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高中数学必修五第一章解三角形知识点总结练习题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 10:28
tags:高中数学解三角形

高中数学办公室文化建设-高中数学常用经典评语

2020年10月6日发(作者:姜夔)


第一章 解三角形
1、正弦定理:

???C
中,
a

b

c
分别为角
?

?

C
的对边,
R

???C
的外接圆的半径,则
有:
abc
???2R

sin?sin?sinC
2、正弦定理的变形公式:

a?2Rsin?

b?2Rsin?

c?2RsinC

abc

sin??

sinC?

2R2R2R

a:b:c?sin?:sin?:sinC

a?b?cabc
④.
???
sin??sin??sinCsin?si n?sinC

sin??
注意:正弦定理主要用来解决两类问题:1、已知两边和其 中一边所对的角,求其余的量。
2、已知两角和一边,求其余的量。
⑤对于已知两边和其中 一边所对的角的题型要注意解的情况。(一解、两解、无解三中情况)
如:在三角形ABC中,已知a、 b、A(A为锐角)求B。具体的做法是:数形结合思想
画出图:法一:把a扰着C点旋转,看所得轨迹以AD有无交点:
C
当无交点则B无解、
当有一个交点则B有一解、
a
当有两个交点则B有两个解。
b
法二:是算出CD=bsinA,看a的情况:
bsinA
当aA
当bsinAD
当a=bsinA或a>b时,B有一解
注:当A为钝角或是直角时以此类推既可。
3、三角形面积公式:
111
S
???C
?bcsin??absinC?acsin?

222
4、余弦定理:

???C
中,有
a?b?c?2bccos?

b?a?c?2accos?

222222
c
2
?a< br>2
?b
2
?2abcosC

5、余弦定理的推论:
b
2
?c
2
?a
2
cos??

2bc
a
2
?c
2
?b
2
cos??

2ac
a
2
?b
2
?c
2
cosC?
2ab
(余弦定理主要解决的问题:1、已知两边和夹角,求其余的量。2、已知三边求角)


6、如何判断三角形的形状:

a

b

c

???C
的角
?

?

C< br>的对边,则:
①若
a?b?c
,则
C?90

②若
a?b?c
,则
C?90

③若
a?b?c
,则
C?90

7、正余弦定理的综合应用:
如图所示:隔河看两目标A、B,
但不能到达,在岸边选取相距
3
千米的C、D两点,
并测得∠ACB=75, ∠BCD=45, ∠ADC=30,
O
C
∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内),求两目标A、B之间的距离。


附:三角形的五个“心”;
重心:三角形三条中线交点.
外心:三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心:三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心:三角形三边上的高相交于一点.

练习题
一、选择题
1、在△ABC中,
a
=10,B=60°,C=45°,则
c
等于 ( B )
A.
10?3
B.
10
OOO
22 2
o
222
o
222
o
B
A
D
?
3?1

?
C.
3?1
D.
103

2、三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程
5x
2
?7x?6?0
的根,则三角形的另一边长为
A.52 B.
213
C.16 D.4
3、在△ABC中,若
(a?c)( a?c)?b(b?c)
,则
?A?
( C )
A
90
B
60
C
120
D
150

0000
4 、在△ABC中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是 ( D )
A.
b
= 10,A = 45°,B = 70° B.
a
= 60,
c
= 48,B = 100°
C.
a
= 7,
b
= 5,A = 80° D.
a
= 14,
b
= 16,A = 45°
5、已知△< br>ABC
中,
a

b

c
=1∶
3< br>∶2,则
A

B

C
等于( A )
A.1∶2∶3
C. 1:3:2








B.2∶3∶1
D.3:1:2

6、若△ABC的周长等于20,面积是
103
,A=60°,则BC边的长是( C )
A. 5 B.6
二、填空题(每题5分,共25分)
C.7 D.8


7、在
?ABC
中,已知
s inA:sinB:sinC?6:5:4
,则
cosA?
___________
a?b?c
8、在△
ABC
中,
A
=60°,
b
=1, 面积为
3
,则= sinA?sinB?sinC
9、在△ABC中,已知AB=4,AC=7,BC边的中线
AD?
7
,那么BC=
2
7,且
C
2
10、在
△ABC
中,已知角
A
、< br>B

