解三角形专项训练(经典题型)

解三角形专项训练
知识梳理
1．正弦定理:
a
sinA< br>?
b
sinB
?
c
sinC
?2R
或变形：
a:b:c?sinA:sinB:sinC
.
?
b
2
? c
2
A?
?a
2
?
222
?
cos
2bc
2．余弦定理：
?
a?b?c?2bccosA
?
?b
2
?a
2
?c
2
?2accosB
或 < br>?
a
2
?c
2
?b
2
?
?
cosB?
?
c
2
?b
2
?a
2
?2ba cosC
?
2ac
.
?
?
cosC?
b
2
?a
2
?c
2
?
2ab
3．（1）两类正弦定理 解三角形的问题：已知两角和任意一边，求其他的两边
及一角；已知两边和其中一边的对角，求其他边角 .
（2）两类余弦定理解三角形的问题：已知三边求三角；已知两边及其夹角，
求第三边和其 他两角.
4.面积公式：
S
111abc
?ABC
?
2< br>absinC?
2
bcsinA?
2
acsinB?
4R?
1
2
?
a?b?c
?
?r
，
(r是 三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.

5．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或
角的形式. 6．解题中利用
?ABC
中
A?B?C?
?
，以及由此推得的一 些基本关系式进行三
角变换的运算，如：
sin(A?B)?sinC,cos(A?B)?? cosC,tan(A?B)??tanC,


sin
A?B
2
?cos
C
2
,cos
A?B
2
?si n
C
2
,tan
A?BC
2
?cot
2
. 、
走进高考

1
．（
2018
全国新课标Ⅰ 理）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几
何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为 直角三角形
ABC
的
斜边
BC
，直角边
AB
，AC
．
△ABC
的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分
记为Ⅱ，其余部分 记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，
Ⅲ的概率分别记为
p
1
，
p
2
，
p
3
，则（

）


A
．
p
1
=p
2
B
．
p
1
=p
3
C
．
p
2
=p
3
D
．
p
1
=p
2
+p
3

2．（2018全国新课标Ⅱ文、理）在
△ABC
中，
cos
C
2
?
5
5
，
BC?1
，
AC?5
，则
AB?
（ ）
A．
42
B．
30
C．
29
D．
25

3．（2018全国新课标Ⅲ文、理 ）
△ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别 为
a
，
b
，
c
．若
△ABC
的面积为a
2
?b
2
?c
2
4
，则
C?
（ ）
A．
ππππ
2
B．
3
C．
4
D．
6

4．（2018北京文）若
△ABC< br>的面积为
3
2
4
?
a?c
2
?b
2
?
，且
?C
为钝角，则
?B?
_________；
c
a
的取值范围是_________．
5．（2018江苏）在
△AB C
中，角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
，
?ABC ?120?
，
?ABC
的平分线交
AC
于点D，且
BD?1
，则
4a?c
的最小值为 ．
6．（2018浙江）在△ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=
7
，
b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________．
7
．（
2018全国新课标Ⅰ文）△
ABC
的内角
A，B，C
的对边分别为
a， b，c
，已
知
bsinC?csinB?4asinBsinC
，
b
2
?c
2
?a
2
?8
，则△
ABC
的面积为
________
．

8.
（
2018
北京理）在△
ABC
中，
a=7
，
b=8
，
cos B=–
1
7
．

（Ⅰ）求∠
A
；

（Ⅱ）求
AC
边上的高．











9.（2018天津理）在
△ABC
中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知
bsinA?acos(B?< br>?
6
)
.（I）求角B的大小； （II）设a=2，c=3，求b和
sin(2A?B)
的值.

10.（2018全国新课标Ⅰ理）在平面四边形
ABCD
中，
?ADC?90，
?A?45
，
③
a?2cm,b?2.5cm,c?3cm
④
A:B:C?4:5:6

AB?2
，
BD?5
.
（1）求
cos?ADB
；
（2）若
DC?22
，求
BC
.











小题狂练
1、在△ABC中，a＝3，b＝
7
，c＝2，那么B等于（ ）
A． 30° B．45° C．60° D．120°
2、在△ABC中，a＝10，B=6 0
?
°,C=
?
45°,则c等于 （ ）
A．
10?3
B．
103?1
C．
3?1
D．
103

3、在△ABC中，a＝
23
，b＝
22
，B＝45°，则A等于（ ）
A．30° B．60° C．60°或120° D． 30°或150°
4、在△ABC中，a＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情况是（ ）
A．无解 B．一解 C． 二解 D．不能确定
5、在△ABC中，已知a
2
?b
2
?c
2
?bc
，则角A为（ ）
A．
?
3
B．
?
6
C．
2
?
3
D．
?
3
或
2
?
3

6、在△ABC中，若
acosA?bcosB
，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
7、已知锐 角三角形的边长分别为
??
1，3，
?
a，则
?
a的范围是 （
?

?
）
A．
?
8,10
?
B．
8,10
C．
8,10
D．
10,8

8、在△ABC中，已知
2sinAcosB?sinC
,那么△ABC一定是 ( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
9、在△ABC中，已知
a?x,b?2,B?
60°，如果△ABC 两组解，则x的取值范
围是( )
A．
x?2
B．
x?2
C．
2?x?
4
3
3
D．
2?x?
4
3
3

10、在△ABC中，周长为7.5cm，且sinA：sinB：sinC＝4：5：6,下列结论：
①
a:b:c?4:5:6
②
a:b:c?2:5:6

其中成立的个数是 ( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11、在△ABC中 ，
AB?3
,
AC?1
,∠A＝30°，则△ABC面积为 （ ）
A．
3
B．
3
C．
3
2

4

2
或
3
D．
3
4
或
3
2

12、已知△ABC的面积为
3
2
，且
b?2,c?3
，则∠A等于 （ ）
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
13、已知△ABC的三边长
a?3,b?5,c?6
，则△ABC的面积为 （ ）
A．
14
B．
214
C．
15
D．
215

14、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植 草皮以美
化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（ ）
A． 450a元 B．225 a元
20米
C． 150a元 D． 300a元
150°
30米

15、甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的 速度向正
北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，
当甲， 乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）
A．
150
7
分钟 B．
15
7
分钟 C．21.5分钟 D．2.15分钟
16、飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C得俯角为30°，向< br>前飞行10000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75°，这时飞机与地面
目标的距离为 （ ）
A． 5000米 B．5000
2
米 C．4000米 D．
40002
米
17、在△ABC中，
a?sin10
°，< br>b?sin50
°，∠C＝70°，那么△ABC的面积为
（ ）
A．
1
64
B．
1
32
C．
1
16
D．
1
8

18、若△ABC的周长等于20，面积是
103
，A＝60°，则BC边的长是（ ）
A． 5 B．6 C．7 D．8
19、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ ）
A．
1?x?5
B．
5?x?13
C．
0?x?5
D．
13?x?5

20、在△ABC中，若< br>cosA
a
?
cosB
b
?
sinC
c，则△ABC是（ ）
A．有一内角为30°的直角三角形 B．等腰直角三角形
C．有一内角为30°的等腰三角形 D．等边三角形