拨】通过正弦定理把边的形式转化 为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断△ABC的
形状。
解：
QlgsinB??lg2,?sinB?
又∵B为锐角，∴B=45°.
由
lga?lgc??lg2,得
?
”的导出过程。
2
2
.
2
c2
?.

a2
由正弦定理，得
sinA2
?
,
sinC2
∵
A?180??45??C,
代入上式得：
2sinC?2sin
?
135??C
?

?2
?
sin135?cosC?cos135?sinC
?

?2cosC?2sinC,

?cosC?0,?C?90?,?A?45?.

?VABC为等腰直角三角形。

考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式
例5
a
2
?b
2
b
2
?c
2< br>c
2
?a
2
???0
. 在△ABC中，求证
cos A?cosBcosB?cosCcosC?cosA

【点拨】观察等式的特点，有边有 角要把边角统一，为此利用正弦定理将
a，b，c
转化
为
sinA,sinB ,sinC
.
证明：由正弦定理的变式
a?2RsinA,b?2RsinB
得：
222
222
a
2
?b
2
4R
2
sin
2
A?4R
2
sin
2
B
=

cosA? cosBcosA?cosB
4R
2
（[1-cos
2
A）-(1- cos
2
B)]
?

cosA?cosB
(cos
2
B?cos
2
A)
??4R
2
(cosB?cosA)< br>
cosA?cosB
b
2
?c
2
?4R
2
(cosC?cosB),
cosB?cosC
同理
22
c?a< br>?4R
2
(cosA?cosC).
cosC?cosA
?左边=4R
2
(cosB?cosA?cosC?cosB?cosA?cosC)
?0?右边< br>?等式成立。
【解题策略】在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化 ，然后
利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化与化归思想的应用。
例6
在△ ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，C=2B，求证
c?b?ab
.
【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用.
证明：
QA?B?C?180?,?B?C?180??A.

22

又QC?2B,?C?B?B.

Qsin(B?C)?sin(180??A)?sinA,

?c
2
?b
2
?4R
2
(sin
2
C?sin
2
B)
?4R
2
(sinC?sinB)(sinC?sinB)
B?CC? BB?CC?B
?cos?2cos?sin

2222
?4R
2< br>sin(C?B)sin(C?B)?4R
2
sinAsinB?ab?右边.
?4R
2
?2sin
?等式成立.
【解题策略】有关三角形的证明题中，要充 分利用三角形本身所具有的性质。

（1） A?B?C?
?
,A?B ?
?
?C,
2B?2
?
?2C.
A?B
?
C
??,2A?

222
(2)sin(A?B)?sinC,cos(A? B)??cosC,tan(A?B)

??tanC.
(3)sin
cot
C
.
2
A?BCA?BCA?B
?cos,cos?sin,tan ?
22222

(4)sin(2A?2B)??sin2C,cos(2A?2B)?cos2C,

tan(2A?2B)??tan2C.
考察点4：求三角形的面积
例7
在△ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，若
a?2,C?
的面积S.
【点拨】先利用三角公式求出sinB,sinA 及边c，再求面积。
解：由题意
cos
?
4
,cos
B25
?
,求△ABC
25< br>B25
3
2
B
?
，得
cosB?2cos?1?,< br>
25
25
43
?
72
,sinA?sin(
?
?B?C)?sin(?B)?,

5410
∴B为锐角，
?s inB?
由正弦定理得
c?
10
,

7
111048
?S?acsinB??2???.

22757< br>【解题策略】在△ABC中，以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到，要记准、记熟，
并能 灵活应用，
A?B?C?
?
,sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??c osC;sin

cos
例8
已知△ABC中a,b,c分别是三个内角A ,B,C的对边，△ABC的外接圆半径为12，且
C?
求△ABC的面积S的最大值。
【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用。
解：
S
VABC
?
A?B
?

2
CA?BC
,cos?sin.

222
?
3< br>,
11
absinC?g2RsinAg2RsinBgsinC

2 2

?3R
2
sinAsinB?
3
2
R[c os(A?B)?cos(A?B)]

2
?
3
2
1
R[cos(A?B)?].

22
当cos(A?B)?1,即A?B时，

(S
VABC
)
max
?
33
2
33
R?g144?1083.