C
所对的边分别是
a

b

c
,边
c?
33
,则
a?b?
______________ __
2
三.解答题(2小题,共40分)
?60
?
,又
△ABC

面积为
13、在
?
ABC中,
sin(C?A) ?1
, sinB=
1
.(I)求sinA的值; (II)设AC=
6
,求
?
ABC的面积.
3










知识点巩固练习(一)
一、选择题
1.在△ABC中,若
C?90,a? 6,B?30
,则
c?b
等于( )
A.
1
B.
?1
C.
23
D.
?23

2.若
A
为△ABC的内角,则下列函数中一定取正值的是( )
A.
sinA
B.
cosA
C.
tanA
D.
00
1

tanA
3. 在△ABC中,角
A,B
均为锐角,且
cosA?sinB,

则△ABC的形状是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
0
4.等腰三角形一腰上的高是
3,这条高与底边的夹角为
60

则底边长为( )A.
2
B.
3
C.
3
D.
23

2
5.在△
ABC
中,若
b?2asi nB
,则
A
等于( )
A.
30或60
B.
45或60
C.
120或60
D.
30或150

6.边长为
5,7,8
的三角形的最大角与最小角的和是( )
00000000


A.
90
B.
120
C.
135
D.
150

二、填空题
1.在
Rt
△ABC中,
C?90
,则
sinAsinB
的最大值是_______________。
2.在△ABC中,若
a?b?bc?c,则A?
_________。
3.在△ABC中,若
b?2,B?30,C?135,则a?
_________。
4.在△ABC中,若
sinA

sinB

sinC?< br>7

8

13
,则
C?
_________ ____。
三、解答题
1. 在△ABC中,若
acosA?bcosB?ccosC,
则△ABC的形状是什么?









2 .在△ABC中,求证:
00
222
0000
0
abcosBcos A
??c(?)

baba












3.在锐角△ABC中, 求证:
sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC








知识点巩固练习(二)
一、选择题
1.在△ABC中,
A:B:C?1:2:3
,则
a:b:c
等于( )
A.
1:2:3
B.
3:2:1
C.
1:3:2
D.
2:3:1

2.在△ABC中,若角
B
为钝角,则
sinB?sinA
的值( )
A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.不能确定
3.在△ABC中,若
A?2B
,则
a
等于( )
A.
2bsinA
B.
2bcosA
C.
2bsinB
D.
2bcosB

4.在△ABC中, 若
lgsinA?lgcosB?lgsinC?lg2
,则△ABC的形状是( )
A.直角三角形 B.等边三角形 C.不能确定 D.等腰三角形
5.在△ ABC中,若
(a?b?c)(b?c?a)?3bc,

A?
( )
A.
90
B.
60
C.
135
D.
150

6.在△ABC中,若
a?7,b?8,cosC?
0000
13
,则最大角的余弦是( )
14
1
11
1
A.
?
B.
?
C.
?
D.
?

58
67
a?b?c
=_______。
sinA?sinB?sinC
二、填空题
1.若在△ABC中,
?A?6 0
0
,b?1,S
?ABC
?3,

2.若
A,B
是锐角三角形的两内角,则
tanAtanB
_____
1
(填>或 <)。
3.在△ABC中,若
sinA?2cosBcosC,则tanB?tanC?_________。
4.在△ABC中,若
a?9,b?10,c?12,
则 △ABC的形状是_________。
5.在△ABC中,若
a?
三、解答题
3,b?2,c?
6?2
,则A?
_________。
2
1. 在△ABC中,
A?120
0
,c?b,a?21,SV
ABC
?3
,求
b,c










2. 在锐角△ABC中,求证:
tanA?tanB?tanC?1










3. 在△ABC中,求证:
sinA?sinB?sinC?4cos









4. 在△ABC中,若
A?B?120
,则求证:











5. 在△ABC中,若
acos








2
ABC
coscos

222
0
ab
??1

b?ca?c
CA3b
,则求证:
a?c?2b

?ccos
2
?
222


知识点巩固练习(三)
一、选择题
1.
A
为△ABC的内角,则
sinA?cosA
的取值范围是( )
A.
(2,2)
B.
(?2,2)
C.
(?1,2]
D.
[?2,2]

a?b
等于( )
c
A?BA?BA?BA?B
A.
2cos
B.
2cos
C.
2sin
D.
2sin
2222
2.在△ABC中,若
C?90,
则三边的比
0
3.在 △ABC中,若
a?7,b?3,c?8
,则其面积等于( )
A.
12
B.
21
C.
28
D.
63

