高中数学排列组合有多难-高中数学教师的学科专业素养
解三角形
1．正弦定理:
abc
???2R
或变形：
a:b:c?sinA:sinB:sinC
.
sinAsinBsinC
?b
2
?c
2
?a
2
?
cosA?
22
2
2bc
?
a?b?c?2bccosA
?
?
2
a
2
?c
2
?b
2
?
22
2．余弦定理：
?
b?a?c?2accosB
或
?
cosB?
. <
br>2ac
?
c
2
?b
2
?a
2
?2b
acosC
?
?
?
b
2
?a
2
?c
2
?
cosC?
2ab
?
3．（1）两类正弦定理解三角形的问题
：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.
（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
5．
解题中利用
?ABC
中
A?B?C?
?
，以及由此推得的一些基本关
系式进行三角变换的运算，
如：
sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC
,tan(A?B)??tanC,
sin
已知条件
A?BCA?BCA?BC
?cos,cos?sin,tan?cot
.、
222222
定理应
用
正弦定
理
一般解法
一边和两角
（如a、B、C）
两边和夹角
(如a、b、c)
三边
(如a、b、c)
由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时
有一解。
由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再
由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。
由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C
在有解时只有一解。
余弦定
理
余弦定
理
1、ΔABC中,a=1,b=
3
, ∠A=30°,则∠B等于
A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120°
（
）
2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是
A．a=1,b=2 ,c=3
C．a=1,b=2,∠A=100°
B．a=1,b=
2
,∠A=30°
C．b=c=1, ∠B=45°
（ ）
3、在锐角三角形ABC中，有
A．cosA>sinB且cosB>sinA
C．cosA>sinB且cosB
（ ）
4、若(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC,
那么ΔABC是
A．直角三角形
C．等腰三角形
B．等边三角形
D．等腰直角三角形
（ ）
5、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(
sinB－sinA)x
2
+(sinA－sinC)x
+(sinC－sinB)=0有等根，那么角B
A．B>60°
B．B≥60° C．B<60° D．B ≤60°
（ ）
D．不定
（ ）
6、满足A=45°,c=
6
,a=2的△ABC的个数记为m,则a
m
的值为
A．4
B．2 C．1
7、如图：D,C,B三点在地面同一直线上
,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是β,α(α<β),则A点离地面
的高度AB等于
（ ）
asin
?
sin
?
A．
sin(
?
?
?
)
C．
asin
?
?sin
?
B．
cos(
?
?
?
)
D C
asin
?
cos
?
acos
?
sin
?
D．
sin(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)
?
?
A
B
8、A为ΔABC的一个内角,且sinA+cosA=
9、在ΔABC中，若S
Δ
ABC
=
10、在ΔABC中，a =5,b = 4,cos(A－B)=
7
, 则ΔABC是______三角形.
12
1
222
(a+b－c),那么角∠C=______.
4
31
,则cosC=_______.
32
11、在ΔABC中,求分别满足下列条件的三角形形状：
①B=60°,b
2
=ac；
②b
2
tanA=a
2
tanB；
③sinC=
12．
在
△ABC
中，已知内角
A?
sinA?sinB
④ (a
2
－b
2
)sin(A+B)=(a
2
+b
2
)s
in(A－B).
cosA?cosB
?
，边
BC?23
．设内角
B?x
，周长为
y
．
?
（1）求函数
y?f(x
)
的解析式和定义域；（2）求
y
的最大值．
13． 在
?ABC
中，角
A,
B,C
对应的边分别是
a,b,c
，若
sinA?
1
3
,
sinB?
，求
a:b:c
2
2
14． 在
?ABC
中
a,b,c
分别为?A,?B,?C
的对边，若
2sinA(cosB?cosC)?3(sinB?sin
C)
，
（1）求
A
的大小；（2）若
a?61,b?c?9
，求
b
和
c
的值。
15． 如图，
AO?
2
，
B
是半个单位圆上的动点，
?ABC
是等边三角形，求当
?AOB
等于多少时，四
边形
OACB
的面积最大，并求四边形面积的最大
值．
C
B
16． 在△OAB中，O为坐标原点，
E
O
F
A
A(1,cos
?
),B(sin
?
,1),
?
?(0,]
，则当△OAB的面积达最大值时，
?<
br>?
( )
2
A．
17．
在
?ABC
中，已知
tan
①
tanA?cotB?1
?
?
?
?
B． C．
643
D．
?
2
A?B
?sinC
，给出以下四个论断，其中正确的是
2
②
0?sinA?sinB?2
22
③
sinA?cosB?1
222
④
cosA?cosB?sinC
???
???
18． ．已知
A,B,C
是三角形
?ABC
三内角，向量
m??1,3,n?
?
cosA,sinA
?
，且
m?n?1
.
??
（Ⅰ）求角
A
；（Ⅱ）若
1?sin2B
??3
，求
tanC
.
cos
2
B?sin
2
B
19． 已知向量
a?(2cos
xx
?
x
?
x
?
,tan
(?)),b?(2sin(?),tan(?)),令f(x)?a?b
.
2242424
求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在[0，π]上的单调区间.
??
???20．设向量
a
＝(sinx，cosx)，
b
＝(cosx，cosx
)，x∈R，函数f(x)＝
a?(a?b)
.
（Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期；
（Ⅱ）求使不等式f(x)≥
21． 已知函数
（1）当函数
取得最大值时，求自变量的集合。
的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
3
成立的x的取值范围．
2
（2）该函数的图象可由
22． 已知
有最大值为7，求、的值。
，其中，
且，若在时
参考答案（正弦、余弦定理与解三角形）
一、BDBBD AAC 二、（9）钝角
（10）
1
14
?
3
（11） （12） 三、（1
3）分析：化简已知
8
34
条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状.
①由余弦定理
a
2
?c
2
?b
2
a
2<
br>?c
2
?b
2
1
cos60?????a
2
?c
2
?ac?ac
?(a?c)
2
?0
，
2ac2ac2
b
2
sinA
?a?c
.
由a=c及B=60°可知△ABC为等边三角形. ②由
btanA?atanB?
cos
A
22
a
2
sinBsinBcosAb
2
sin
2
B
?????sinAcosA?sinBcosB,?sin2A?sin2B,
∴A=B或A+B=90°，
cosBsinAcosB
a
2
sin
2
A
∴△ABC为等腰△或Rt△. ③
?sinC?
sinA?sinB
，由正弦定理：
c(cosA?cosB)?a?b,
再由余
cosA?co
sB
a
2
?b
2
?c
2
a
2
?c
2
?b
2
弦定理：
c??c??a?b
2bc2ac
22
sin(A?B)a?b
. ④由条件变形为
?(a?b)(c?a?b)?0,?c?a?b,??ABC为Rt?
?
22
sin
(A?B)
a?b
222222
sin(A?B)?sin(A?B)a
2<
br>sinAcosBsin
2
A
??
2
,???sin2A?s
in2B,?A?B或A?B?90?
.
2
sin(A?B)?sin(A?B)<
br>b
cosAsinB
sinB
∴△ABC是等腰△或Rt△.