44
【解题策略】把三角形的面积公式和正弦定理相结合，通过讨论三角函数值的取值，求 得面
积的最大值。
考察点5：与正弦定理有关的综合问题
例9
已知△A BC的内角A,B极其对边a,b满足
a?b?acotA?bcotB,
求内角C
【点拨】本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识，考察运算能力、
分析能力和转 化能力。
解法1：
Qa?b?acotA?bcotB,且
ab
， ??2R
（R为△ABC的外接圆半径）
sinAsinB
?sinA?cosA ?cosB?sinB,?1?sin2A?1?cos2B.

?cos2A?cos2B?0

又Qsin2A?sin2B?2cos(A?B)sin(A?B).

?cos( A?B)sin(A?B)?0,
?cos(A?B)?0或sin(A?B)?0.
又∵A, B为三角形的内角，
?A?B?
?
2
或A?B,

当A?B?
?
2
时，C?
?
2

；
当
A?B
时，由已知得
cotA?1,?A?B?
综上可知，内角
C?
?
4
,?C?
?
2
.

?
2
.
解法2：
由
a?b?acotA?bcotB
及正弦定理得，
sinA?sinB=cosA?cosB
，
sinA?cosA?cosB?sinB
，
从而
sinAcos
?
4
?cosAsin
?
4
?cosBsin
?
4
?sinBcos
?
4
,

即
sin(A?
?
)?sin(?B).

44
?
又∵0＜A+B＜π，
?A?
?
4
?
?4
?B,

?A?B?
?
2
,?C?
?
2
.

【解题策略】切化弦、边化角是三角关系化简的常用方法，熟练运用三角恒等变换公式是解
题的关键。
例10
在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c,且c=10,
cos Ab4
??
，求a,b及△ABC的内
cosBa3
切圆半径。
【点拨】欲求边，应将已知条件中的边角统一，先求角再求边。
解：
由
cosAbcosAsinB
?,可得=,

cos BacosBsinA
变形为
sinAcosA?sinBcosB,?sin2A?sin2 B

又
Qa?b,?2A?
?
?2B,?A?B?
∴△AB C是直角三角形。
?
2
,

?
a
2
?b
2
?10
2
?
由
?
b4
解得
a? 6,b?8.

?
a
?
3,
?
?VABC的内切圆 半径为r=
a?b?c6?8?10
??2

22
【解题策略】解此类问题应注意定理与条件的综合应用。
『高考真题评析』 < br>例1（广东高考）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若
a?1,b ?3,A?C?2B,
则
sinC?_______

【命题立意】本题主要 考察正弦定理和三角形中大边对大角的性质，解题的关键是确定角C
的值。
【点拨】在△AB C中，
A?B?C?
?
,
又
A?C?2B
，故
B?
?
3
，由正弦定理知
sinA?
asinB1
B
?
?,
又a＜b，因此
A?
从而可知
C?
，即
sin C?1
。故填1.
62
b2
2
?
,

3
【名师点评】解三角形相关问题时，应灵活掌握边角关系，实现边角互化。
例2（ 北京高考）如图1-9所示，在△ABC中，若
b?1,c?3,C?
则
a?____ _____.

【命题立意】本题考查利用正弦定理解决三角形问题，同时要注意利用正弦定理 得到的两解
如何取舍。

【点拨】由正弦定理得，
311
?,?sinB?.

2
?
sinB2
sin
3
∵C为钝角，∴B必为锐角，
?B?
?
6
?A?
?
6
.?a?b?1.

故填1
【名师点评】
在
?
0,
?
?
范 围内，正弦值等于
忽略角的范围而出现增解

例3（湖北高考）在△ABC中，a?15,b?10,A?60?,
则
cosB
等于（ ）
1的角有两个，因为角C为钝角，所以角B必为锐角，防止
2
A.?
226
226

B.

C.?

D.

33
33
【命题立意】本题考查正弦定理及同角三角函数基本 关系式，解题的关键是确定角B的范
围。
【点拨】由正弦定理得
151010gsi n60?
?,?sinB??
sin60?sinB15
2
10?
3
2
?
3
.
∵
a
＞
b
，
1 53
?
3
?
6
2
，故选D
?
A?60?
，∴B为锐角。
?cosB?1?sinB?1?
??
?
3
?
3
??
【名师点评】根据三角形性质大边对大角准确判断角B的范围，从而确定角B 的余弦值。
例4
（天津高考）在△ABC中，
（1）求证
B?C
；
（2）若
cosA??
ACcosB
?.

ABcosC< br>?
?
1
?
，求
sin
?
4B?
?< br>的值。
3
?
3
?
【命题立意】本题主要考察正弦定理、两角 和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系、
二倍角的正弦与余弦等基础知识，同时考察基本运算能力 。
证明：（1）在△ABC中，由正弦定理及已知，得
sinBcosB
?
。
sinCcosC
于是
sinBcosC?cosBsinC?0,
即
sin
?
B?C
?
?0.