2
0
4.在
△ABC
中,
?C ?90

0?A?45
,则下列各式中正确的是( )
00
A.
sinA?cosA

B.
sinB?cosA

C.
sinA?cosB

D.
sinB?cosB

5.在△ABC中,若
(a?c)(a? c)?b(b?c)
,则
?A?
( )
A.
90
B.
60
C.
120
D.
150

0000
tanAa
2
?
6.在△ABC中,若,则△ABC的形状是( )
tanB
b
2
A.直角三角形 B.等腰或直角三角形 C.不能确定 D.等腰三角形
二、填空题
1.在△ABC中,若
si nA?sinB,

A
一定大于
B
,对吗?填_________( 对或错)
2.在△ABC中,若
cosA?cosB?cosC?1,
则△ABC的 形状是______________。
3.在△ABC中,∠C是钝角,设
x?sinC, y?sinA?sinB,z?cosA?cosB,


x,y,z
的大小 关系是___________________________。
4.在△ABC中,若
a?c?2b
,则
cosA?cosC?cosAcosC?
222
1
sinAsinC?
______。
3
5.在△ABC中,若
2lgta nB?lgtanA?lgtanC,
则B的取值范围是_______________。
6.在△ABC中,若
b?ac
,则
cos(A?C)?cosB?cos2B
的值是_________。

2
三、解答题


1.在△A BC中,若
(a?b)sin(A?B)?(a?b)sin(A?B)
,请判断三角形的形状 。








22
2. 如果△ABC内接于半径为
R
的圆,且
2R(sinA? sinC)?(2a?b)sinB,

2222
求△ABC的面积的最大值。









3. 已知△ABC的三边
a?b?c

a?c?2b,A?C?










4 .在△ABC中,若
(a?b?c)(a?b?c)?3ac
,且
tanA?tanC ?3?3

AB
边上的高

43
,求角
A,B,C
的大小与边
a,b,c
的长

?
2
,求
a:b:c




答案
知识点巩固练习(一)
一、选择题
1.C
b
?tan30
0
,b?atan30
0
?23,c?2b ?44,c?b?23

a
2.A
0?A?
?
,sinA?0

3.C
cosA?sin(
4.D 作出图形
5.D
b?2asinB,s inB?2sinAsinB,sinA?
?
2
?A)?sinB,
?
2
?A,B
都是锐角,则
?
2
?A?B,A?B?
?2
,C?
?
2

1
,A?30
0

150
0

2
5
2
?8
2
?7
2
1
?,
?
? 60
0
,180
0
?60
0
?120
0
为 所求 6.B 设中间角为
?
,则
cos
?
?
2?5?8 2
二、填空题
1.
1
11

sinAsinB?sinAcosA?sin2A?

2
22
0< br>b
2
?c
2
?a
2
1
??,A?1200
2.
120

cosA?
2bc2
3.
6?2

A?15
0,
abbsinA6?2
?,a??4sinA?4sin15
0
?4?

sinAsinBsinB4
0
4.
120
a

b

c?
sinA

sinB

sinC?
7

8

13

a
2
?b
2
?c
2
1
??,C?120
0

a?7k,b?8k,c?13k

cosC?
2ab2
三、解答题
1. 解:
acosA?bc osB?ccosC,sinAcosA?sinBcosB?sinCcosC

sin2A ?sin2B?sin2C,2sin(A?B)cos(A?B)?2sinCcosC

cos(A?B)??cos(A?B),2cosAcosB?0

cosA?0< br>或
cosB?0
,得
A?
所以△ABC是直角三角形。
?
2

B?
?
2

a
2
?c
2
?b
2
b
2
?c
2
?a
2
2. 证明:将
cosB?

cosA?
代入右边
2a c2bc
a
2
?c
2
?b
2
b
2
?c
2
?a
2
2a
2
?2b
2
?)? 得右边
?c(

2abc2abc2ab

a
2
?b
2
ab
????
左边,
abba

abcosBcosA
??c(?)

baba
3.证明:∵△ABC是锐角三角形,∴
A?B?

sinA?sin(
?
2
,

?
2
?A ?
?
2
?B?0

?B)
,即
sinA?cosB
;同理
sinB?cosC

sinC?cosA

2

sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC

?