因为
?
?
＜B-C＜
?
，从而B-C=0，所以B=C .
解：（2）由
A?B?C?
?
和（1）得
A?
?
? 2B
，故
cos2B??cos
?
?
?2B
?
?? cosA?
1

3

又0＜2B＜
?
，于是< br>sin2B?1?cos2B?
2
22.42
从而
sin4B?2si n2Bcos2B?
，
39
7
?
?
?
42?73
?
cos4B?cos
2
2B?sin
2
2B??
。所以
sin
?
4B?
?
?sin4Bcos?.

9
3
?
318
?
【名师点评】（1）证角相等，故由正弦定理化边 为角。（2）在（1）的基础上找角A与角B
的函数关系，在求2B的正弦值时要先判断2B的取值范围 。
知能提升训练 学以致用
1、在△ABC中，下列关系式中一定成立的是（ ）
A．
a
＞
bsinA
B.
a
=
bsinA

C.
a
＜
bsinA
D.
a
≥
bsinA

2、（山东模拟）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，
A?
于（ ）
A.1 B.2 C.
3?1
D.
3

3、（广东模拟）在△ABC中，
a?15,b?10,A?60?
，则
sinB
等于（ ）
?
3
,a?3,b?1
，则c等
A．
33
B.
?

33
66
D.
?

33
C.
4、在△ABC中，若
abc
，则△ABC是（ ）
??
cosAcosBcosC
A．直角三角形 B.等边直角三角形
C．钝角三角形 D.等腰直角三角形
5、在锐角△ABC中，若C=2B，则
A．
?
0,2
?
B.
C.

6、在△ABC中，
a?
?
,b?
c
的范围是（ ）
b
?
2,
?
2,2
?

3
?
D.
?
1,3
?

3
?
,A?45?
，则，满足此条件的三角形有（ ）
A．0个 B.1个 C.2个 D.无数个
7、在△ABC中，若 A：B：C=3：4：5，则
a
：
b
：
c
等于（ ）
A．3：4：5 B.2:
6
:
?
3?1

?

C. 1:
3
:2 D.
2
:
3
:
3?2

2
8、（2011·浙江模拟）在△ABC中 ，
B?135?,C?15?,a?5,
则此三角形的最大边长为（ ）
A．
53
B.
43
C.
52
D.
42

9、在△ABC中
A?75?,B?45?,c?32,
则
b?________
。
10、（2011·山东模拟）在△ABC中角A，B， C的对边分别为a,b,c，若
a?2,b?2,sinB?cosB?2
，则角A的大小为< br>_______
。
11、在△ABC中已知
a?x
cm，
b ?2
cm，
B?45?
，如果利用正弦定理解三角形有两解，那
么
x
的取值范围是
______________

a
2
?b< br>2
sin
?
A?B
?
?
13、在△ABC中，角A， B，C的对边分别为a,b,c，求证。
c
2
sinC



14、在△ABC中，
c?22,tanA?3,tanB?2,
求
a,b
及三角形的面积。




15、已知方程x?
?
bcosA
?
x?acosB?0
的两根之积等于两根之 和，且
A,B
为△ABC的
2
内角，
a,b
分别为
A,B
的对边，判断△ABC的形状。





16、在△ABC中，
tanA?
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的最大边长为
17
，求最小边的长。




13
,tanB?.

45

1.1.2 余弦定理
『典型题剖析』
考察点1： 利用余弦定理解三角形
例1：
已知△ABC中，
b?3,c?33,B?30?,
求A，C和
a
。
【点拨】解答本题可先由余弦定理列出关于边长
a
的方程，首先求出边长
a< br>，再由再由正弦
定理求角A，角C，也可以先由正弦定理求出角C，然后再求其他的边和角。
解法1：
22
由正弦定理
b?a?c?2accosB,
得
3?a?33
222
??
2
?2a?33?cos30?
， ?a
2
?9a?18?0,
解得
a?3
或6.当
a?3
时，
A?30?,?C?120?

当
a?6
时，由正弦定理得
sinA?
解法2：
asin B
?
b
6?
3
1
2
?1,
?A?90?, ?C?60?.