知识点巩固练习(二)
一、选择题
1.C
A?
?
6
,B?
?
3
,C?
?
2
,a:b:c?sinA:sinB:sinC?
132
::?1:3:2

222
2.A
A?B?
?
,A?
?
?B
,且
A,
?
?B
都是锐角,
sinA?sin(
?
?B)?sinB

3.D
sinA?sin2B?2sinBcosB,a?2bcosB

4.D
lg
sinAsinA
?lg2,?2,sinA?2cosBsinC
< br>cosBsinCcosBsinC
sin(B?C)?2cosBsinC,sinBcosC ?cosBsinC?0,

sin(B?C)?0,B?C
,等腰三角形
5.B
(a?b?c)(b?c?a)?3bc,(b?c)?a?3bc,
< br>22
b
2
?c
2
?a
2
1
?,A? 60
0

b?c?a?3bc,cosA?
2bc2
222
6.C
c?a ?b?2abcosC?9,c?3

B
为最大角,
cosB??
二 、填空题
1.
222
1

7
239
113
?3,c?4,a
2
?13,a?13

S
?ABC
?bcsinA?c?
3
222

a?b?ca13239

???
sinA?sinB?sinCsinA3
3
2


sin(?B)
??
?
2
2.
?

A?B?,A??B
,即
tanA?tan(?B)?

?
22
2
cos(?B)
2
cosB11

tanA?
??
,tanAtanB?1

sinBtanB
tanB
sinBsinC
3.
2

tanB?tanC?

?
cosBcosC
sinBcosC?c osB?sinCsin(B?C)2sinA

?

??
1
cosBcosCsinA
sinA
2
4. 锐角三角形
C
为最大角,
cosC?0,C
为锐角
?
8?43
?3
b?c?a3?11
0
4
???
5.
60

cosA?
2bc
6?22?2?(3?1)
2< br>22?
2
222
2?
三、解答题
1.解:
S
?ABC
?
22
1
bcsinA?3,bc?4,

2
2

a?b?c?2bccosA,b?c?5
,而
c?b

所以
b?1,c?4

2. 证明:∵△ABC是锐角三角形,∴
A?B?

sinA?sin(
?
2
,

?
2
?A?
?
2
?B?0

?
2
?B)
,即
sinA?cosB
;同理
sinB?cosC

sinC?cosA

sinAsinBsinC
?1

cosAcosBcosC
sinAsinBsinC?cosAcosBcosC,

tanA?tanB?tan C?1

A?BA?B
cos?sin(A?B)

22
A?BA?BA?BA?B

?2sin
< br>cos?2sincos
2222
A?BA?BA?B
(cos?cos)
?2sin
222
CAB

?2cos?2coscos

222
ABC

?4coscoscos

222
ABC

sinA?si nB?sinC?4coscoscos

222
3. 证明:∵
sinA? sinB?sinC?2sin


a
2
?ac?b
2
? bc
ab
?1
, 4.证明:要证
??1
,只要证
2
ab?bc?ac?c
b?ca?c

a?b?c?ab

0
而∵
A?B?120,

C?60

0
222
a
2
?b
2
?c
2
2
cosC?, a?b
2
?c
2
?2abcos60
0
?ab

2ab
∴原式成立。
CA3b

?ccos
2
?
222
1?cosC1?cosA3sinB

sinA?

?sinC??
222

sinA?sinAcosC?sinC?sinCcosA?3sinB

5.证明:∵
acos
2

sinA?sinC?sin(A?C)?3sinB


sinA?sinC?2sinB
,∴
a?c?2b

知识点巩固练习(三)
一、选择题
1.C
sinA?cosA?2sin(A?),

4
?

0?A?
?
,
2.B
?
4
?A?
?
4
?
5
?
2
?
???sin(A?)?1

424
a?bsinA?sinB
??sinA?sinB

csinC
A?BA?BA?B

?2sin

cos?2cos
222
11
0
3.D
cosA?,A?60,S
V
ABC
?bcsinA?63

22
0
4.D
A?B?90

sinA?cosB, sinB?cosA

0?A?45,

00
00

sinA?cosA

45?B?90,sinB?cosB

5.C
a?c?b?bc,b?c?a??bc,cosA??,A?120

222222
1
2
0
sinAcosBsin
2
A cosBsinA
??,?,sinAcosA?sinBcosB
6.B
2
cosAsinBsinBcosAsinB

sin2A?sin2B,2A?2B或2A?2B?
?

二、填空题


1. 对
sinA?sinB,

2. 直角三角形
ab
??a?b?A?B

2R2R
1
(1?cos2A? 1?cos2B)?cos
2
(A?B)?1,

2
1
(c os2A?cos2B)?cos
2
(A?B)?0,

2
cos(A?B)cos(A?B)?cos
2
(A?B)?0

cosAcosBcosC?0

3.
x?y?z

A ?B?
?
2
,A?
?
2
?B,sinA?cosB,sin B?cosA,y?z


c?a?b,sinC?sinA?sinB,x?y,x?y?z

A?CA?CA?CA?C

cos?4sincos
2222
A? CA?CACAC
cos?2cos,coscos?3sinsin

222222
1C
2
A

sinAsinC?4sinsin
2

322
1
cosA?cosC?cosAcosC?sinAsinC
3
AC
??(1?cosA)(1?cosC)?1?4sin
2
sin
2

22
ACAC
??2sin
2
?2sin2
?4sin
2
sin
2
?1?1

2222
??
tanA?tanC
2
5.
[,)

tanB?tanAtanC,tanB??tan(A?C)?

32
tanAtanC?1
tanA?tanC

tanB??tan(A?C)?

tan
2
B?1
4.
1

sinA?sinC? 2sinB,2sin
tan
3
B?tanB?tanA?tanC?2tanAta nC?2tanB

tan
3
B?3tanB,tanB?0?tanB?3 ?B?
22
?
3

6.
1

b?ac,sinB?sinAsinC,
cos(A?C)?cosB?cos2B

?cosAcosC?sinAsinC?cosB?1?2sin
2
B

?cosAcosC?sinAsinC?cosB?1?2sinAsinC

?cosAcosC?sinAsinC?cosB?1

?cos(A?C)?cosB?1?1

三、解答题
a
2
?b
2
sin(A?B)a
2
sinAcosBsin
2
A
?,
2
??
1. 解:
2

22
a?bsin(A?B)bcosAsinBsinB



cosBsinA
?,sin2A?sin2B,2A?2B或2A?2B?
?

cosAsinB
∴等腰或直角三角形
2. 解:
2RsinA?sinA?2RsinC?sinC?(2a?b)sinB,

asinA?csinC?(2a?b)sinB,a
2
?c
2
?2ab?b
2
,

a
2
?b
2
?c
2
2
a?b?c?2ab,cosC??,C?45
0
2ab2
222

c
?2R,c?2RsinC?2R,a
2
?b
2
?2 R
2
?2ab,

sinC
2R
2
2R?2ab?a?b?2ab,ab?

2?2
222
1222R
2
S?absinC?ab??,
S
max
?
244
2?2
另法:
S?
2?1
2R

2
122
absinC?ab??2RsinA?2RsinB

2 44
?
2
?2RsinA?2RsinB?2R
2
sinAsinB

4
1
?2R
2
??[cos(A?B)?cos(A?B )]

2
12
?2R
2
??[cos(A?B)?]
22

2R
2
2
??(1?)
22
?S
max
?
2?1
2
R
此时
A?B
取得等号
2
3. 解:
sinA?sinC?2sinB,2sin
A?CA?CA?CA?C

cos?4sincos
2222
sin
B1A?C2B14BB7
?co s?,cos?,sinB?2sincos?

222424224
A?C?
?
2
,A?C?
?
?B,A?
3
?
B
?
B
?,C??

4242
sinA?sin(
3
?
3
?
3
?
7?1
?B)?sincosB?cossinB ?

4444


sinC?sin(?B)?sincosB?coss inB?
444
???
7?1

4
a:b:c?sinA: sinB:sinC?
(7?7):7:(7?7)

4. 解:
(a?b? c)(a?b?c)?3ac,a?c?b?ac,cosB?
222
1
,B?60< br>0

2

tan(A?C)?
tanA?tanC3?3
,?3?,

1?tanAtanC1?tanAtanC

tanAtanC?2?3
,联合
tanA?tanC?3?3

0 0
??
?
?
A?75
?
A?45
?
tan A?2?3
?
?
tanA?1

?

?
,即
?