由
b
＜
c
，
B?30?,
b
＞
csin30??33?
133
?
，知本题有两解。
22
由正弦定理得
sinC?
csinB
?
b
33?1
2
?
3
，
32
?C?60?
或
120?
，
当
C?60?
时，
A?90?
，由勾股定理得：
a?b< br>2
?c
2
?3
2
?33
??
2
?6

当
C?120?
时，
A?30?
，∴△ABC为等腰三角 形，
?a?3
。
【解题策略】比较两种解法，从中体会各自的优点，从而探索出适合 自己思维的解题规律和
方法。三角形中已知两边和一角，有两种解法。方法一利用余弦定理列出关于第三 边的等量
关系列出方程，利用解方程的方法求出第三边的长，这样可免去判断取舍的麻烦。方法二直接运用正弦定理，先求角再求边。
例2：△ABC中，已知
a?26,b?6?23,c?43
，求A，B，C



考察点2： 利用余弦定理判断三角形的形状
例3： 在△ABC中，已知
?
a?b?c
??
a?b?c
?
? 3ab,
且
2cosAgsinB?sinC
，试判断△ABC的形
状。 < br>【点拨】本题主要考察利用正弦定理或余弦定理判断三角形的形状，从问题的已知条出发，

找到三角形边角之间的关系，然后判断三角形的形状。






例4：已知钝角三角形ABC的三边
a?k,b?k?2,c?k?4,
求k的取值范围。
【点拨】由题意知△ABC为钝角三角形，按三角形中大边对大角的原则， 结合a,b,c的大小
关系，故必有C角最大且为钝角，于是可有余弦定力理求出k的取值范围。 解：
Qc?a?b?2abcosC,
?当C为钝角时，
?2abcosC
＞0，
?a
2
?b
2
＜
c
2
，
222
?k
2
?
?
k?2
?
＜
?
k?4
?
，解得-2＜k＜6.而k+k+2＞k+4，∴k＞2.故2＜k＜6.故k的取
值范围是
?
2,6
?
.

【解题策略】应用三角形三边关系时，应注意大边对大角。
考察点3：利用余弦定理证明三角形中的等式问题
例6在
VABC
中，角A，B，C的对边分别是a，b，c。
2
2
a
2
?b
2
sin
?
A?B
?
? ;
（1）求证
c
2
sinC
（2）求证
a?ccosBs inB

?
b?ccosAsinA
【点拨】本题考察余弦定理及余弦定理与 两角和差正弦公式的综合应用
a
2
?b
2
c
2
? 2bccosAb
??1?2??cosA
。 证明：（1）由
a?b?c?2bcc osA,
得；
22
ccc
222
又∵
bsinB
? ,

csinC
sinBsinC?2sinBcosA

?cos A?
sinCsinC
∴
a
2
?b
2
c
2
?1?2?
?
sin
?
A?B
?
?2cosAsi nB
sinAcosB?cosAsinB
?
sin
?
A?B
?

sinCsinC
?.
sinC
故原式成立。
a< br>2
?c
2
?b
2
2a
2
?a
2?c
2
?b
2
a?c?
2ac2a
?
22（2）左边
?

22222
b?c?a2b?b?c?a
b?c ?
2bc2b

a
2
?c
2
?b
2< br>bsinB
?
2
2a
???
右边。
22
b?c?a
asinA
2b
故原式成立。
考察点4：正余弦定理的综合应用
例7：在
VABC
中，已知
b?
?
3?1a,C?30?,求
A,B.

?
【点拨】本题主要考察正、余弦定理的综合应用。
解：
Qb?
?
?
3?1a,?c
2
?b
2
?a
2
?2a bcosC

2
?
?
?
?
?
3?1a?
?a
2
?2a
2
?
?
3?1?
?< br>3

2
?4?23a
2
?a
2
?3
2
??
?
?
2?3
?
a.

?
3?1a
2

?
∵a＞0,c＞0,
c
?c?2?3a,??2?3.

a
csinC
由正弦定理得
?,

asinA
1< br>sinC2?33?16?2
2
?sinA?????,

24
22
2?32?3
?A?75?
或
105?
.
由
b?
?
3?1a
知a＞b,
?
若
A? 75?,
则
B?180??
?
A?C
?
?75?,a?b,
与已知矛盾。
?A?105?,B?180??
?
A?C
?
?45?.

【解题策略】本题边未知，已知一角，所以考虑使用余弦定理得a，c的关系，再结合正弦
定理 求
sinA.
注意特殊角的三角函数值，如：
sin75??
6?26?2< br>,sin15??.

44
222
例8：设
VABC
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
b?c?a?3bc,

（1）求A的大小；
（2）求
2sinBcosC?sin
?
B?C
?
的值。