?
00
??
??
?
tanC?1
?
tanC?2?3
?
C?45
?
C?75

A?75,C?45
时,
b?
00
43
?4(32?6),c?8(3?1),a?8

sinA
43
?46,c?4(3?1),a?8

sinA

A?45,C?75
时,
b?
00
000
∴当
A?75,B?60,C?45
时,
a?8,b?4(32?6),c?8(3?1),

000

A?45,B?60,C?75
时,
a?8,b?46 ,c?4(3?1)



解三角形单元测试题
一、选择题:
1、在△ABC中,a=3,b=
7
,c=2,那么B等于( )
A. 30° B.45° C.60° D.120°
2、在△ABC中,a=10,B=60°,C=45°,则c等于 ( )
A.
10?3
B.
10
?
3?1

?
C.
3?1
D.
103

) 3、在△ABC中,a=
23
,b=
22
,B=45°,则A等于(
A.30° B.60° C.30°或120° D. 30°或150°
4、在△ABC中,a=12,b=13,C=60°,此三角形的解的情况是( )
A.无解 B.一解 C. 二解 D.不能确定
5、在△ABC中,已知
a?b?c?bc
,则角A为( )
A.
222
?

3
B.
?

6
C.
2
?

3
D.
?
2
?

33


6、在△ABC中,若acosA?bcosB
,则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
7、已知锐角三角形的边长分别为1,3,a,则a的范围是( )
A.
?
8,10
?
B.
?
8,10

?
C.
?
8,10

?
D.
?
10,8
?

8、在△ABC中,已知
2sinAcosB?sinC
,那么△ABC一定是 ( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形
9、△ABC中,已知
a?x,b?2,B?
60°,如果△ABC 两组解,则x的取值范围( )
4
3

3
10、在△ABC中,周 长为7.5cm,且sinA:sinB:sinC=4:5:6,下列结论:①
a:b:c?4:5: 6

A.
x?2
B.
x?2
C.
2?x?
D.
2?x?

a:b:c?2:5:6

a?2cm,b?2.5cm,c?3cm

A:B:C?4:5:6

中成立的个数是 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
11、在△ABC中,
AB
4
3

3
?3
,
AC?1
,∠A=30°,则△ABC面积为 ( )
3

4
C.A.
3

2
B.
3

3

2
D.
33

42
12、已知△ABC的面积为
A.30°
3
,且
b?2,c?3
,则∠A等于 ( )
2
D.60°或120° B.30°或150° C.60°
13、已知△ABC的三边长
a?3,b?5,c?6
,则△ABC的面积为 ( )
A.
14
B.
214
C.
15
D.
215

A
14、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空
20米
150
0

30米
地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米a元,则
购买这种草皮至少要( )
A. 450a元 B.225a元 C. 150a元 D. 300a元
B
C
15、甲船在岛B的正南方A处,AB=10千米,甲船以每小
时4 千米的速度向正北航行,同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方
向驶去,当甲,乙 两船相距最近时,它们所航行的时间是( )
A.
150
分钟
7
B.
15
分钟
7
C.21.5分钟 D.2.15分钟
16、飞机沿水平方向飞行,在A处测得正前下方地面目标C得俯角为30°,向前 飞行10000
米,到达B处,此时测得目标C的俯角为75°,这时飞机与地面目标的水平距离为( )
A. 5000米 B.5000
2
米 C.4000米 D.
40002

17、在△ABC中,
a?sin10
°,< br>b?sin50
°,∠C=70°,那么△ABC的面积为( )
A.
1

64
B.
1

32
C.
1

16
D.
1

8

< br>18、若△ABC的周长等于20,面积是
103
,A=60°,则BC边的长是( )
A. 5 B.6 C.7 D.8
19、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x,则x的取值范围是( )
A.
1?x?5
B.
5?x?13
C.
0?x?
20、在△ABC中,若
5
D.
13?x?5

cosAcosBsinC
,则△ABC是( )
??
abc
B.等腰直角三角形
D.等边三角形
A.有一内角为30°的直角三角形
C.有一内角为30°的等腰三角形

二、填空题
21、在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则
a:b:c?

22、在△ABC中,
a?33,c?2,B?
150°,则b=
23、在△ABC中,A=60°,B=45°,
a?b?12
,则a= ;b=
24、已知△ABC中,
a?181,b?209,A?
121 °,则此三角形解的情况是
25、已知三角形两边长分别为1和
3< br>,第三边上的中线长为1,则三角形的外接圆半径
为 .
26、在△A BC中,
?
b?c
?
:
?
c?a
?
:?
a?b
?
?4:5:6
,则△ABC的最大内角的度数是
三、解答题
27、在△ABC中,已知
AB?102
,A=45°,在BC 边的长分别为20,
下,求相应角C。








28、在△ABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程
x ?23x?2?0
的两个根,且
2cos
?
A?B
?
?1< br>。
2
20
3
,5的情况
3
求:(1)角C的度数; (2)AB的长度。






29、在△ABC中,证明:









cos2Acos2B11

???< br>a
2
b
2
a
2
b
2
30、在△AB C中,
a?b?10
,cosC是方程
2x?3x?2?0
的一个根,求△A BC周长的最
小值。











解三角形单元测试答案
一、选择题
1-5. CBCBC 6-10. DBBCC 11-15. BDBDA 16-20. ACCBB
二、填空题
21、
1:3:2
22、7 23、
36?126
,
126?24

24、无解 25、1 26、120°
三、解答题
2
ABsinA10

?
BCBC
1
(1)当BC=20时,sinC=;
?BC?AB

?A?C

?C?30
°
2
27、解:由正弦定理得
sinC?
(2)当BC=
3
20
3
时, sinC=;
2
3
?AB?sin45??BC?AB

?C
有两解
?C?60?
或120°
(3)当BC=5时,sinC=2>1;
?C
不存在
1
28、解:(1)
cosC?cos
??
?
?
A?B
?
?
??cos
?
A? B
?
??

?
C=120°
2


(2)由题设:
?
a?b?2
?< br>?
ab?2
22
3


?AB?AC?BC?2AC?BCcosC?a?b?2abcos120?

22 2
?a?b?ab?
?
a?b
?
?ab?23?2?10

22
2
??
2
?
sin
2
Asin
2
B
?
cos2Acos2B1?2sin
2
A1?2sin2
B11
?
29、证明:
2
?

???
2
?
2
?2
?
?
22222
??
aba babb
??
a
sin
2
Asin
2
B
?
由正弦定理得:
22
ab

?
cos2Acos2B11

???
2222
abab< br>2
30、解:
?2x?3x?2?0

?x
1
?2,x
2
??
2
1

2
1

2

?cosC
是方程
2x?3x?2?0
的一个根
?cosC??
由余弦定理可得:
c?a?b?2ab?
?
?
2
则 :
c?100?a
?
10?a
?
?
?
a?5
?
?75

2
222
?
1
?
2
?
?
?
a?b
?
?ab

?
2
?

a?5
时,c最小且
c?75?53
此时
a?b?c?10?53


?
△ABC周长的最小值为
10?53

31、解:(1)由
sinA?sinB?sinC
?
cosA?cosB
?

可得
2sin
2
C
?1

?cosC?0
即C=90°
2
1
?
a?b?c
?
?
1
?
sinA?sinB?1
?

22

?
△ABC是以C为直角顶点得直角三角形
(2)内切圆半径 r?
?
2
?
?
?
1
sin
?
A?
?
??
24
?
2
?
?
?
?< br>2?1
?
?

2
?
?
2?1

2

?
内切圆半径的取值范围是
?
0,


1.常见三角不等式
(1)若
x?(0,
(2) 若
x?(0,
?
2
)
,则
sinx?x?tanx
.
)
,则
1?sinx?cosx?2
.
?
2
(3)
|sinx|?|cosx|?1
.
2.同角三角函数的基本关系式
sin
2
?
?cos
2
?
?1

tan
?
=
3.正弦、余弦的诱导公式
n
?
n
?
?
(?1)
2
sin
?
,
sin(?
?
)?
?

n?1
2
?
(?1)
2
cos
?
,
?
sin
?< br>,
tan
?
?cot
?
?1
.
cos
?
(n为偶数)

(n为奇数)

n
?
n
?
?
(?1)
2
cos
?
,

cos(?
?
)?
?
n?1
2
?
(?1)
2
sin
?
,
?
(n为偶数)

(n为奇数)
4.和角与差角公式

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
msin
?
sin
?
; tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
.
1
m
tan
?
tan
?
sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)?sin2
?
?sin
2
?
(平方正弦公式);
cos(?
?
?
)cos(
?
?
?
)?cos
2
?
?sin
2
?
.
asin
?
?bc os
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限 决
定,
tan
?
?
b
).
a
45.二倍角公式
sin2
?
?sin
?
cos
?
.
co s2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2c os
2
?
?1?1?2sin
2
?
.
tan2
?
?
2tan
?
.
1?tan
2
?

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